Контрольная работа: Функционалы
Функционалы
Контрольная работа
Функционалы
Введение
Функционалом называется отображения ¦: М1 ® М2 , определенное на множестве М1 произвольной природы и действующее в некоторое множество чисел М2 . Повседневная жизнь наполнена функционалами. Приведем лишь несколько примеров, оставляя читателю возможность неограниченного продолжения предлагаемого списка:
1) длина или вес (М1 - некоторое множество предметов, подвергаемых измерению или взвешиванию, М2 =(0,+¥));
2) ассортимент магазина или склада с указанием количества единиц товара данного вида ( М1 - множество видов товара, М2=NÈ{0} );
3) прирост населения (М1 -множество городов, регионов или стран, М2=Z);
Во всех областях математики, как и любой другой естественной науки, многочисленные функционалы присутствуют прежде всего в качестве структурных элементов аппарата исследования. Например,
) число решении (М1 -множество уравнений или систем уравнений, М2=NÈ{0});
) ранг матрицы (М1 - множество матриц, М2=NÈ{0});
) длина вектора (М1 -множество векторов, М2 =[0,+¥));
) определенный интеграл по фиксированному отрезку (М1-некоторое множество действительных функций, М2=R);
) расстояние между векторами в евклидовом пространстве E(R) (М1=E(R)´E(R), М2=[0,+¥ ) );
) скалярное произведение в евклидовом пространстве E(R) (М1=E(R)´E(R), М2 =R);
В примерах 8) и 9) в отличие от примеров 4)-7) функционалы зависят не от одной, а от двух переменных. Название вида числового множества М1, в которое действует данный функционал часто заменяется соответствующим названием функционала: целочисленный, положительный, действительный, комплексный, булевский и т.д. Например, длина вектора это неотрицательный (действительный) функционал, определенный на множество векторов.
Обилие и разнообразие функционалов, встречающихся в различных разделах математики, давно поставило задачу самостоятельного изучения их важнейших классов. Предметом линейной алгебры являются, в первую очередь, функционалы от одной или нескольких переменных , являющихся векторами из линейного пространства L(P), действующие в числовое поле P. При этом от функционала требуется выполнение свойства линейности по каждой переменной, состоящее в том, что линейную комбинацию векторов функционал, отображает в линейную комбинацию образов этих векторов с теми же коэффициентами. Такие функционалы от одной переменной называются линейными, от двух переменных билинейными, в общей случае - полилинейными.
Целевая функция в
симплекс-методе линейного программирования, неевклидовы метрики в специальной
теории относительности, теория кривых и поверхностей второго порядка - вот
первые примеры, скорее оправдывающие существование теории линейных и билинейных
функционалов, чем иллюстрирующие ее. Эти примеры будут рассмотрены позже.
1. Линейные функционалы
линейный квадратичный билинейный функционал
Пусть L=L(P) линейное
пространство над полем P. Линейным функционалом на
пространстве L называется
отображение 
,
удовлетворяющее условию
,
где 
, 
.
Множество всех линейных функционалов
на пространстве L обозначим через L*=L*(P). Сумму f1+f2 линейных
функционалов и произведение af линейного функционала на
скаляр определим равенствами:
,
.
Предложение 1. Если 
, 
тогда 
. Введенные операции сложения и
умножения на скаляр порождают на L* структуру линейного пространства
над полем Р. Ä
В дальнейшем будем считать, что
пространство L
конечномерно и dimL=n.
Зафиксируем в пространстве L базис 
. Тогда
где 
.
Вводя обозначения 
, получаем,
что
. (1)
Последнее выражение будем называть
координатной формой записи линейного функционала f в базисе 
или кратко
"линейной формой f в базисе ". Так
как переменные 
входят в
запись (1) в первой степени, это выражение часто называют линейной функцией от переменных
.
Отметив, что коэффициенты 
в (1)
зависят от базиса , выясним
правило, по которому они изменяются при переходе от одного базиса к другому.
Пусть 
еще один
базис в пространстве L и 
, 
. Следующее
предложение устанавливает связь между векторами 
и 
.
Предложение 2. Пусть 
-матрица
перехода от базиса к базису 
. Тогда
. (2)
В самом деле, так как для любого 
,
где 
, 
и 
, то в силу равенства (1) 
, т. е. 
для любых
векторов 
. Откуда и
следует равенство (2).
Пусть 
, тогда равенство (2) можно
расписать в виде
Если теперь сравнить полученные
формулы с формулами (1.20) из [9], стр. 31, выражающими связь между векторами
базисов и , то можно
сделать вывод, что коэффициенты линейной формы в базисе преобразуются при
переходе к другому базису так же, как векторы базиса.
Предложение3. Отображение 
, 
, где -
фиксированный базис пространства L, является изоморфизмом векторных пространств
над полем Р.
w Вначале
покажем биективность отображения j.
Пусть 
и 
, то есть 
, 
. Тогда
для любых , то есть ƒ=g. Отсюда
следует инъективность отображения j.
Теперь покажем сюръективность отображения j.
Пусть 
. Функционал
ƒ(х)
определим равенством
.
В силу свойств координат вектора в
базисе [9], стр.31,
.
для любых , .
Поэтому
Следовательно, 
. Кроме
того,
,,
то есть 
. Þ j -биекция.
Осталось показать, что отображение j сохраняет операции сложения
функционалов и умножения функционала на скаляр. Действительно, если
где 
, 
, то
Þ 
Þ j
-изоморфизм.
Следствие. dimL*(P)= dimL(P) и L*(P)
L(P)
По критерию изоморфности двух
линейных пространств [1], §1, dimL*(P)= dimPn=n. Так как n= dimL(P), то L*(P) L(P) .
Пример 1. Рассмотрим
основную задачу линейного программирования. Предприятие производит продукт n
видов, цена единицы продукта k-ого вида равна , количество произведенной продукции
k-ого вида равно 
, стоимость
S всей произведенной продукции (за определенный период времени) выражается
формулой
.
Требуется при некоторых ограничениях
на 
, связанных
с ресурсами сырья, спросом, производственными возможностями и так далее, найти
такое значение вектора 
, при
котором функционал S(х) является линейным функционалом на пространстве Rn и
называется целевой функцией.
Пример 2. Пусть 
. Тогда
является линейным функционалом на
пространстве 
, так как в
силу известных свойств определенного интеграла
Оптимизация (т. е. нахождение минимума или максимума) функционалов в бесконечномерном пространстве, представимых в виде интегралов, является предметом специальной дисциплины - вариационного исчисления.
Пример 3. В том же пространстве рассмотрим
функционал g(j), представляющий собой
значение функции j(x0) в
произвольной, (но фиксированной!) точке x0 отрезка
[а,b], a£ x0 £b, g(j)=j(x0).
Так как 
, для любых 
и 
, то
функционал g является линейным. Функционал g имеет специальное обозначение 
, называется
- функцией
Дирака, сосредоточенной в точке x0, и играет большую роль в
математической физике.
(3)
Ввиду аксиом скалярного произведения
[10], стр. 3, ƒ является
линейным функционалом на пространстве Е. Более того, любой линейный функционал
на пространстве Е может быть представлен в виде (3) [2], стр. 190.
. Билинейные функционалы
Пусть L=L(P) линейное
пространство над полем Р. Билинейным функционалом на пространстве L называется
отображение b: L×L 
P, (х,y) b(x,y)
P,
удовлетворяющее условиям:
) 
) 
где 
, . Условия 1)
и 2) называются условиями линейности функционала по переменной х (условие 1)) и
по переменной y (условие 2)).
Множество всех билинейных
функционалов на пространстве L обозначим через B(L)=B(L(P)). Сумму b1+b2 билинейных
функционалов и произведение ab билинейного функционала на скаляр определим
равенствами:
.
Предложение 4. Если 
, , тогда 
, 
. Введенные
операции сложения и умножения на скаляр порождают на B(L) структуру линейного
пространства над полем Р. Ä
Пусть 
, тогда отображение 
, 
, является
билинейным функционалом на пространстве L , вообще говоря, отличным от b. Если 
, т. е. 
, , функционал
b называется симметрическим билинейным функционалом. Множество всех
симметрических билинейных функционалов на пространстве L обозначим через 
.
Предложение 5. Множество является
подпространством в пространстве B(L). Ä
Предложение 6. Пусть 
-
подпространство в пространстве L и , тогда отображение 
, является
билинейным функционалом на пространстве . В частности, если 
, то 
. Ä