Материал: Интегральное исчисление функции одной переменной. Дурова В.Н., Зайцева М.И

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

		2
Иначе:	S 2 sin xdx 4 , но	sin xdx 0	-
	0	0

алгебраическая сумма площадей.

Вычислим теперь площадь криволинейной трапеции в случае, когда кривая задана уравнениями в параметрической форме.

Пусть

(t)

T , причѐм

(t)

(t0 ) a

(T )

b .

B(T)

A(t0)

Тогда по (1): S

ydx .

Рис. 34.

Делаем в

этом

интеграле замену

переменной:

(t);dx

(t)dt; y

(t) .

(t)

(t)dt

(2)

Пример. Вычислить площадь эллипса:

a cost .

b sin t

Вычислим площадь одной четвертой эллипса.

В первой четверти (рис. 35):

0;t1

a;t2

												y

													t= /2
												b	t= /2


																t=0
												0				t=0
												0


																a	tx
											Рис. 35.
											Рис. 35.
1				a			0								0
1	S				ydx			b sin t a cost						dt		absin2 tdt
4	S				ydx			b sin t a cost						dt		absin2 tdt
4
			0
							2								2

			2 sin2 tdt						2 1
	ab							ab	2 1			cos2t		dt	ab	t		sin 2t	2
	ab							ab				2		dt	2	t		2	0
												2			2			2
			0						0
			0						0
		ab				0		ab		; S		ab
						0				; S		ab
	2		2					4

Если a=b=R, то S R2 - площадь круга.

4.3. Площадь криволинейного сектора в полярной системе координат

1. Полярные координаты Декартовы координаты – не единственный способ

определять положение точки. Существует много типов координатных систем. Наиболее употребительной (после декартовой) системой координат на плоскости является полярная.

Возьмѐм на плоскости точку О, которую назовѐм полюсом. Проведѐм луч ОР – полярную ось. Выберем единицу масштаба. Возьмѐм на плоскости произвольную точку

Рис. 36.

Рис. 37.

М и соединим

еѐ с полюсом

(рис. 36).

Полярными

координатами точки М называются числа

- полярный радиус точки М, - еѐ полярный угол:

M , .

Очевидно, что 0

Если угол

отсчитывать

против

часовой

стрелки

(положительные значения), то достаточно рассматривать его

значения в промежутке 0		2 .	Иногда приходится
рассматривать углы больше,		чем 2	.	Иногда наряду с
положительными,	рассматривают		и	отрицательны:
.
При таком	соглашении	каждой	точке на плоскости
(кроме полюса)	соответствует единственная пара чисел

,. Для полюса полярный угол не определѐн.

2. Связь декартовых координат с полярными.

Совместим с полярной системой координат декартову так, чтобы еѐ начало совпало с полюсом, а ось Ох с полярной осью; , - полярные координаты точки М, а

(х,у) – еѐ декартовы координаты. Из треугольника:

x	cos		x 2 y 2
			y	(3)
y	sin	tg	y

			x
			x

Получили формулы перехода от полярной системы координат к декартовым и наоборот.

Как и в случае декартовой системы координат, всякой кривой можно поставить в соответствии еѐ уравнение в

полярной системе координат:				F ,	0 .
Пример 1. Записать уравнение кривой в полярных
координатах:					y
x2 y 2	2ax	x a 2	y 2	a2 .
Получили уравнение окружности,					0
центр которой в точке (а,0). Ее										x
									2a
							a
							a
уравнение в полярной системе ко-


ординат имеет вид:						Рис. 38.
	2a cos .
Пример 2. Записать уравнение кривой в полярных
координатах:		= а sin 6	(а>0).. Сделать чертеж.
Для построения графика линии, заданной в полярной
системе	координат ( ,		)уравнением			вида		=	(	)

необходимо вначале установить при каких значениях

полярного угла	выполняется	неравенство	0 ,
обусловленное тем,	что полярный	радиус	, являясь

расстоянием от начала координат, всегда неотрицателен. В

нашем случае sin6			0 , откуда
2 n	6	2 n +	или	n/3	n/3 + /6. Здесь

достаточно ограничиться значениями n = 0,1,2,3,4,5, т.к. при других значениях п с точностью до целого числа полных оборотов полярного луча для будет получаться то же самое.

Рис. 39.

Задаваясь значениями и вычисляя соответствующие можно построить график линии (рис.39 ).

Пример	2.	Записать уравнение кривой в полярных
координатах:	x2	y2 2	a2 x2 y2	. Сделать чертеж.
				/4

- /4

Рис. 40.

Воспользуемся формулами (3)

4	a 2	2 cos2	sin2	,
4	a 2	2 cos2 ;
4	a 2	2 cos2 ;	a	cos2 .

100

Источник: https://studfile.net/preview/16565820/

Смотрите также:




_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Образ–Я' и его развитие средствами диалога