Материал: Интегральное исчисление функции одной переменной. Дурова В.Н., Зайцева М.И

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

		n	1	n	1
lim	0		f ( k ) xk		g( k ) xk
max xk	0	k	0	k	0
		k	0	k	0
b		b
f (x)dx			g(x)dx.
a		a

Замечание: Свойство справедливо для любого конечного числа слагаемых.

Следствие:

Af (x) Bg(x) dx A f (x)dx B g(x)dx

(свойство линейности операции интегрирования).

3. Если отрезок a, b разбит точкой С на части, то

интеграл по всему промежутку равен сумме интегралов по его частям (при любом расположении точек a, b, и с).

b	c	b
f (x)dx	f (x)dx	f (x)dx
a	a	c

(свойство аддитивности).

Доказательство:

а) Пусть a<c<b. Величина определѐнного интеграла не зависит от способа деления отрезка a, b на частичные. Будем разбивать отрезок a, bна части так, чтобы точка с оказалась одной из точек деления в каждой из интегральных сумм.

Рис. 11.

f (x)dx

lim

f ( k )

max

lim

f (

k )

f ( k ) xk

max

lim

f (

k )

lim

f (

k ) xk

max

(a,c)

max xk

(c,b)

f (x)dx

f (x)dx.

Геометрически: SaABb

SaACc

ScCBb .

b) Если a<b<c, то по доказанному:

c	c	b	b	c	c	b	c	b
								.
a	a	c	a	a	b	a	a	c

II. Свойства, выражаемые неравенствами

1. Если функция		f (x)		0 интегрируема на отрезке a, b
b
(a<b), то	f (x)dx	0 .
a
Доказательство:
b			n 1
f (x)dx	lim	0		f ( k ) xk .
a	max xk	0	k	0
a			k	0

Каждое слагаемое интегральной суммы In неотрицательно,

поэтому I n 0 .	Предел неотрицательной величины не может
быть отрицательным.
2. Если f(x) и g(x) интегрируемы на отрезке a, b					(a<b) и
удовлетворяют на нѐм равенству f (x)			g(x) , то
b	b
f (x)dx	g(x)dx (неравенства можно интегрировать,
a	a
когда a<b).
Доказательство:
Так как g(x) f (x) 0		x a,b , то по свойству 1:
b		b	b
g(x) f (x) dx 0		g(x)dx	f (x)dx 0
a		a	a
b	b
и f (x)dx	g(x)dx .
a	a
Неравенство обращается в равенство, если				f (x)	g(x) на
a, b .
3. Если f(x) интегрируема на отрезке a, b				и a<b, то

	b		b
								(6)
		f (x)dx		f (x)	dx			(6)
	a		a
Доказательство:
	n	1		n	1
	n	1		n	1
		f (xk ) xk				f (xk )	xk (правило	треугольника).
		f (xk ) xk				f (xk )	xk (правило	треугольника).
	k	0		k	0
Переходя в			обеих частях неравенства к					пределу при
max xk		0 получим формулу (6).
4.		Если	функция f(x) интегрируема на					a, b (a<b) и
существуют числа m и М такие,							что во всех точках отрезка

a, b выполняется неравенство m f (x)

M , то

m(b a)

f (x)dx M (b a) .

Рис. 12.

Геометрический смысл:

SaCDb SaABb SaC1D1b (рис. 12).

Доказательство:

По свойству 2 проинтегрируем неравенство:

f (x)

M по отрезку a, b .

mdx

f (x)dx

Mdx

или

f (x)dx

dx,

m(b a)

f (x)dx M (b a).

Пример. Оценить интеграл:

1 sin2 x

Так как

a,b ,

sin2

то

1,12 .

2 2

5. Теорема о среднем для определѐнного интеграла.

Теорема. Если функция f(x) непрерывна на отрезке a, b , то внутри отрезка найдется хотя бы одна точка с c a, bтакая, что имеет место равенство:

Источник: https://studfile.net/preview/16565820/

Смотрите также:




_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Образ–Я' и его развитие средствами диалога