31 3 +7i |
- (3 + 70 ' ( 5 + 20 _ 1 , 41. |
|
|
5 - 2i |
~ (5 - 2i) • (5 + 2*) _ 29 + 29 * |
|
|
Задание № 3.2. Выполнить действия с комплексными числами: |
|||
|
1) 2 ~ 5г + (2 + 5г)(1 - |
г) ; 2) |
1 -I- Ч? |
|
----— . |
||
|
|
|
2 % |
Как же |
изобразить комплексное число? |
На |
координатной прямой «все |
занято». Комплексные числа изображаются в декартовой системе координат одним из следующих способов.
Первый способ изображения числа z = a + iby как точка А с координатами а
и Ь. |
|
|
2 = а + ib, как |
вектор ОА |
|
|
|
Второй способ изображения числа |
с началом |
в |
|||
начале координат и концом в точке А(а}Ь). |
|
|
|
|||
|
П ример № |
3.3. Изобразить |
на плоскости комплексные числа |
|||
zx - |
2 + г, z2 = Зг, z3 - |
-3 + 2г, zA = -1 - г |
означает |
изобразить |
точки |
с |
координатами (2, 1), (0, 3), (“3 ,2), (-1, -1). На первом рисунке изображены комплексные числа как точки, на втором как векторы.
Задание № 3.3. Изобразить на плоскости комплексные числа
|
|
|
z1 = i - 3уz2 = 5г - 1, z3 = —2i, z4 = 3 + Зг. |
|
|||||
Во |
многих |
формулах |
высшей |
|
|
математики |
встречается |
||
тригонометрическая ф орм а комплексного числа z = а + ib: |
|
||||||||
2 |
= |#| ■(cos |
+ i sin#?), \z\ - у/a2 + b2 , sin <p= |
ft— |
, cos #? = . ft■— , |
|||||
|
|
|
|
|
|
sia2 + b2 |
yja2 + b2 |
||
где угол (p |
называется аргументом числа |
zy это угол между |
вектором и |
||||||
положительным направлением оси Ох. |
|
|
|
|
|
|
|||
П ример № 3.4. Записать число z = 2 + 2i |
|
в тригонометрической форме. |
|||||||
Найдем угол (р и подставим его формулу z |
- |
\z\ ■(cos (р+ i sin (p) . |
|
||||||
|
|
|
\z\ ~ Va2 + b2 = л/4 + 4 = 2л/2 , |
|
|
||||
|
|
|
b |
_ _ 2 _ _ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Sllpi? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Va2 + ^ |
” 2V2 ” V2 |
> #> = 45c |
|
|||
|
|
|
a |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
cos<p - . |
- ---- -7= |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 a2 Tfc2 |
2V2 |
V2j |
|
|
||
|
|
|
z - y[2 (cos 45° + гsin 45°) . |
|
|
||||
Задание № 3.4. Записать число z —% -1 |
в тригонометрической форме. |
||||||||
21
Комбинаторные задачи
К омбинаторика - раздел математики, который изучает задачи выбора и расположения элементов из некоторого основного множества в соответствии с заданными правилами. Например, сколькими способами из 30 человек можно составить группы из трех человек, сколько пин-кодов можно составить из четырех цифр, сколько существует способов составить телефонные номера и т.д.
Для решения комбинаторных задач введем обозначения и алгоритмы. Пусть задано конечное множество X = {ж15..,жп} содержащее п-переменных.
Выборкой будем называть совокупность элементов множества, отобранной по некоторому правилу.
Выборка называется упорядоченной, если от перестановки элементов в выборке качественно меняется сама выборка. Выборка называется неупорядоченной, если от перестановки элементов выборки выборка не меняется.
Выборка называется с повторением, если в выборку один и тот же элемент множества входит более двух раз. Выборка называется без повторения, если в выборку один и тот же элемент множества входит не более одного раза.
П ример № 3.5. |
Охарактеризовать выборку. |
1. Сколькими |
способами можно составить различные пин-коды для |
пластиковых карт, так чтобы цифры не повторялись?
Задано множество X = {0,..,9}, содержащее 10 |
элементов. Выборка будет |
собой представлять четыре различные цифры. Выборка будет упорядоченной, т.к. |
|
пин-код 1234 Ф2134. Выборка будет без повторения, |
т.к. это указано в условии |
задачи.
