Контрольная работа: Функционалы
(18)
Замечание 5. Для контроля за
вычислительными ошибками целесообразно формулы (18) подставить в равенство (16)
и получить канонический вид (17).
5. Классификация комплексных и
вещественных квадратичных функционалов
Прежде всего заметим, что если 
, то ввиду
равенства (7) матрицы 
и 
функционала
q в базисах 
и 
имеют
одинаковый ранг. Поэтому корректным является следующее определение.
Рангом квадратичного функционала на
пространстве L называется ранг его матрицы в произвольном базисе пространства
L,
Теперь мы можем доказать следующий критерий эквивалентности двух квадратичных функционалов на пространстве L(C).
Предложение 15. Пусть 
и 
. Следующие
утверждения эквивалентны:
) 
;
) 
;
) для каждого из функционалов 
и 
существует
базис, в котором его матрица имеет вид
(19)
По определению 
Û
для любого
базиса пространства
L. Поэтому для справедливости доказываемого утверждения достаточно показать,
что 
Û
Û
, 
.
В самом деле, в силу предложения 13
каждая симметрическая матрица 
эквивалентна матрице 
. Так как 
, то можно
считать что 
, 
, 
, 
(см.
Замечание 2). Но
Где 
, а 
- любое из двух значений квадратного
корня из комплексного числа 
, 
, т.е. 
, где 
имеет вид
(19).
Если 
, тогда
где 
, Þ
Þ
, 
. Обратно , Þ
Þ
.
Замечание 6. Из предложения 15
следует, что множество 
распадается
на n+1 класс
эквивалентных между собой матриц. Две матрицы при этом являются эквивалентными,
тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый ранг. Представителями каждого
класса эквивалентности является матрицы 
вида (19), 
, 
, 
.
Для любого функционала 
, существует
базис в котором
квадратичная форма q имеет вид
где r=rangq, 
(20)
Этот вид комплексной квадратичной формы называется нормальным и в силу предложения 15 является единственным для любого комплексного функционала на пространстве L(C).
Теперь рассмотрим случай P=R. Прежде чем
провести классификацию вещественных квадратичных функционалов, заметим, что для
вещественного квадратичного функционала, вообще говоря, не существует базис , в котором
он может быть записан в виде (20). Это связано с тем, что не существует
вещественного числа, являющегося квадратным корнем из отрицательного числа. В
связи с этим дадим следующее определение.
Будем говорить, что функционал 
, в базисе пространства
L(R) имеет нормальный вид, если
, (21)
, 
, 
.
Предложение 16. Пусть 
, тогда
существует базис в пространстве L(R), в котором квадратичная форма q имеет
нормальный вид.
В силу предложения 14 существует
базис , в котором
матрица функционала q диагонально. 
, 
. Можем считать, что 
, 
, 
, 
, , 
.
В противном случае, как и при
доказательстве предложения 15, добьемся выполнения этих условий с помощью
конечного числа согласованных перемен местами строк и столбцов. Но
,
Где 
,
(22)
где 
. Откуда следует, что в базисе :
, 
,
, 
квадратичная
форма q имеет вид (21).
Следующее предложение усиливает только что доказанный результат для вещественных квадратичных форм и, по существу, является теоремой единственности нормального вида для таких квадратичных форм.
Предложение 16. (Закон инерции
вещественных квадратичных форм.) Пусть . Тогда число положительных и
отрицательных квадратов нормального вида квадратичной формы q не зависит от
базиса, в котором квадратичная форма имеет этот вид.
Предположим, что
квадратичная форма ранга r в базисе имеет вид:
(23)
где 
, а в базисе имеет вид
(24)
где 
. Покажем, что k=l.
Действительно, допустим, что l<k, рассмотрим
в L подпространство 
.
Так как система векторов 
состоит из n+(k-l) векторов,
она линейно зависима
Þ
Þ
ввиду линейной независимости системы
Þ
.
Пусть 
, x¹0.Тогда
, 
.
Вычислим значение q(х) двумя
способами по формулам (23) и (24), получаем, что
.
что возможно лишь в случае 
Þ 
Þx=0 .
Аналогичным рассуждением доказывается, что невозможно неравенство l>k. Таким образом, l=k.
Число 
положительных (отрицательных)
квадратов канонического вида вещественного квадратичного функционала q
называется его положительным (отрицательным) индексом инерции. Ясно, что 
, где r=rang q.
Предложение 18. Пусть 
и dimL(R)=n. Следующие
утверждения равносильны:
) 
,
) 
,
)для каждого из функционалов 
и 
существует
базис, в котором его матрица имеет вид (22). Ä
Замечание 7. Сигнатурой
вещественного квадратичного функционала q называется число 
.Числа 
называются
инвариантами q. Знание любых двух инвариантов квадратичного функционала q из
отметенного множества инвариантов однозначно определяет класс эквивалентности
как в Q(L(R)), так и в 
. Предлагаем
читателю показать самостоятельно, что число классов эквивалентности, в данном
случае совпадающее с числом различных матриц вида (22), равно
.
. Определенные вещественные
квадратичные функционалы
Среди квадратичных функционалов на
пространстве L (R) особый
интерес представляют так называемые положительно определенные функционалы, т.е.
такие функционалы , что
(x)>0, 
, x¹0.
Этот интерес связан с тем, что связанные с такими функционалами q симметрические билинейные функционалы вида
удовлетворяют аксиомам скалярного произведения и поэтому каждый из этих билинейных функционалов порождает на пространстве L(R) структуру евклидова пространства, различную для различных функционалов.
Будем говорить, что матрица 
,
удовлетворяет условию Сильвестра, если все ее угловые миноры положительны,
, 
.
Следующая теорема дает описание класса всех положительно определенных квадратичных функционалов на пространстве L(R).
Предложение 19. Пусть и dimL (R)=n. Следующие
утверждения равносильны:
) q- положительно определенный функционал;
) 
;
) матрица функционала
q в произвольном базисе е пространства L(R) удовлетворяет условию Сильвестра;
) матрица функционала
q в фиксированном базисе е пространства L(R) удовлетворяет условию Сильвестра.
Выберем произвольный базис 
, в котором
квадратичная форма q(х) имеет нормальный вид
,
где 
, 
, и заметим, что
.
Пусть q(x)>0, 
, 
. Тогда 
, т. е. 
, , . Обратно,
пусть Û. Тогда
, ,
т. е. q- положительно определен.
)Þ3) Заметим, что определители матриц функционала
q в любом базисе {e} отличны от нуля и имеют одинаковый
знак, так как