Курсовая работа (т): Эконометрика. Корреляционный анализ

Получаем гиперболическую модель:

у = 8,7815 - 16,7377

Оценим эластичность:

Э =   =  =  =  Þ   

  = 0.61 %

.        Оценка тесноты связи, качества и точности модели

Уравнение регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи. При использовании линейной регрессии в качестве такого показателя выступает линейный коэффициент корреляции r_xy, который можно рассчитать по следующим формулам:

 r_xy, =  =  Þ r_xy, = b

Линейный коэффициент корреляции находится в пределах: [-1; 1] . Чем ближе абсолютное значение r_xy к единице, тем сильнее линейная связь между факторами (при r_xy = ±1 имеем строгую функциональную зависимость). Но следует иметь в виду, что близость абсолютной величины линейного коэффициента корреляции к нулю еще не означает отсутствия связи между признаками. При другой (нелинейной) спецификации модели связь между признаками может оказаться достаточно тесной.

При нелинейных зависимостях лучше использовать другой показатель - индекс корреляции , тесно связанный с коэффициентом детерминации R²:

 =  

где  =  - общая дисперсия результативного признака у;

 =  - остаточная дисперсия

Величина данного показателя находится в пределах: 0 ≤ ρ_xy ≤1.

Чем ближе значение индекса корреляции к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надежно уравнение регрессии.

Квадрат индекса корреляции носит название индекса детерминации и характеризует долю дисперсии результативного признака y , объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака:

,

О качестве модели можно судить по относительным ошибкам (ошибкам аппроксимации). Нежелательно, чтобы относительные ошибки превышали 8 - 10% от уровня наблюдаемых у.

А. Линейная модель

r_xy = b = 0,81561 = 0,908

так как r_xy  0,7 и положителен, то связь прямая и очень сильная.

Определим коэффициент детерминации:

 R² = 1 -  = r_xy² = 0.8245

Изменение валового выпуска с/х продукции на 90,8% объясняется вариацией числа работников. Доля неучтенных факторов составляет 100 - 82,45 = 17,55%.

Контроль в программе Advenced Grapher 8.0

Формула: Y(x) = -0.1951671 + 0.815607x

Расчетная в задании: Y(x) = -0.1952 + 0.815617x

Стандартное отклонение: 1,442057;

R² = 0.8252358

Б. Степенная модель

Индекс корреляции и коэффициент детерминации:

 =  =  = 0.956

R² = 0,914

В случае степенной модели вариация валового выпуска на 95.6 % объясняется вариацией числа работников. Доля неучтенных факторов составляет 8.6 %.

Коэффициент детерминации степенной модели выше коэффициента детерминации линейной модели, но различия незначительны - менее 10 %. (6,2 %). Значение индекса близко к 1, что свидетельствует об очень сильной взаимосвязи исследуемых факторов.

Контроль в программе Advenced Grapher 8.0

Формула: Y(x) = 0,3571002*х^1,3974895

Расчетная в задании: Y(x) = 0,3571*х^1,3975

Стандартное отклонение: 1,9881345;

R² = 0.9138602

В. Показательная модель

 =  = 0,852

R² = 0,726

Связь в этой модели удовлетворительная

Контроль в программе Advenced Grapher 8.0

Формула: Y(x) = 0,8971571*2,450054^х

Расчетная в задании: Y(x) = 0,897*2,46^х

Стандартное отклонение: 3,0569256;

R² = 0.7261552

Г. Гиперболическая модель

 =

R² = 0,7056

Связь в этой модели удовлетворительная.

Контроль в программе Advenced Grapher 8.0

Формула: Y(x) = 8,7815289 - 16,7377103/х

Расчетная в задании: Y(x) = 8,7815 - 16,7377/х

Стандартное отклонение: 1,8718524

R² = 0,7055368

Вывод: Расчеты произведены правильно, о чем свидетельствуют данные стандартной расчетной Программы

Расчет относительных ошибок произведён в предыдущих расчетах.

.        Оценка статистической значимости регрессионных уравнений

Статистическую значимость уравнений регрессии оцениваем при помощи критерия Фишера (F - тест).

Пусть основная гипотеза Н0 состоит в предположении, что R² = 0? А альтернативная Н1 - R²  0. Основная гипотеза Н0 принимается в том случае, если расчетная F-статистика меньше критического значения:

F_факт =   F_крит (α, df₁ = m; df₂ = n - m - 1)

в противном случае принимается гипотеза Н1

где df - число степеней свободы;

m - число факторов в модели;

n - число наблюдений.

