Документ: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр), страницы 83-88

79

2 A pdV

1

.

Графический смысл работы – площадь под гра-	p
фиком p(V) (РИС. 9.3).
Работа – характеристика не макросостояния тер-		1
Работа – характеристика не макросостояния тер-
модинамической системы, а термодинамического			2
процесса, она зависит от способа перехода из			2
процесса, она зависит от способа перехода из
начального в конечное состояние. Поэтому эле-
ментарная работа не является полным диффе-
ренциалом какой-либо величины – функции со-	0	V1	V2 V
стояния. По этой причине малое приращения ра-
боты (и других величин, не являющихся полными			Рис. 9.3

дифференциалами) принято обозначать буквой δ, а малое приращение температуры, объёма, внутренней энергии и т. п. – знаком дифференциала d.

ПРИМЕР

Работа при изотермическом расширении идеального газа

Идеальный газ расширяется при постоянной температуре от объёма V1 при давлении p1 до объёма V2. Найти работу газа.

Из уравнения состояния идеального газа:

pV const pV p1V1			,
p V	p1V1	.

	V

График30 этой функции представлен на РИС. 9.4. Вычислим работу:

	V		V		dV		V
	2	p V dV	2		dV		V
A				p1V1		p1V1 ln	2	.
A				p1V1		p1V1 ln		.

	V		V		V		V
	V		V				1
	1		1

2.3.4. Количество теплоты. Теплоёмкость

p

p1 1

p2		2
0	V1	V2 V

		Рис. 9.4

Количество теплоты – характеристика термодинамического процесса – энергия, передаваемая термодинамической системе без совершения работы.

Теплоёмкость системы (тела) – характеристика термодинамической системы и совершаемого ею процесса, равная количеству теплоты, которое необходимо передать системе для нагревания её на один градус:

C	δQ	; C	Дж .
	dT		К

Удельная теплоёмкость вещества – теплоёмкость вещества единичной массы:

c	δQ	; c	Дж	.
	mdT
			кг К

30 На графиках термодинамических процессов следует обозначать начальное и конечное состояния и направление процесса.

80

Молярная теплоёмкость вещества – теплоёмкость одного моля вещества:

C		δQ
C	μ	νdT
	μ

;

C		Дж

μ		моль К

.

Следует понимать, что удельные и молярные теплоёмкости одного и того же вещества различаются в зависимости от термодинамического процесса.

2.3.5. I начало термодинамики

I начало термодинамики – закон сохранения энергии в применении к термодинамическим процессам.

I начало термодинамики: количество теплоты, переданное термодинамической системе, равно сумме изменения внутренней энергии системы и работы, совершённой системой;

в интегральной форме:

Q

U A

;

в дифференциальной форме:

δQ dU δA

.

2.4. Политропный процесс идеального газа

2.4.1. Изотермический процесс (T = const)

Уравнение процесса

pV

const

.

График процесса в координатах (p, V) показан на РИС. 9.4.

Так как T = const, U = 0.

I начало термодинамики запишется как

		Q A .
Молярная теплоёмкость
C			δQ
C	T		dT
	T

0

(все формулы этого параграфа записываются для ν = 1 моль).

2.4.2. Изохорный процесс (V = const)

График процесса показан на РИС. 9.5.								p
Так как V = const, V = 0, A = 0.								p	1
Так как V = const, V = 0, A = 0.									1
I начало термодинамики:
			Q	U .
Так как U	i	RT , молярная теплоёмкость
Так как U	2	RT , молярная теплоёмкость
	2								2
		C δQ dU				i			2
						i	R .
							R .
		V	dT	dT	2			0
			dT	dT	2				V


2.4.3. Изобарный процесс (p = const)									Рис. 9.5
График процесса показан на РИС. 9.6.

		81
	В этом процессе U ≠ 0 и A ≠ 0.	p
	I начало термодинамики:	p
	I начало термодинамики:

Q

U A.

Молярная теплоёмкость

C		δQ	dU pdV		i	R pdV .
	p
		dT	dT	2		dT

Из уравнения Менделеева-Клапейрона поэтому

pdV RdT	pdV	R ;
pdV RdT	dT	R ;
	dT
		C			i	R R
		C	p			R R
			p	2
				2

Всегда Cp >CV;

Cp CV

– формула Майера. Отношение

C	p	i
C
C
V

	1	2
pV = RT,	0	V
pV = RT,

Рис. 9.6

i 22R .

