ЗАНЯТИЕ 9. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОМ СТАТИСТИКИ
Статистика разрабатывает методы сбора, систематизации, анализа, интерпретации и отображения результатов наблюдений массовых случайных явлений с целью выявления существующих в них закономерностей. Математическая статистика создает математический аппарат анализа массовых социальных явлений. С помощью методов математической статистики можно группировать сведения по какому-либо признаку, выделять обобщающие показатели, переходить от единичного к общему, от случайного к закономерному. Представители обществоведческих наук «должны уметь правильно интерпретировать статистические данные, иметь представление о степени их достоверности и значимости, владеть простейшими методами оценки ситуаций и построения прогнозов» (А.С. Калитвин).
п. 9.1. Первоначальные понятия математической статистики: выборка, числовые характеристики распределений.
Вся подлежащая изучению совокупность объектов называется генеральной совокупност ью. Понятие генеральной совокупности в определённом смысле аналогично понятию случайной величины, так как полностью обусловлено определённым комплексом условий. Та часть объектов, которая отобрана для непосредственного изучения из генеральной совокупности, называется выборкой.
Выборка называется независимой (несвязной), если полученные результаты измерения некоторого свойства (признака) у испытуемых одной выборки не оказывает влияния на результаты измерений этого же свойства (признака) у испытуемых другой выборки. И, напротив, выборки называются зависимыми (связными), если процедура одного эксперимента на одной выборке оказывает влияние на другую выборку.
Результаты экспериментов удобно располагать в таблицах, именуемые вариационным или статистическим рядами.
Вариационным рядом распределения называют ранжированный в порядке возрастания (или убывания) двойной ряд чисел, показывающий сколько раз встречается значения признака в выборке. Числа, показывающие, сколько раз встречаются варианты из данного интервала, называются частотами, а отношение их к общему числу наблюдений - относительными частотами.
Первоначальный анализ полученных числовых данных проводят с помощью числовых характеристик.
Мода это такое числовое значение, которое встречается в выборке наиболее
часто. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Медиана - величина, |
по |
отношению к |
которой по крайне мере 50 % |
|||||
выборочных значений меньше нее и по крайней мере 50 % - больше. |
|
|
||||||
Среднее арифметическое ряда |
из п |
числовых |
значений |
Х х,Х 2,..,Х п |
||||
подсчитывается по формуле |
— |
1 ( п |
>1_ X1+X 2 + .. + Xw_ 1 |
с п |
Л |
|||
X = — У 1 г |
п |
|
У Д |
• /i |
||||
|
|
п I i=i |
|
п \ , |
I |
|
||
Разброс (размах) - |
разность |
между |
максимальной |
и |
минимальной |
|||
величинами данного конкретного вариационного ряда R = Хтах - |
ХпАп. |
|
||||||
76
|
п |
_ |
* |
Д и сп ер си я - мера рассеяния случайной величины П = — ■№ |
- * ) |
■ |
|
и |
j=1 |
|
|
Для того чтобы приблизить размерность дисперсии |
к |
размерности |
|
измеряемого признака, применяют операцию извлечения квадратного корня из дисперсии. Полученную величину называют ст андарт ны м от клонением .
Ст епень свободы - число свободно варьирующих единиц в составе выборки. Для ряда статистических методов расчет числа степеней свободы имеет свою специфику.
П ример № 9.1. Пусть нашей задачей является выявление картины успеваемости студентов, сдавших зачет по курсу «Математика». На курсе 50 человек. Полученные студентом оценки представляют собой (в порядке алфавитного списка) следующий набор чисел: 3, 4, 5, 4, 3, 3, 5, 4, 3, 5, 5, 2, 3, 5, 3,
5, |
3, |
5, |
4, |
4, |
3, |
3, |
4, |
3, |
4, |
3, |
5, |
3, |
3, |
4, |
3, |
4, |
3, |
5, |
3, |
4, |
4, |
3, |
5, |
3, |
3, |
5, |
4, |
2, |
5, |
3, |
4, |
2, |
3, |
5. |
Как видно, числа повторяются и работать с ними не удобно. Постройте полигон, |
||||||||||||||||||||||||||||||||
гистограмму, |
кумуляту. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1.Составим вариационный ряд, для этого запишем в таблицу сколько раз
встречаются варианты « 2», «3», «4», « 5».
