Материал: kisliakova_ma_vvodnyi_kurs_matematiki

11

ЗАНЯТИЕ 2. МЕТОДЫ РЕШ ЕНИЯ М АТЕМ АТИЧЕСКИХ ЗА ДА Ч

Математическая задача

Математическая задача (В.И. Крупич) представляет собой замкнутую систему, в которой можно выделить:

S условие задачи, то есть данные и отношения между ними;

S требование задачи, то есть искомые и отношения между ними; S основные отношения между данными и искомыми;

S способ, определяющий процесс решения задачи, то есть способ действия по преобразованию условия задачи для нахождения искомого;

S базис решения задачи, то есть теоретические основы, необходимые для обоснования решения.

Существует много разных типов математических задач. Наиболее часто математические задачи классифицируются по следующим основаниям._________

Классификация задач помогает в поиске решения математической задачи.

Что значит решить математическую задачу?

Вы имеете большой опыт в решении математических задач, даже не представляете, но Вы прорешали не менее двух тысяч задач за свою жизнь!

«Если приглядеться к любой задаче, то увидим, что она представляет собой требование или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь и учитывая те

формул), применяя которые к условиям задачи или к их следст виям

Приступая к решению какой-либо задачи, надо ее внимательно изучить, установить, в чем состоят ее требования. Для того чтобы приступить к анализу задачи, необходимо расчленить формулировку задачи на условия и требования. Производя анализ задачи, вычленяя из формулировки задачи ее условия, мы все время должны соотносить этот анализ с требованием задачи, как бы постоянно оглядываться на требование. Иными словами, анализ задачи всегда направлен на требования задачи.

Результаты предварительного анализа задач надо как-то зафиксировать, записать. Такой формой является схематическая запись задачи. Первой отличительной особенностью схематической записи задач является широкое

12

использование в ней различного рода обозначений, символов, букв, рисунков, чертежей. Второй особенностью является то, что в ней четко выделены все условия и требования задачи, а в записи каждого условия указаны объекты и их характеристики, наконец, в схематической записи фиксируется лишь то, что необходимо для решения задачи; все другие подробности, имеющиеся в задаче, при схематической записи отбрасываются.

Весь процесс решения любой математической задачи можно разделить на следующие этапы:

I. Анализ задачи. Необходимо выяснить, к какому разделу математики относится задача: арифметика, алгебраические дроби, уравнения и неравенства, тригонометрия и т.д. Если это возможно, определить какие элементы задачи известны, как математически они описываются. Определить, что надо найти и конкретизировать вопрос. Записать задачу с помощью схемы и математического языка.

II. Поиск способа решения задачи. Решали ли Вы задачу ранее? Какую теорию необходимо знать, чтобы решить задачу? Составить список вопросов по данным условия. Вот этот этап самый важный, т.к. большую роль играет Ваш опыт в решении задач.

III. Осуществление плана решения. Когда у вас появляется идея, Вы составляете некоторый план - алгоритм своих действий. На этом этапе необходимо грамотно выполнить все математические преобразования и избежать ошибок.

IV. Проверка решения и ее анализ. Очень важный этап в решении задачи, который заключается в обосновании правильности полученного ответа, анализе выбранного методов решения и главное - запоминании идеи решения такого типа задач.

Другими словами, непосредственное решение задачи состоит из последовательности шагов (действий), каждый из которых есть применение некоторого общего положения математики к условиям и к их следствиям. Поэтому отыскание этой последовательности шагов есть самое главное, что нужно сделать для того, чтобы решить задачу. Математика и занимается тем, что она устанавливает для многих видов задач правила, пользуясь которыми можно найти указанную последовательность шагов для решения любой задачи данного вида. Для многих видов задач такие правила уже давно найдены, и вы их изучали их в школьном курсе математики.

Правила, пользуясь которыми можно найти последовательность шагов для решения любой задачи некоторого вида, в математике излагаются в различных формах. Приведем некоторые примеры таких правил: словесное правило,

правило-формула, правило-тоэюдество, правило-теорема, правилоопределение.

Каждое правило позволяет составлять алгоритм - последовательность шагов для решения любой задачи. Приведите примеры применения таких правил.

Пример № 2.1. Клиент взял в банке 12 000 000 рублей в кредит иод 20 % годовых. По истечении каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20 %), затем клиент переводит в банк определенную сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы клиент выплатил долг тремя равными ежегодными платежами? (Ответ округлите до целого числа).

13

Решение.

Этап I. Анализ задачи. Тип задачи - задача на проценты. Известна исходная сумма, известен процент, известен план начисления процентов. Неизвестна фиксированная сумма ежегодного платежа, она же и является искомой величиной.

Этап II. Поиск способа решения задачи. Очевидно, готовой формулы для нахождения величины ежегодного платежа нет. Необходимо вывести математическую зависимость между начислениями процентов и ежегодной фиксированной суммой. Для этого математически опишем данные условия задачи, введя буквенные обозначения.

Этап III. Осуществление плана решения.

4.2. Выясним есть ли еще один способ решения задачи.

Пусть S=12 000 000 -величина кредита, х - искомая величина ежегодного платежа.

Первый год: долг - 1,2 5, платеж - ж, остаток - (1,2 S - х).

Второй год: долг - 1}2(1}2 S - х), платеж - ж, остаток - 1,2(1,2 S - х) - х.

Третий год: 1,2(1,2(1,2 S - х) - х), платеж - ж, остаток - нуль.

Единственное уравнение: 1,2(1,2(1,2 S - х) - х) - х =0. l,728S=3.64x -> х= 5 696 703,3.

14

Задание № 2.1. Решите следующую задачу, выделяя все этапы в решении. Вы хотите взять в кредит 1 миллион рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления

процентов, ставка процента 10 % годовых. На какое максимальное количество лет Вы можете взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 240 000 руб.?

Методы решения математических задач

Рассмотрим три метода решения задач: арифметический, алгебраический, геометрический.

Пример № 2.2. Вы составляете отчет о физкультурной деятельности студентов: «Всего 45 студентов. Из них в футбольной секции состоят 25 человек,

вбаскетбольной - 30 и в шахматной - 28. Известно, что 16 человек занимаются и

вфутбольной, и в баскетбольной секциях, 18 человек одновременно занимаются и

вфутбольной и шахматной секциях, 17 - в баскетбольной и шахматной. А 15 человек ходят во все три секции». Как понять, верно ли составлен отчет?

Решение, Судя по условию задачи, студенты, которые ходят на несколько

секций, посчитаны несколько раз. Как же выяснить, сколько на самом деле

вфутбольной секции состоят 25 25-15-3-1 = 6 человек ходят только

Пример № 2.3. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Решение. Математически опишем каждое условие задачи.________________

15