Pi |
0,1 |
0,09 |
0,081 |
0,9t_l • 0,1 |
Задание № 8.4. Забрасывается мяч в корзину либо до первого попадания, либо всего пять раз. Составьте таблицу распределения вероятностей случайного числа бросков, если вероятность забросить мяч в корзину при каждом попадании постоянная и равна 0,9.
Пример № 8.5. Найти числовые характеристики случайной величины, которая означает число выигрышных лотерейных билетов, если приобретено 100 билетов. Вероятность выигрыша по каждому билету 0,05.
Решение. {Для того чтобы вычислить числовые характеристики, необходимо либо знать таблицу распределения вероятностей, либо закон распределения. Определим закон распределения случайной величины и воспользуемся формулами}.
1.Сформулируем испытание: независимо друг от друга проверяются 100 билетов на «выигрыш». Испытания - повторные и независимые, в каждом из которых лишь два исхода - «выигрыш / проигрыш». Испытания удовлетворяют Схеме Бернулли, следовательно, случайная величина X имеет биномиальное распределение.
2.Выпишем формулы М (Х ) = пр}П(Х) = npq и подставим данные из
условия задачи М [Х ) = 100 ■0,05 = 5, П(Х) = 100 • 0,05 *0,95 = 4,75.
3. Средне ожидаемое число выигрышных билетов равно пяти.
Задание № 8.5. В школе успеваемость составляет 90 %. Наудачу выбираются 40 учеников. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайного числа успевающих школьников, оказавшихся в выбранной группе.
Пример № 8.6. У тысячи детей проверяют речевое развитие. Вероятность того, что у ребенка определят задержку в речевом развитии равна 0,05. Найти математическое ожидание и дисперсию числа детей, имеющих задержку в речевом развитии.
1.Сформулируем испытание: независимо друг от друга проверяются 1000 детей. Проводится тысяча повторных, независимых друг от друга испытаний, в каждом из которых лишь два исхода - «есть задержка / нет задержки», вероятность появления в каждом случае постоянна. Испытания удовлетворяют Схеме Бернулли (п—1000 - велико), следовательно, случайная величина X имеет пуассоновское распределение.
2.Выпишем формулы М (Х ) = Я = пр, D (X ) —Л - пр и подставим данные из
условия задачи М (Х ) = 1000 ■0,05 = 50, П(Х ) = 50.
3. Средне ожидаемое число детей, имеющих задержки в речевом развитии, равно 50.
Задание № 8.6. На культурное мероприятие, посвященное Дню Города подало заявки 100 тыс. человек. Вероятность того, что человек не будет принимать участие равна 0,0001. Найти математическое ожидание и дисперсию числа неявившихся на мероприятие человек.
71
Алгоритм распознавания закона распределения дискретных случайных величин и вычисления их числовых характеристик
1.Сформулируйте испытание.
2.Сформулируйте случайную величину X.
3.Найдите множество значений случайной величины X: {.г\,.., жп}.
Установите дискретная или непрерывная случайная величина.
4. Определите схему, которой удовлетворяет данное испытание, и выберите формулу для подсчета значений случайной величины:
S Классическая схема испытаний —» равномерное распределение, задается
формулой Рп(Х = хЛ = —.
п
S Выборка длинны к из ^элементного множества М, из которых s элементов обладают определенных свойством, a m - число элементов, обладающим этим же свойством и оказавшихся в выборке —>гипергеометрическое распределение вероятностей
С>П
случайной величины X, задается формулой Рп(X = т) - —— kn~s ■
Сп
S Схема Бернулли, если число испытаний небольшое и случайная величина есть число появлений события А, то —> биномиальный закон, задается формулой
р. (X = т) = |
. |
S Схема Бернулли, ес.ли количество испытаний достаточно велико, а вероятность появления события в отдельно взятом испытании весьма мала (0,05-0,1 и
меньше), то —>пуассоновский закон, задается формулой Рп(X = т) —е Ят
т\
S Схема Бернулли, если случайная величина есть число проведенных испытаний, то —>геометрический закон, задается формулой Ри (X = т) = pqm~l .