Варианты
Частоты
Относительные
частоты
S
1
2 |
3 |
4 |
5 |
3 |
21 |
13 |
13 |
0,06 |
0,42 |
0,26 |
0,26 |
2. Найдем числовые характеристики признака, означающее: баллы, полученные по предмету «Математика».
|
Мода М0 = 1 1 1 = 4,5. |
|
|
|
S |
Медиана Ме - 4. |
|
|
|
. ^ |
А |
^ |
2-3 + 3- 21 + 4-13 + 5-13 |
|
v |
Среднее арифметическое |
X |
= --------------- —--------------- S 3,72. |
|
S |
Размах R = 5 - 2 = 3. |
|
|
|
S |
Дисперсия |
|
|
|
D = + ( 3 |
- (2 |
- 3,72)2 + 21 • (3 - 3,72)2 +13 • (4 - 3,72)2 +13 • (5 - 3,72)2) = 0,81. |
||
КП v |
|
|
|
f |
S |
Стандартное отклонение а = 4 Ъ = 0,9. |
|||
3. Построим гистограмму.
Задание № 9.1. Составьте вариационный ряд: 18, 19, 19, 22, 23, 17, 18, 21, 18, 19, 20, 20, 21, 18, 19, 19, 21, 22, 23, 17.
Найдите числовые характеристики, постройте 1 полигон, гистограмму, кумуляту.
Важнейшей задачей выборочного метода является оценка параметров (числовых характеристик) генеральной совокупности по данным выборки. И нт ервальной оценкой
парамет ра у называется числовой интервал, который с заданной вероятностью
77
покрывает неизвестное значение параметра у. Такой интервал носит название «доверительного интервала».
П ример № 9.2. При обследовании выработки 1000 сотрудников в отчетном году но сравнению с предыдущим было отобрано 100 сотрудников. Полученные данные представлены в таблице. Необходимо определить: а) вероятность того, что средняя выработка сотрудников отличается от средней выборочной не более, чем на 1 %; б) границы, в которых с вероятностью 0,9545 заключена средняя выработка сотрудников. Рассмотреть случаи повторной и бесповторной выборки.
i |
Выработка |
в |
Частота |
Частотность |
Накопленная |
Накопленная |
|
|
отчетном году в |
(количество |
(доля |
частота |
^как |
частотность |
|
|
процентах |
к |
сотрудников) |
сотрудников) |
Щ |
н а к |
|
|
|
|
|||||
|
предыдущему |
|
|
|
|
|
w n a n = Щ |
|
|
П г |
ад. = щ — |
|
|
п |
|
|
периоду |
|
|
|
|||
|
|
|
|
п |
|
|
|
1 |
94.100 |
|
3 |
0,03 |
|
3 |
0,03 |
2 |
100-106 |
|
7 |
0,07 |
|
10 |
0,10 |
3 |
106-112 |
|
11 |
0,11 |
|
21 |
0,21 |
4 |
112-118 |
|
20 |
0,20 |
|
41 |
0,41 |
5 |
118-124 |
|
28 |
0,28 |
|
69 |
0,69 |
6 |
124-130 |
|
19 |
0,19 |
|
88 |
0,88 |
7 |
130-136 |
|
10 |
0,10 |
|
98 |
0,98 |
8 |
136-142 |
|
2 |
0,02 |
100 |
1,00 |
|
|
£ |
|
100 |
1,00 |
|
- |
- |
Решение. |
Из условия имеем Is[= 1 0 0 0 , 11=100. |
|
|
1. Вычислим среднюю арифметическую и дисперсию упрощенным способом, |
|||
используя не первоначальные варианты, а новые варианты |
X- —с |
||
——-----, где си к - |
|||
