Контрольная работа: Функционалы

В дальнейшем будем считать, что пространство L конечномерно и dimL=n. Зафиксируем в пространстве L базис . Тогда

Þ, , Þ

,

где , , , .

Выражение

                                                            (4)

будем называть координатной формой записи билинейного функционала b в базисе  или кратко "билинейной формой b в базисе ". Матрица  называется матрицей билинейного функционала в базисе .

Если , то , . Следовательно, матрица  является симметрической, . На самом деле справедливо более сильное утверждение.

Предложение 7. Для того, чтобы функционал , необходимо и достаточно, чтобы его матрица  в произвольном базисе  пространства L была симметрической.

В доказательстве нуждается лишь вторая ("достаточная") часть утверждения. Пусть

Û, Û, , Þ , Þ

Предложение 8. 1. Отображение , , где  -фиксированный базис пространства L, является изоморфизмом векторных пространств над полем Р.

. Отображение , , является изоморфизмом векторных пространств над полем Р.

Здесь  - линейное пространство квадратных матриц над полем Р,  - его подпространство, состоящее из всех симметрических матриц.

. В доказательстве прежде всего нуждается обратимость отображения j. Пусть . Построим билинейный функционал b, , матрица которого  совпадает с матрицей В. Искомый функционал действует по формуле

                                                       (5)

Покажем его линейность по переменной х:

, .

Линейность по переменной y доказывается аналогично. Ä

Таким образом, . Кроме того,

,                                                (6)

т. е. матрица В совпадает с матрицей функционала b в базисе .

Для справедливости первой части утверждения остается проверить, что отображение j сохраняет операции сложения и умножения на скаляр в пространстве В(L) Ä.

. Справедливость этого утверждения является следствием равенства (5) и (6). В самом деле, если матрица В симметрическая, т. е. , , тогда

, ,

т. е. отображение  обратимо. Сохранение им операций пространства  вытекает из аналогичного свойства отображения j. 

Пусть  и  базисы в пространстве L и . Следующее предложение устанавливает связь между матрицами  и  функционала b.

Предложение 9. Пусть  матрица перехода от базиса  к базису. Тогда

                                                                                      (7)

В самом деле, поскольку для любых

где , ,

т. е.

для любых векторов  из Pn . Откуда и следует равенство (7). 

Верно и обратное утверждение.

Предложение 10. Пусть Р невырожденная матрица, , а  матрица билинейного функционала b в базисе . Тогда матрица  является матрицей функционала b в базисе  к , обладающего тем свойством, что Р есть матрица перехода от  к , . Ä

Следствием предложений 8 и 9 является следующее утверждение для симметрических билинейных функционалов.

Предложение 11. Пусть . Для того, чтобы матрица В , , была матрицей функционала b в некотором базисе пространства L, необходимо и достаточно, чтобы нашлись такая невырожденная матрица Р, , и такой базис  пространства L, что

.

Необходимость является следствием равенства (7). Достаточность является следствием предложения 9 и симметричности матрицы В при любой матрице Р,

.

Пример 5. Примером билинейного функционала на евклидовом пространстве Е является скалярное произведение <x,y>, . Проверка ее линейности по переменным x и y осуществляется на основании аксиом скалярного произведения [10], стр. 3.

Пример 6. Примером билинейного функционала на пространстве С[a,b] является интеграл

,

где K(t,s) -фиксированная непрерывная функция двух переменных t и s, изменяющихся на отрезке [a,b], . Линейность функционала I(x,y) по каждой переменной доказывается на основании соответствующих свойств определенного интеграла, так же как и в примере 2.

3. Квадратичные функционалы

Пусть . Пологая x=y, получаем функционал q(x)=b(x,x), который называется квадратичным функционалом. Таким образом, квадратичный функционал на пространстве L это отображение вида

, q:L(P)®P, x®q(x).

Множество всех квадратичных функционалов на пространстве L обозначим через Q(L). На самом деле, любой квадратичный функционал на L совпадает с ограничением некоторого симметрического билинейного функционала на L на диагональ {x=y} декартова квадрата L×L. Более того, справедливо следующее предложение.

Предложение 12. Отображение , действующее по правилу

,

является биекцией.

Пусть q(x)=b(x,x),где . Рассмотрим функционал b1(x,y), определенным равенством

.

Так как

для любых , то . Кроме того,

.

Таким образом, для любого квадратичного функционала q на пространстве L существует функционал , такой, что . Кроме того, такой функционал  единственный. В самом деле, если  и , тогда

 для любых

Зафиксируем в пространстве L базис , получаем в силу предложения 12 из равенства (1) следующую форму записи квадратичного функционала q в базисе :

                                                   (8)

где _ - симметрическая матрица, . Кратко эту форму записи будем называть квадратичной формой q в базисе . Матрицу  назовем матрицей квадратичного функционала q в базисе (или матрицей квадратичной формы q в базисе ). Матрицы  и  квадратичного функционала в базисах и  связаны равенством (7).

На множестве  введем следующее бинарное отношение: матрицу В назовем эквивалентной матрице А, если существует такая невырожденная матрица Р, , что

.

Введенное бинарное отношение обладает свойствами:

) рефлексивность ,

) симметричность Þ, где .

) транзитивность , Þ, где ,

т. е. является отношением эквивалентности. Введенное отношение эквивалентности разбивает множество  на классы эквивалентных между собой матриц. Ниже будет показано, что число этих классов в случае P=C равно n+1, а в случае P=R равно (n+2)/2. Пусть В фиксированная матрица из ,  фиксированный базис в L. Пара {B,e} порождает квадратичный функционал q на пространстве L, обладающий тем свойством, что его матрица в базисе  совпадает с матрицей В, а все матрицы, эквивалентные матрице В, и только они, являются матрицами функционала q во всевозможных базисах пространства L.

Замечание. Введенное отношение эквивалентности на множестве  порождает следующее отношение эквивалентности на множестве Q(L) : два функционала q1 и q2 объявляем эквивалентными, если их матрицы в каком-нибудь базисе пространства L эквивалентны. Ä

Нашей ближайшей задачей является классификация квадратичных функционалов на пространстве L с точностью до их эквивалентности.

. Приведение квадратичной формы к каноническому виду

Пусть qQ(L). Будем говорить, что квадратичная форма q в базисе  имеет канонический вид, если ее матрица в этом базисе, диагонально, т. е.

, .                                                     (9)

Целью этого пункта является доказательство утверждения, что для любого квадратичного функционала существует базис, в котором его форма записи имеет канонический вид. Это утверждение равносильно утверждению о том, что в любом классе эквивалентных между собой симметрических матриц из  существует матрица диагонального вида.