Материал: Формализация управления рисками при деструктивных воздействиях на информационно-технологическую инфраструктуру критически важных объектов. Ермилов Е.В., Калашников А.О
pX j (x) f (x), |
j 1,2,...,n. |
Тогда функция распределения случайной величины
Xn' max(X1,X2,...,Xn) имеет вид
F ' (x) |
|
F(x) |
|
n |
(1.4) |
Xn |
|
, |
где ( ) = ∫ ( ) .
Для любого фиксированного x при стремлении n к бесконечности имеем:
limF |
|
1, |
если |
F(x) 1, |
' (x) |
если |
F(x) 1. |
||
n Xn |
0, |
|||
|
|
|
||
Даже если определяется собственное распределение переменной, интерес представляет предельное распределение последовательности преобразованных, в некотором смысле «уменьшенных» значений, таких как
an Xn' bn ,
гдеan иbn могут зависеть от n, но не от x.
Различают F(x) и функцию распределения наибольшего значения преобразованной («уменьшенной») случайной величины G(x). Если имеется Nn величин: X1, X2, …, XNn, то наибольшая из них есть также наибольшая из N величин:
max(X( j 1)n 1,X( j 1)n 2,...,Xjn ), j 1,2,...,N.
36
Следовательно, функция G(x) должна удовлетворять уравнению:
|
|
G(x) N G(aN x bN ) , |
|
(1.5) |
||||
Которое иногда называют постулатом стабильности. |
|
|||||||
Распределения (1.1) |
получаются |
при |
=1; |
|||||
распределения (1.2) |
и(1.3) |
– при |
|
|
. |
В последнем |
||
случае |
|
|
|
≠ 1 |
|
|
||
x a |
N |
x b x b (1 a |
N |
) 1, |
|
|
||
|
N |
N |
|
|
|
|
||
откуда следует, что |
G(bN (1 aN ) 1) |
должно быть равно 0 |
||||||
или 1. Выражение (1.2) соответствует значению 1, а(1.3) — значению 0.
Для случая =1, соответствующего(1.1), имеем:
G(x) N |
G(x bN ). |
(1.6) |
|||
Так как |
|
также |
должно |
удовлетворять |
|
(1.6), то получаем:( + ) |
|
|
|
|
+ ) |
[ ( )] = [ ( + )] = ( + |
|||||
и |
|
|
|
|
,(1.7) |
|
|
|
|
|
|
G(x) |
NM |
G(x bNM ), |
(1.8) |
||
|
|
||||
Поэтому |
|
|
= |
, |
|
+ |
|
|
|
||
следовательно, = log , где θ — константа.
37
Дважды логарифмируя почленно равенство (1.7), учитывая, что G 1, записываем:
log N log{ logG(x)} log{ logG(x log N}. (1.9)
Положим
h(x) log{ logG(x)} |
|
|||
Тогда при увеличении аргумента |
log |
величина |
||
h(х) убывает наlog .Следовательно, |
|
|||
h(x) h(0) |
x |
. |
|
(1.10) |
|
|
|||
|
|
|
||
Поскольку h(x) убывает по x, то θ > 0.Отсюда получаем:
G(x) exp e (x )/ ,
что совпадает с (1.1).
Существует связь между свойствами исходного распределения F(x) и типом предельного распределения. Эти условия относятся к поведению F(x) при больших (малых) x, если речь идет о наибольших (наименьших) значениях случайных величин. При одном и том же исходном распределении наибольшее и наименьшее значения могут иметь предельные распределения, относящиеся к разным типам[87]:
Условие сходимости к распределению (1.1):
38
limn 1 F X1 n 1 y X1 (ne) 1 X1 n 1 e y .
n
Условие сходимости к распределению (1.2):
lim 1 F(x) ck ,c > 0, k > 0. x 1 F(cx)
Условие сходимости к распределению (1.3):
lim1 F(cx ) ck ,, c > 0, k > 0, x 0 1 F(x )
где F(ω)=1, F(x) < 1 при x<ω.
Приведенные условия являются необходимыми и достаточными и показывают, что не существует иных распределений, удовлетворяющих постулату стабильности.
Среди указанных распределений особое место занимает распределение Гумбеля [87], которое представляется целесообразным использовать в качестве математической основыдля дальнейшего рассмотрения в настоящей работе, поскольку в ТП КВО самые большие неприятности возникают в случае превышения максимумов критических переменных состояния заданных пороговых значений. Такая нештатная ситуация может возникать, в том числе, в результате компьютерных атак, реализуемых путем проникновения в ИТИ КВО и принудительного изменения параметров ТП КВО, его критичных переменных состояния. Вероятностная оценка таких событий в сочетании с функцией ущерба открывает перспективу получения аналитических риск-моделей, что,
39
в принципе, и требуют ГОСТы [62, 90-93], которая также рассматривалась в монографии [94].
40