5. Составьте |
таблицу |
распределения вероятностей случайной величины и |
|||||
|
п |
|
|
|
|
|
|
проверьте, что |
|
= 1. |
|
|
|
|
|
|
г=1 |
|
|
|
|
|
|
6. Вычислите числовые характеристики случайной величины по формулам: |
|||||||
S |
если X имеет биномиальный закон, то М (Х ) = np, |
2>(Х) = npq; |
|
||||
S |
если |
X |
имеет |
геометрическое |
распределение |
вероятностей, |
то |
|
М( Х ) = ~, d (j.0= 4 ; |
|
|
|
|||
S |
|
|
р |
р |
|
|
|
если |
X |
имеет |
пуассоновское |
распределение |
веротяиостей, |
то |
|
М(Х)-А, D ( X ) = A.
7.В общем случае по заданой таблице распределения случайной величины,
числовые характеристики случайной величины вычисляются по формулам:
оо
S |
математическое ожидание М (Х ) = |
; |
|
|
г=1 |
|
|
J |
дисперсия D (X ) = M (X 2) - ( M ( X ) f ; |
|
|
S |
среднее квадратическое отклонение <т(Х) = |
. |
|
72
п.З. Функция распределения вероятностей случайной величины
Функция F(x), определенная равенством F(rc) = Р (Х < х) называется
интегральной функцией распределения вероятностей случайной величины X. Интегральная функция дает общий способ задания как дискретных, так и
непрерывных случайных величин.
Пример JVfc 8.7. Монета подбрасывается 3 раза. Для случайного числа появления решки определите закон распределения случайной величины, найдите интегральную функцию распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины.
Решение.
1. Сформулируем случайную величину X: число появлений решки при четырех подбрасываниях монетки. Возможные значения случайной величины X:
х1 =0, х2 = 1, т3 = 2, х4 —3.
2. Испытание удовлетворяет схеме Бернулли, т.к. происходят повторные независимые испытания, в каждом испытании появление решки равновозможное и равновероятное. Случайная величина подчиняется биномиальному закону распределения Рп (X = ш) - C^pmqn m.
3. Составим таблицу распределения вероятностей случайной величины X:
рз (X = 0) = Cl *(0,5)° • (0,5)3 = 0,125
Р3 (X = 1) = С‘ • (0,5)' • (0,5)2 = 0,375
Р3 |
(X |
= 2) = Cl ■ (0,5)2 • (0,5)1 = 0,375 |
|||
Р3 |
(X |
= 3) = С\ ■ (0,5)3 • (0,5)° = 0,125 |
|||
Xi |
|
0 |
1 |
2 |
3 |
Pi |
|
0,125 |
0,375 |
0,375 |
0,125 |
Проверим правильность составлашя таблицы:
4
=0,125 +0,375 + 0,375+0,125 = 1.
*“1
4.Составим интегральную функцию распределения вероятностей по
формуле Р (т ) = Р {Х < ж) = |
^ |
Р (Х = xi) следующим образом. |
|||
|
|
|
{»j Xj<zj |
|
|
если |
х < 0, |
то F(x) - 0; |
|
||
если |
0 < х < 1, |
то F(x) - |
0,125; |
||
если |
1 < х < 2, |
то F(x) - |
0,125 + 0,375 =0,5; |
||
если |
2 < х < 3, |
то F(x) - |
0,125 + 0,375 +0,375= 0,875; |
||
если |
х > 3, |
то F(x) - 0,125 + 0,375 + 0,375 + 0,175 -1 . |
|||
Таким образом, получаем интегральную функцию. |
|||||
0, |
при |
х < 0, |
|
|
|
0,125, |
при |
0 < х < 1 |
|
|
|
0,5, |
при 1 < х < 2, |
|
|
||
0,875, |
при 2 < х < 3, |
|
|
||
1, |
при |
х > 3. |
|
|
|
73
5. Найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины по
00
формулам M (X ) = '£ x ipl nD (X ) = М ( х 2) - ( М ( Х ) ) .