специально подобранные константы. |
к |
||
к=6> и постоянную |
|||
Возьмем постоянную &, равную величине интервала, т.е. |
|||
с, равную |
середине пятого интервала, т.е. с—121. |
Новые варианты |
|
>т __ r> f f |
— 121 |
|
|
щ= —-----= —-------- . Составим новую таблицу,
к6
i |
Интервалы х |
Середина |
Новая |
|
|
интервала |
переменная |
т X п t, ч2» , Щ + 1 (tt, + 1 ) 2П,
ж; -12.1
|
|
* |
|
6 |
|
48 |
-3 |
27 |
1 |
94-100 |
97 |
-4 |
3 |
-12 |
|||
2 |
100-106 |
103 |
-3 |
7 |
-21 |
63 |
-2 |
28 |
3 |
106-112 |
109 |
-2 |
11 |
-22 |
44 |
-1 |
11 |
4 |
112-118 |
115 |
-1 |
20 |
-20 |
20 |
0 |
0 |
5 |
118-124 |
121 |
0 |
28 |
0 |
0 |
1 |
28 |
6 |
124-130 |
127 |
1 |
19 |
19 |
19 |
2 |
76 |
7 |
130-136 |
133 |
2 |
10 |
20 |
40 |
3 |
90 |
8 |
136-142 |
139 |
3 |
2 |
6 |
18 |
4 |
32 |
|
Е |
- |
- |
100 |
-30 |
252 |
- |
292 |
|
|
го |
|
|
|
|
|
|
_ |
^ |
г г |
_чо |
|
Х = ^ |
-------к + с = — |
-6 + 121 = 119,2. |
||
|
|
п |
100 |
|
а Ч |
|
|
— |
-б2 -(119,2 -121)2 = 87,48. |
D г=1 |
• Г - (X - c f |
|||
П |
|
|
100 |
v |
2. Найдем среднюю квадратичную ошибку выборки для средней:
78
- для повторной выборки по формуле |
= |
I D " [87,48 |
0,9354; |
|||||
\ п ~ V ЮО |
||||||||
- для бесповторной выборки по формуле |
п |
|
||||||
|
|
|
||||||
|
а X |
D f l |
87,48 f |
Ш Л = 0,887 (%). |
|
|||
|
|
1 N ) |
" v |
юо t |
1000 J |
|
|
|
Теперь |
искомую |
доверительную |
вероятность |
находим по формуле |
||||
Р ( р - Х0| Д |
= Ф(4) = г |
-> -Р(|* - |
Х„| < 1) = Ф |
1 |
Ф(1,07) = 0,715 |
|||
^0,935 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
р ( \х - Х 0\ <д) = Ф(4) = у -> р ( \х - |
Х0\ < l) = Ф < 1 Л |
Ф(1ДЗ) = 0,741 |
||||||
|
|
|
|
|
v0,887 |
|
|
|
Итак, вероятность того, что выборочная средняя отличается от генеральной средней не более чем на 1 %, равна 0,715 для повторной и 0,741 для бесповторной выборки.
3.Найдем предельные ошибки повторной и бесповторной выборок по
формуле А - t<iK. Из того, что Ф(4) = 0,9545, |
согласно статистической таблице, |
|||
1 = 2. |
Доверительный интервал определяем |
по формуле Х - А < Х 0 < Х + А. |
||
Подставим известные значения: |
|
|
|
|
- |
119,2 - 2 ■0,935 < Х0 < 119,2 + 2 ■0,935 |
или |
117,33 < Х 0 < 121,07 |
для |
повторной выборки; |
|
|
|
|
- |
119,2 -2-0,887 < Х 0 < 119,2 + 2-0,887 |
или |
117,43 < Х0 < 120,97 |
для |
бесповторной выборки. |
|
|
|
|
4. |
Таким образом, с надежностью |
0,9545 |
средняя выработка сотрудников |
|
заключена в границах от 117,33 % до 121,07 %, если выборка повторная, и от 117,43 % до 120,97 %, если выборка бесповторная.
{Для проведения выборочного наблюдения весьма важно правильно установишь объём выборки п, который в значительной степени определяет необходимые при этом временные, трудовые и стоимостные затраты. Объем
бесповторной выборки рассчитывается по формуле п |
= 2 ^ |
G 2 }. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
^ О I |
IV |
5. |
По условию примера № 2 определить объем выборки, при котором с |
|||||||
вероятностью 0,9973 отклонение средней выработки сотрудников от средней |
||||||||
выработки всех сотрудников фирмы не превзойдет 1 %. |
|
|||||||
Дисперсия |
- |
<х2 = D = 87,48. |
По |
условию / |
= Ф(£) = 0,9973 , согласно |
|||
статистической таблице t |
= 3 . Найдем объем бесповторной выборке по формуле: |
|||||||
|
|
|
, |
N fa 2 |
1000-З2 -87,48 |
, , п к |
|
|
|
|
|
i V + IVА2 |
З2 - 87,48 +1000 • 1 |
|
|
||
Задание |
№ |
9.2. |
Из коллектива |
2000 человек, для |
тестирования на |
|||
профпригодность было отобрано 200 человек, среди которых оказалось 184 профпригодных. Найти: а) вероятность того, что доля не профпригодных сотрудников во всем коллективе отличается от полученной доли в выборке не более чем на 0,02; б) границы, в которых с надежностью 0,95 заключена доля непрофпригодных сотрудников во всем коллективе. Каким должен быть объем выборки, чтобы те же границы гарантировать с надежностью 0,9973?
79
п. 9.2. Общие принципы проверки статистических гипотез.
При проверке статистических гипотез принято использовать два понятия: нулевая гипотеза # 0 (гипотеза о сходстве), альтернативная гипотеза Н1 (гипотеза
о различии).
Правило принятия статистического вывода: на основании полученных экспериментальных данных подсчитывается по выбранному статистическому методу эмпирическая статистика, или эмпирическое значение Чзмп (число). Затем
эмпирическая статистика Чэмп сравнивается с двумя критическими величинами,
которые соответствуют уровням значимости в 5 % и в 1 % для выбранного статистического метода и которые обозначаются как 4lp и Ч*р. Величины Ч9Ма
находятся для каждого статистического метода по соответствующим таблицам. Для сравнения трех чисел Чэмп,Ч^р и Ч*р удобно использовать числовую ось,
которую называют «осью значимости» [6, с. 61].
|
Зона неопределенности |
|
|
Зона незначимое™ ^ \ |
0,05 |
0,01 f |
Зона значимости |
*7 I
Подсчитанное Ч9МП по какому либо статистическому методу должно
обязательно попасть в одну из трех зон.
Таким образом принятие статистического решения осуществляется по следующим этапам [6, с. 63].
1.Формулировка нулевой и альтернативной гипотез.
2.Определение объема выборки N.
3.Выбор соответствующего уровня значимости.
4.Выбор статистического метода, который зависит от типа исследуемого гуманитарного объекта.
5.Вычисление соответствующего эмпирического значения по экспериментальным данным, согласно выбранному критерию.
6.Нахождение по статистической таблице для выбранного статистического метода критических значений, соответствующих уровню значимости для р=0,05 и
Р= 0 , 0 1 .
7.Построение оси значимости и нанесении на нее табличных критических
значений и эмпирического значения Чэмп .
8. Формулировка принятия решения (выбор соответствующей гипотезы Н0
или Я Д
П ример JVfe 9.3. Рекламная компания проводит эксперимент по выяснению мнения покупателей по поводу упаковки товара. Из 150 испытуемых упаковку № 1 предпочли 98 человек, а упаковку № 2 - 52 человека. Можно ли утверждать, что подобный выбор упаковки № 1 или упаковки Ш 2 обусловлен какой-либо причиной, неизвестной производителю?
Решение. Предполагается, что выбор должен быть равновероятен, т.е. упаковку № 1 и упаковку Xй 2 должны выбрать одинаковое количество человек (75 человек выбирает упаковку № 1, 75 человек выбирает упаковку № 2).
80