Для линейной модели:

F_факт =  = 23,49

Критическое значение критерия Фишера при уровне значимости 0,05; m = 1; n = 7 равна 5,59. Так как F_факт  F_крит, то при доверии 95% принимается гипотеза Н1 о неслучайной природе выявленной зависимости и статистической значимости показателей тесноты связи.

Для остальных моделей:

Степенная модель: F_факт =  = 53,14

Показательная модель: F_факт =  = 13,25

Гиперболическая модель: F_факт =  = 11,98

Таким образом, все модели выдержали тест на значимость, т. к. во всех случаях F_факт  F_крит. Улучшение достоверности уменьшает критическую область: при уровне достоверности α = 0,01 критическое значение увеличивается до 12,25, и тогда в этом случае гиперболическая модель отпадает.

Сравним регрессионные модели по всем показателям и выделим лучшую

Показатели тесноты связи указывают, что очень сильная связь исследуемых признаков: числа работников х и валовой продукции у у степенной и линейной модели (лучшая степенная); у показательной и гиперболической моделей связь удовлетворительно тесная

Наибольший коэффициент детерминации у степенной модели - 0,914, отличие от линейной меньше 10%. Значительно отстают показательная и гиперболическая модели.

Степенная модель оказалась и более эластичной - 1,4%.

Наилучшим образом экспериментальные и теоретические значения результативного признака согласуются для степенной модели : А = 17,49%. Наихудшее согласование у гиперболической модели.

F-тест на значимость выдержали все модели при уровне значимости 0,05

Таким образом, для степенной модели получены наилучшие показатели тесноты связи.

Графики моделей приведены в предыдущих расчетах.

Программа Advenced Grapher 8/ 0 показывает ещё следующие возможные регрессионные модели:

Логарифмическая модель:

 Y(x) = 4.7189419*ln(x) -2.8745813

Стандартное отклонение 1,2853802

 R² = 0.8611484

Экспотенциальная модель:

У(х) = 0,8971571*е^0,22х

Стандартное отклонение: 3,0569228

 R² = 0.7261548

Полиноминальна модель

У(х) = -0,0714504х² + 1,8598х - 2,9675345

Стандартное отклонение: 1,1326346

 R² = 0.8921867

Лучшая

Y(x) = 0,0080221х⁶ - 0,2899243х⁵ + 4,0186219х⁴ - 27,2974512х³ + 95,8786377х² - 163,8950124х + 106,6035793

R² = 0.9861976

Стандартное отклонение: 0,040621

4.      Составление прогноза

Прогноз валовой продукции выполняем по лучшей модели - степенной.

Вначале рассчитаем прогнозной значение числа работников на уровне 90% от среднего значения:

х_р = 0,9 = 0,9

Точечный прогноз:

найдем значение у_р подстановкой в уравнение регрессии:

у_р = 0,3571*5,322861^1,3975 = 3,695

для построения доверительного интервала вычислим предварительно среднюю стандартную ошибку прогноза m_p и предельную ошибку .

 = t_табл  m_p

m_p = σ_ост  

где σ_ост =

для степенной модели остаточная сумма: = 0,09586 в логарифмической форме, в действительной: 1,247, тогда

σ_ост =  = 0,4993 = 0,5

вычислим квадратичную сумму отклонений фактора х от среднего значения:

 = n = 7  3.55706 = 24.89942

Стандартная ошибка прогноза:

m_p = 0,5  = 0,538

при уровне значимости 0,05 и степени свободы df = 7 - 1 - 1 = 5 определим критическое значение критерия Стьюдента t_табл = 2,57, следовательно, предельная ошибка

 = t_табл  m_p = 2,57*0,538 = 1,382

Таким образом, можно определить нижнюю и верхнюю границы доверительного интервала:

y_min = y_p -  = 3.695 - 1.382 = 2.313_max = y_p +  = 3.695 + 1.382 = 5.077

выполненный прогноз достаточно надежен (95%), но точность невысока, так как диапазон верхней и нижней границы доверительного интервала составляет 5,077/2,313 = 2,2 раза.

Задача 2

По данным основных показателей производства с/х предприятий:

а.       Построить матрицу коэффициентов корреляции;

б.      Вычислить стандартизированные коэффициенты, ранжировать факторы по силе их влияния;

в.       Построить линейное уравнение множественной регрессии в нормальном масштабе;

г.       оценить тесноту связи факторов с результативным признаком;

д.      оценить качество и адекватность модели;

е.       оценить статистическую значимость уравнения в целом и целесообразность включения в модель каждого из факторов.

Число работников на 100 га пашни (х1), затраты на производство продукции на 100 га пашни (х2) и валовая продукция в сопоставимых ценах на 100 га пашни (у).

Дано: