Контрольная работа: Функционалы

.

Пусть , . Обозначим через  и заметим, что , поскольку , где b-симметрический билинейный функционал, порождающий функционал q, является симметрическим билинейным функционалом на пространстве Lk и . Ясно, что для любого k, , функционалы qk являются положительно определенным и, следовательно, существует базис в Lk, в котором матрица qk имеет вид единичной матрицы порядка k. Но тогда определитель матрицы функционала qk в базисе  также положителен. Остается отметить, что он совпадает с . Таким образом, матрица  функционала q в произвольном базисе е удовлетворяет условию Сильвестра.

) Þ 4) Очевидно.

) Þ 2) Пусть матрица  в фиксированном базисе е удовлетворяет условию Сильвестра. В силу замечания 4 к предложению 14 существует базис{u}, в котором квадратная форма q(x) имеет канонический вид (15).

Так как Mk>0, , в силу предложений 16 и 17 r+ =n. 

Функционал , называется положительным полуопределенным, если

(x)³0, .

Предложение 20. Пусть  и dimL (R)=n. Следующие утверждения эквивалентны:

) q- положительно полуопределенный,

) r-(q)=0,

) матрица  в произвольном базисе {e} пространства L(R) удовлетворяет слабому условию Сильвестра, т. е. все ее угловые миноры неотрицательны.

) матрица  в фиксированном базисе {e} пространства L(R) удовлетворяет слабому условию Сильвестра. Ä

Функционал  называется отрицательно определенным (отрицательно полуопределенным), если

q(x)<0, , (q(x)£ 0, ).

Предлагается читателю сформулировать и доказать аналоги предложений 10 и 20 для отрицательно определенных квадратичных функционалов.

Указание. q(x)≥0, Û - q(x)£0, .

Функционал  называется неопределенным, если существуют такие , что .

Предложение 21. Пусть  и dimL (R)=n. Для того, чтобы функционал q был неопределенным, необходимо и достаточно, чтобы функционал q был неопределенным, необходимо и достаточно, чтобы

 и . Ä

7. Алгоритмы и примеры

Рассмотрим основные практические задачи, возникающие в теории квадратичных форм:

) построение линейного невырожденного преобразовании координат, приводящего квадратичную форму к каноническому (или нормальному) виду;

) вычисление инвариантов квадратичной формы (это задача опирается на предыдущую ,так как требует знания канонического или нормального вида квадратичной формы);

) выяснение эквивалентности (или неэквивалентности) двух квадратичных форм и построение линейного невырожденного преобразования координат, переводящего одну квадратичную форму в другую;

) исследование вещественной квадратичной формы на положительную определенность.

Выше в разделе 4 изложен универсальный алгоритм решения задачи!) (см. пример:), основанный на приведении симметрической матрицы согласованными элементарными преобразованиями к диагональному виду.

В добавление к этому рассмотрим метод Лагранжа решение задачи1), который ввиду своей простоты в стандартных ситуациях обладает преимуществом перед описанным выше методом.

Метод Лагранжа использует процедуру выделения полного квадрата линейной формы, которая встречается в школьном курсе математики при изучении квадратичных трехчленов, и опирается на следующее тождество

                                            (25)

Если нам дана квадратичная форма

,

то при  мы можем, воспользовавшись формулой (25), выделить полный квадрат

 ,

где , включающий все слагаемые, содержащие . В результате

,

где  - квадратичная форма от переменных . Применяя после этого аналогичный прием к форме g, выделяем в полный квадрат все ее слагаемые, содержащие  и т. д. После конечного числа шагов исходная квадратичная форма f будет представлена в виде линейной комбинации полных квадратов от некоторых линейных форм, что позволяет с помощью соответствующей замены переменных получить ее канонический вид.

Пример 7. Следующую квадратичную форму

                                         (26)

привести методом Лагранжа к каноническому виду.

На первом шаге выделим полный квадрат, содержащий все слагаемые с

,.

После этого выделяя полный квадрат, содержащий все слагаемые с , получим, что

Проводя замену

и выражая из полученных формул  через , выписываем линейное невырожденное преобразование координат

                                                                          (27)

с матрицей

,

приводящее исходную квадратичную форму к каноническому виду,

                                                                    (28)

Нетрудно заметить, что метод Лагранжа позволяет на очередном шаге исключить лишь ту переменную , квадрат которой  имеет ненулевой коэффициент (т. е. a≠0). Если же в рассматриваемой записи квадратичной формы нет ни одного квадрата переменных, нужно провести вспомогательное линейное невырожденное преобразование координат, приводящее к появлению нужных квадратов.

Пример 8. Применим метод Лагранжа к квадратичной форме вида (16).

Так как она не содержит ни одного квадрата переменной, проведем следующее невырожденное преобразование координат ,

                                                                        (29)

с матрицей

.

После замены переменных форма (16) принимает вид

.

Исключая последовательно переменные  и  методом Лагранжа, получаем, что

  (30)

Где

Выражая из этих формул  через , находим, что

Наконец, подставляя найденные выражения для  в формулу (29), выписываем линейное невырожденное преобразование координат

с матрицей

,

приводящее квадратичную форму вида (16) к каноническому виду (30).

Замечание. В целях вычислительного контроля рекомендуется подставить найденные выражения для  в формулу (16) и получить канонический вид (30).

Пример 9. Показать, что вещественные квадратичные формы q в виде (16) и f вида (26) эквивалентны и построить линейное невырожденное преобразование, переводящее форму q в форму

                                       (31)

Из решения примера 6 следует, что ,  (см. формулу (17)), а из решения примера 7 следует, что  (см. формулу (27)). Но тогда в силу предложения 18 q~f. Остается построить линейное невырожденное преобразование, переводящее форму q в форму f.

Из формул (17) и (18) следует, что преобразование

                                                                            (32)

приводит форму (16) к каноническому виду

                                                                   (33)

(проведена замена  в формулах (17) и (18)).

Но тогда преобразование

                                                                        (34)

приводит форму (16) к каноническому виду

                                                                          (35)

(проведена замена  формулах (32) и (33)).

Далее, из формул (27) и (28) следует, что преобразование

приводит форму (26) к виду (35) (проведена замена ( в формулах (27) и (28)).

Легко проверить, что обратное преобразование имеет вид

и переводит форму вида (35) в форму вида (26). Но тогда линейное невырожденное преобразование

переводит форму вида (35) в форму вида (31). Подставляя найденные выражения для  в формулы (34), получаем линейное невырожденное преобразование

переводящее форму q вида (16) в форму f вида (31).

Пример 10. Выяснить, при каких значениях параметра l является положительно определенной следующая квадратичная форма,

.

Из предложения 19 следует, что форма q будет положительно определенной в том и только в том случае, если все угловые миноры ее матрицы

,

положительны, т. е. ()

, .

Раскрывая определители как многочлены относительно l, получаем следующую систему неравенств.

Û

Так как корни квадратного трехчлена  по модулю больше 3, множество решений системы неравенств совпадает с интервалом (-3,3). Таким образом, квадратичная форма q является положительно определенной при |l|<3.

Историческая справка.

Фундаментальные понятия теории квадратичных форм фактически появились уже вместе с евклидовой геометрией. Однако, ее формирование и развитие в современном виде восходит ко второй половине XVIII в. в связи с потребностями арифметики, анализа и механики. Приведение к каноническому виду (Лагранж, 1759), закон инерции (Якоби, Гаусс, 1846-1850).

Литература

1.       Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. - М. : Наука,1971.

2.      Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения. - М.: Наука, 1975.

.        Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.- М.: Наука, 1971.

.        Воеводин В.В. Линейная алгебра. - М.: Наука, 1974.

.        Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Линейная алгебра. - М.: Наука, 1984.

.        Ланкастер К. Математическая экономика. - М.: Советское радио, 1972.

.        Дыбин В.Б. Лекции по линейной алгебре, Ч I, Вып. I, Алгебра матриц. Ростов-на-Дону: Изд. РГУ, 1995.

.        Дыбин В.Б. Лекции по линейной алгебре, Ч I, Вып.2, Матрицы и системы уравнений.- Ростов-на-Дону: Изд. РГУ, 1995.

.        Дыбин В.Б. Евклидовы пространства, Методические указания Вып.VI.- Ростов-на-Дону: Изд. РГУ, 2005.

.        Дыбин В.Б., Семигук В.М. Алгебра матриц. Методические указания. Вып.1.- Ростов-на-Дону: Изд. РГУ, 2004.

.        Дыбин В.Б., Семигук В.М. Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений. Методические указания. Вып. II.- Ростов-на-Дону: Изд. РГУ, 1996.

.        Дыбин В.Б., Семигук В.М. Теория определителей. Методические указания. Вып.3.- Ростов-на-Дону: Изд. РГУ, 2006.

.        Дыбин В.Б., Семигук В.М. Линейные пространства. Базисы и координаты. Методические указания. Вып. V.- Ростов-на-Дону: Изд. РГУ, 2005.