2. На ипподроме 15 лошадей. Сколькими способами можно выбрать 5 лошадей для первого забега?
Задано множество X = {1,..,15} лошадей (как будто у каждой свой номер).
Выборка будет представлять собой пять чисел. Выборка будет неупорядоченной, т.к. для забега неважно как расположены номера лошадей в списке. Выборка будет без повторения, т.е. одна и та же лошадь не может войти в список дважды.
3. Сколько трехбуквенных слов можно составить из букв русского алфавита? Задано множество X, содержащее 33 элемента. Выборка будет упорядоченной {авп Ф апв) . Выборка будет с повторением, т.к. по условию не
сказано обратного.
4. В цветочном магазине продаются шесть видов цветов. Сколько различных букетов можно составить из десяти цветов в каждом?
Задано множество X = {1тшг, 2mtm,..., 10nwn} , в котором, вообще говоря,
бесконечное число элементов. Выборка будет неупорядоченная, т.к. не имеет значения как переставлять цветы в одном букете, букет останется тем же. Будет может состоять из одного вида цветов, поэтому выборка с повторением.
Задание № 3.5. Приведите примеры упорядоченных, неупорядоченных, с повторением и без повторения выборок.
В таблице представлены основные комбинаторные формулы, имеющие в математике название - комбинаторные соединения.
22
Размещение с |
Размещение без |
|
повторениями |
повторения длины |
|
длины m из |
ш из множества п |
|
множества п |
|
|
Характер |
Характер выборки |
|
выборки |
1)упорядоченная |
|
1) упорядоченная |
2) без повторений |
|
2) с |
3) m en |
|
повторениями |
|
|
Л ; = пт |
г _ |
л! |
|
( п - т) S |
|
Комбинаторные соединения
Перестановки без |
Перестановки с |
|
повторения из п |
повторениями или |
|
элементов |
перестановки данного |
|
|
состава |
|
Характер выборки |
Характер выборки |
|
1)упорядоченная |
1) |
упорядоченная |
2) без повторений |
2) |
с повторениями |
3) n^m |
3) |
дан состав |
|
- |
fit 1 |
1! 2 |
г т^ щ .т к) - |
|
Сочетание без повторения длины ш из элементов п - множества
Характер выборки
1)неупорядоченная
2)без повторений
-
т \(п - т ) !
Сочетание с повторениями длины ш из элементов п - множества
Характер выборки
1)неупорядоченная
2)с повторениями
gm _ ( n + m - 1)!
т\( п - \)\
Алгоритм решения комбинаторной задачи1:
Задача называется комбинаторной, если требуется подсчитать число возможных вариантов осуществления некоторого действия, т.е. ответить на вопрос «сколькими способами?».
1.Определить, к какому типу (сложная или простая) относится комбинаторная задача.
2.Если задача сложная, то разбить ее на несколько более простых задач.
3.Решить каждую из простых задач по алгоритму:
3.1.определить п - число элементов в множестве;
3.2.определить т - длину выборки;
3.3.определить характер выборки;
3.4.по характеру определить комбинаторное соединение;
3.5.выписать соответствующую формулу и произвести вычисления.
4.Определить, какой принцип необходимо применить в задаче.
5.Вычислить, используя соответствующий принцип суммы или произведения.
1 Алгоритм решения комбинаторных задал заимствован из лекционных материалов И.В. Карповой
Принцип умножения: если из некоторого конечного множества первый элемент х можно выбрать пх способами и после каждого такого выбора второй элемент у можно выбрать п2 способами, то оба элемента х и у в указанном порядке можно выбрать {пх -п2) способами.
Пример № 3.6. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 если: а) цифры не повторяются? б) цифры могут повторятся?
Решение.
1. Задано множество Х={1,2,3,4,5}. Осуществляем последовательную выборку элементов.
а) трёхзначные числа - это, например, 123, 234, 543 и т.д. Имеется: 5 различных способов выбора цифры для первого места;
4 оставшихся способа выбора цифры для второго места;
3 оставшихся способа выбора цифры для первого места. Следовательно, согласно принципу умножения, имеется 5-4-3 — 60 способов
расстановки цифр, т. е. искомое количество трехзначных чисел есть 60.
б) трехзначные числа, цифры которых повторяются - это 255, 333 и т.д. Понятно, что если цифры могут повторяться, то трехзначных чисел 5-5-5 = 125.
Принцип суммы. Если некоторый элемент х можно выбрать п{ способами, а элемент у можно выбрать п2 способами, причем первые и вторые способы не пересекаются, то любой из указанных объектов (х или у ), можно выбрать пх г п2
способами.
Эти правила распространяется на любое конечное число элементов. Пример № 3.7. В студенческой группе 14 девушек и 6 юношей. Сколькими
способами можно выбрать для выполнения различных заданий двух студентов одного пола?
Решение. По принцип умножения двух девушек можно выбрать 14*13 = 182 способами, а двух юношей - 6-5 = 30 способами. Следует выбрать двух студентов одного пола: двух студенток или двух юношей. Согласно принципу сложения, таких способов выбора будет 182 ф 30 = 212.
Рассмотрим примеры решения комбинаторных задач.
Пример № 3.8. На железнодорожной станции имеются 10 светофоров. Сколько может быть дано различных комбинаций их сигналов, если каждый светофор имеет три состояния: «красный», «желтый», «зеленый»?
Решение. Ответьте самостоятельно на вопросы в правом столбце таблицы.
1.Какое множество задано? множество цветов X = {красный, желтый,
Сколько в нем элементов? |
зеленый}, п=3 |
2. Сколько элементов множества |
in—10 (10 светофоров «раскрашиваем» разными |
идет в выборку? |
цветами) |
3.Какой характер имеет выборка Упорядоченная, т.к. имеет значение у какого (упор, / неупор,; с повтор / без светофора какой цвет.
повтор.) |
С повторением, т.к. на разных светофорах могут |
|
быть одинаковые цвета. |
4.Какое комбинаторное соединение Размещение с повторением
подходит?
5. Вычислите количество способов по А "'= п т = З10 формуле
24
П ример № 3.9. Сколько словарей необходимо издать, чтобы можно было непосредственно выполнять переводы с любого из пяти языков: русского, китайского, английского, немецкого, итальянского?
Решение. Закройте правую часть таблицы и ответьте самостоятельно на вопросы.
1.Какое множество задано? Сколько в нем элементов?
2.Простая или сложная задача?
3.Сколько элементов множества идет в выборку?
4.Какой характер имеет выборка (упор. / неупор.; с повтор / без повтор.)
5.Какое комбинаторное соединение подходит?
6.Вычислите количество способов по формуле
7.Записать ответ
Множество из пяти языков Х={русс., кит., англ., немец., итал.}, п=5 Простая, т.к. один вопрос, одно множество ш=2
Упорядоченная, т.к. русско-английский и англо-русский это два разных словаря Без повторения, т.к. словарь русскорусский нам не нужен Размещение без повторения
|
п! |
5! |
_ 1 - 2 . 3 - 4 - 5 _ |
А‘ |
(п -т )! |
"(5 - 2)! |
1-2-3 |
20 словарей нужно издать
П ример № 3.10. Сколькими способами можно составить новогодний подарок из десяти конфет, если в наличии четыре вида конфет (предположим, что конфет каждого вида в достатке)?
Решение. Закройте правую часть таблицы и ответьте самостоятельно па вопросы.
1.Какое множество задано? Сколько в нем элементов?
2.Простая или сложная задача?
3.Сколько элементов множества идет в выборку?
4.Какой характер имеет выборка (упор. / неупор.; с повтор / без повтор.)
5.Какое комбинаторное соединение подходит?
6.Вычислите количество способов по формуле
7.Записать ответ
Множество из десяти видов конфет X—{1 вид, 2 вид, 3 вид, 4 вид}, п=4 Простая, т.к. один вопрос, одно множество
£ |
о |
II 14 |
Неупорядоченная, т.к. неважно в каком порядке лежат конфеты в коробке С повторением, т.к. можно положить хоть все конфеты одного вида Сочетания с повторениями
(п + т -1 )! (4 + 10-1)! 13!
”т !(п -1 )! 101(4-1)! 1013!
Существует 572 способа
Пример № 3.11. В неделю Вам необходимо съесть 2 яблока, 3 апельсина и 2 киви. Каждый день по одному плоду. Сколькими способами Вы можете это сделать?
25