2=1
00
M (x ) = H xiPi = 0-0,125 + 1-0,375+ 2-0,375+ 3-0,125 = 1,5.
i = 1
D (X ) = М (Х 2) - ( M (X jf = (О2 ■0,125 + I2 • 0,375 + 22 ■0,375 + З2 ■0,125) - 1 ,52 = 0,75
Задание № 8.7. Дискретная случайная величина X задана следующей таблицей распределения вероятностей. Найдите интегральную функцию распределения, постройте ее график, найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины.
Pi
0 |
2 |
4 |
0,3 |
0,5 |
0,2 |
И ндивидуальное задание № 8
Вариант № 1. Контрольная работа состоит из четырех вопросов. На каждый дано по 5 ответов, среди которых имеется один правильный, составьте таблицу распределения вероятностей случайного числа X правильных ответов, полученных при простом угадывании, и найдите интегральную функцию распределения вероятности этой случайной величины и ее числовые характеристики.
Вариант № 2. Из 15 жетонов, занумерованных целыми числами от 1 до 15,
наудачу извлекаются 3 жетона, составьте таблицу распределения вероятностей для числа выбранных жетонов, номера которых кратны 5. Найдите математическое ожидание этой случайной величины.
Вариант № 3. Мяч бросают в корзину либо до первого попадания, либо б раз. Вероятность попадания равна 0,25. Построить график интегральной функции распределения вероятности. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайного числа бросков.
Вариант № 4. В лотерее на 1000 билетов разыгрываются три вещи,
стоимость которых 2100, 600, 300 руб. Составить ряд распределения суммы выигрыша для лица, имеющего один билет. Построить график интегральной функции распределения вероятности. Найдите математическое ожидание и дисперсию суммы выигрыша.
Вариант № 5. Три студента повторно пишут контрольную работу.
Вероятность того, что правильно перепишет работу первый студент, равна 0,9; второй - 0,8; третий - 0,75. Составить ряд распределения числа студентов,
74
которые правильно перепишут контрольную работу. Построить график интегральной функции распределения вероятности. Найдите математическое ожидание и дисперсию.
Вариант № 6. В денежной лотерее выпущено 1000 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 1000 руб., четыре - по 500 руб., пять - по 400 руб. и десять выигрышей по 100 руб. Составить ряд распределения стоимости выигрыша для владельца одного лотерейного билета. Построить график интегральной функции распределения вероятности. Найдите математическое ожидание и дисперсию.
Вариант № 7. Вероятность того, что в библиотеке необходимая студенту книга свободна, равна 0,3. Составить ряд распределения числа библиотек, которые посетит студент, если в городе четыре библиотеки. Построить график интегральной функции распределения вероятности. Найдите математическое ожидание и дисперсию.
Вариант № 8. Контрольное задание состоит из 5 вопросов. На каждый из них дается 4 варианта ответов, только один из которых правильный. Составьте ряд распределения числа правильных ответов для испытуемого, не знающего ответы Построить график интегральной функции распределения вероятности. Найдите математическое ожидание и дисперсию.
Вариант № 9. Из колоды в 36 карт наугад вынимают 5. Составить ряд распределения числа тузов среди вынутых карт. Построить график интегральной функции распределения вероятности. Найдите математическое ожидание и дисперсию.
Вариант Я® 10» Подсчитано, что треть женщин, посещающих продовольственный магазин, покупает обезжиренный йогурт. Составить ряд распределения числа женщин, купивших обезжиренный йогурт, если магазин посетили 8 женщин. Построить график интегральной функции распределения вероятности. Найдите математическое ожидание и дисперсию.
75