R

	2	.
	i	.
	i

Смысл этого соотношения разъясняется в РАЗДЕЛЕ 2.4.4.

2.4.4. Адиабатный процесс (δQ = 0)

Адиабатный процесс – процесс в теплоизолированной системе. I начало термодинамики:

0	U A		A	U .
Молярная теплоёмкость			0
		δQ	0
	Cад	δQ	0.
	Cад	dT	0.
		dT

Найдём уравнение адиабатного процесса идеального газа:

				δA dU ;
δA pdV			RT
δA pdV			V	dV	RT	dV	i
			V					RdT
	i				V		2	RdT
dU	i	RdT			V		2
dU	2	RdT
	2

;

разделим переменные в этом дифференциальном уравнении:

dV V

V2 dV

V1 V

		i
		2
		2

2i

	dT	,
	T	,
	T

T2 dT

T1 T

(здесь V1, T1 и V2, T2 – параметры соответственно начального и конечного состояний системы),

82

	ln	V
	ln	2
		2
		V
		1

i	ln	T
	ln	2
		2
2		T
		1

,

V	T
2		2

V		T
1		1

i

2

iV1T12

	i
V T 2
2	2

;

i

VT 2 const

– уравнение адиабаты (уравнение Пуассона) в координатах (V, T).

Преобразуем это уравнение в координаты (p, V): T ~ pV,

i	i
Vp V
2	2

const

p

i 2V

	i	1
	2	1
	2

const

pV

i2 i

const

,

pV	γ	const
pV		const

,

γ	i 2	C
		p	– показатель адиабаты (коэффициент Пуассона). Для одноатом-
	i	C	– показатель адиабаты (коэффициент Пуассона). Для одноатом-
	i	C
		V
ного газа γ			5	, для двухатомного – γ	7	.
ного газа γ			3	, для двухатомного – γ	5	.
			3		5
График адиабатного процесса представлен на
РИС. 9.7. Для сравнения на этой же диаграмме по-							p
казан график изотермического процесса. Давле-								1
ние при адиабатном расширении убывает быст-								1
ние при адиабатном расширении убывает быст-
рее, чем при изотермическом расширении (γ > 1).								изотерма
								изотерма
[Студенты самостоятельно выводят уравнение								адиабата
Пуассона в координатах (p, T).]								адиабата
Пуассона в координатах (p, T).]
Демонстрация: Адиабатное расширение газа								3
Демонстрация: Адиабатное расширение газа								2
Адиабатными можно считать процессы, проте-								2
Адиабатными можно считать процессы, проте-							0
кающие достаточно быстро, когда теплообмен с							0	V
окружающей				средой не успевает произойти,				Рис. 9.7
например, при распространении звуковой волны.								Рис. 9.7
например, при распространении звуковой волны.

83

Лекция 10

2.4.5. Политропный процесс (общий случай) (C = const)

Политропный процесс – процесс с постоянной теплоёмкостью:

C const

		δQ
		dT
		dT

C

const

.

I начало термодинамики:

δQ dU

δA

;

δA pdV

RT

dV

V

i

RT

δQ

RdT

dV

i

2

V

dU

RdT

2

C

δQ

i

R

RT dV

.

dT

2

V

dT

Разделим переменные в этом уравнении:

;

C	i	R	RT dV
C	2	R	V		dT
	2		V		dT
			V	dV
			2	dV
				V
			V	V
			V
			1

	dV				C	i	dT
	V					2		T
	V				R	2		T
C		i		T	dT
C		i		2	dT
		2			T
R		2	T		T
				1

,

(здесь V1, T1 и V2, T2 – параметры соответственно начального и конечного состояний системы),

T

C

i

V

C

i

T

V

R

2

i

C

i

C

i

C

ln

2

ln

2

,

2

V1T1

V2T2

, VT

2

R

2

R

2

R

V

R

2

T

V

T

1

Преобразуем это уравнение в координаты (p, V): T ~ pV,

					i	C 1		n
					2		R
i	C	i	C			i	C
			R const			i	C	const ,
Vp2	RV 2		R const	pV		2	R	const ,

const

.

pV n const ,

n – показатель политропы. Выразим молярную теплоёмкость через показатель политропы:

	i
	2
n	2
n		i
		i
		2

C R

1

i

n nC

i

C 1 C 1 n

i

1

i

n ,

C

2

R

2

R

2

R

i

1 n 1

C R

2

i

R

C

R

,

1 n

2

V

C CV

R

.

n 1

Возможно C 0.

Материал: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр)

Смотрите также: