Контрольная работа: Функционалы

Прежде, чем доказать отмеченные утверждения, введем ряд определений [8].

Согласованными элементарными преобразованиями назовем следующие пары элементарных преобразований:

)  и ,

)  и , а¹0,

)  и , , .

Отметим, что элементарные матрицы, отвечающие двум согласованным элементарным преобразованиям, взаимно транспонированы. Поскольку применение к матрице одного элементарного преобразования равносильно умножению ее слева или справа на соответствующую элементарную матрицу e, то применение к квадратной симметрической матрице А пары согласованных элементарных преобразований не выводит ее из своего класса эквивалентности:

.

Пусть . Минор М матрицы А называется главным минором, если множества номеров строк и столбцов матрицы А, на пересечении которых стоит этот минор, одинаковы, . Следующие главные миноры матрицы А называются ее угловым минорами

, ,…,,…,.

Заметим, что если к некоторой матрице применить конечное число элементарных преобразований третьего типа (трансвекций), то ввиду свойства 3 определителей ([13], стр.11) все ее миноры, в том числе и угловые, останутся неизменными.

Предложение 13. Пусть .Существует конечное число согласованных элементарных преобразований, приводящих матрицу А к диагональному виду.

Вначале рассмотрим частный случай, когда все угловые миноры матрицы А отличны от нуля. , . Пусть , , . Так как , в матрице А можно провести следующую цепочку согласованных элементарных преобразований

, , .

В результате из матрицы А получается симметрическая матрица В,

~,

эквивалентная ей и обладающая тем свойством, что , .

В частности,  Þ . В матрице В проведем цепочку согласованных элементарных преобразований:

, , .

В результате получаем симметрическую матрицу С,

А~В~С=,

эквивалентную матрице А и обладающую свойством , Þ¹ 0. Продолжая этот процесс на n-1 шаге получим диагональную матрицу

,

эквивалентную матрице А. При этом , ,…, , откуда следует, что

, , …,                                                    (10)

Перейдем к общему случаю. Если , можно переходить к строке А. Пусть , но =0. Рассмотрим два случая: первый - для которого , , второй - для любого , . В первом случае следующая пара согласованных элементарных преобразовании ,  позволяет получить матрицу, эквивалентную матрице А, у которой на месте элемента  стоит . Во втором случае в первой строке матрицы А существует элемент , отличный от нуля, . Теперь пара согласованных элементарных преобразований  приводит к матрице, эквивалентной матрице А, у которой на месте элемента  стоит .

После этого осуществляется цепочка согласованных элементарных преобразований, аналогичных тем, которые проведены на первом шаге предыдущего случая. Если вторая строка полученной при этом матрицы В нулевая, то переходим к третьей строке, если же , но , проводится пара согласованных элементарных преобразований, выводящих на место элемента  ненулевое число и т. д. После конечного числа шагов и в этом случае будет получена диагональная матрица, эквивалентная матрице А. 

Замечание 1. Строго говоря, при доказательстве предложения 13 следует провести индукцию по n как в частном, так и в общем случаях. Предлагаем читателю в целях тренировки проделать этот формализм самостоятельно.

Замечание 2. Из доказательства предложения 13 следует, что для любой симметрической матрицы А существует конечное число согласованных элементарных преобразований, приводящих матрицу А к диагональному виду D, удовлетворяющему условию , , , , где . Действительно, если A~D, то  и согласованными переменами строк и столбцов можно добиться того, чтобы первые r элементов главной диагонали матрицы D были отличны от нуля, а остальные n-r ее элементов равнялись нулю.

Предложение 14. Пусть . Существует базис, в котором квадратичная форма q имеет канонический вид.

Возьмем произвольный базис  пространства L и матрицу  функционала q в этом базисе. Поскольку , в силу предложения 13 найдется конечное число согласованных элементарных преобразований, приводящих матрицу к диагональному виду , ,. Если через обозначить элементарную матрицу, отвечающую соответствующему i-тому столбцовому элементарному преобразованию, то матрицы  и D будут связаны равенством:

.

Введем матрицу . Матрица Р не вырождена как произведение обратимых матриц и

.

Следовательно, . В качестве  возьмем базис:

                                                                (11)

построенный по матрице , которая является матрицей перехода от базиса  к базису , . Тогда матрица D является матрицей функционала q в базисе , вследствие чего квадратичная форма q в этом базисе имеет канонический вид.

Замечание 3. Если квадратичная форма q в базисе  имеет вид

                                                               (12)

а в базисе - канонический вид

, где                                         (13)

тогда в силу предложения 11 связь между векторами  и  задается равенствами  и в координатной записи

                                                               (14)

Часто говорят, что формулы (14) определяют линейное невырожденное преобразование координат, которое приводит квадратичную форму (12) к каноническому виду (13).

Замечание 4. Если все угловые миноры матрицы  отличны от нуля, , , как следует из доказательства предложения 13, диагональные элементы матрицы D определяются по формулам (10), т. е. квадратичная форма q в этом случае имеет канонический вид

                                             (15)

Эта формула называется формулой Якоби.

Пример 6. Квадратичную форму

                                                                           (16)

линейным невырожденным преобразованием координат  привести к каноническому виду.

Необходимо найти невырожденную матрицу

такую, что преобразование координат

приводит форму (16) к виду

.

Считая  координатами вектора х в некотором базисе  трехмерного действительного пространства R3 , запишем равенство (16) виде

, где

и найдем матрицу Р, приводящую матрицу  к диагональному виду . Так как из доказательства предложения 14 следует, что

,

т.е. матрица Р является результатом применения к матрице Е столбцовых элементарных преобразований , приводящих вместе с соответствующими строчными элементарными преобразованиями матрицу  к виду D, то для отыскания матрицы Р достаточно составить матрицу

~

и провести в ней согласованные элементарные преобразования, приводящие блок  к виду D. Тогда на месте блока Е появится матрица Р. На практике более удобным является отыскание матрицы . Для этого достаточно составить матрицу (|Е) и привести блок  к виду D строчными элементарными преобразованиями, тогда на месте блока Е появится матрица .

.

Откуда следует, что

,

канонический вид формы q

                                                                     (17)

а искомое линейное невырожденное преобразование координат, приводящее форму (13) к виду (14), имеет вид