Документ: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр), страницы 122-126

Материал: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр)

Смотрите также:

114

5. Инвариантность ускорения

По определению, ускорение материальной точки в системе отсчёта K′


	du	,
a	dt	,
	dt
в системе отсчёта K
a	du
a	dt
	dt

(здесь мы используем те же обозначения, что в ПРЕДЫДУЩЕМ ПОДРАЗДЕЛЕ). Воспользуемся классическим законом сложения скоростей:

			d u v		du	a ;

u	u v , a		dt		dt
			dt		dt

		a a inv		.
				.

6. Инвариантность массы и силы

Постулируется, что масса и сила – инварианты преобразований Галилея:

1.12. Специальная теория относительности

1.12.1. 4-пространство

Время относительно, как и пространство. Введём 4-пространство – линейное риманово (неевклидово) пространство координат и времени.

4-радиус-вектор:

	ict
		x
r		x	,
r		y	,

		z

здесь c – константа, имеющая размерность скорости; i – мнимая единица. Модуль 4-радиуса-вектора

r x2 y2 z2 c2t2 inv

(доказательство см. «ИНВАРИАНТНОСТЬ ИНТЕРВАЛА»).

Мировая точка – точка в 4-пространстве. Мировая линия – кривая в 4-пространстве.

ПРИМЕР

Материальная точка покоится в 4-пространстве. Мировая линия – траектория этой материальной точки в 4-пространстве (вернее, двумерная её проекция) – изображена на РИС. 14.4.

115

x

0

ict

Рис. 14.4

1.12.2. Преобразования Лоренца

II закон Ньютона инвариантен относительно преобразований Галилея, а уравнения Максвелла (см. 3.1.6) – нет. Надо получить другие преобразования, опираясь на свойства симметрии пространства-времени38 (см. 1.1.2).

Пусть имеются две инерциальные системы отсчёта K и K′. Система K′ движется

относительно системы K со скоростью v (РИС. 14.2). В момент совмещения начал координат часы синхронизированы: x = x′ = y = y′ = z = z′, t = t′.

Искомые преобразования должны иметь вид

x f x

t g x,

где f и g – функции, которые нужно найти.

При сдвиге координаты в системе отсчёта щие сдвиги в системе K′

,t,v , t ,v ,

K на x и времени на t соответствую-

	x		f x x,t t,v f x,t ,v ,
	x		f x x,t t,v f x,t ,v ,
	t g x x,t t,v g x,t ,v .
	t g x x,t t,v g x,t ,v .

Это возможно только тогда, когда f и g – линейные функции x и t:

x a x a vt ,
	1	2
	a
		x a t.
t	3
	v	4

Коэффициенты a1, a2, a3, a4 безразмерны. Их можно найти с помощью элементарных преобразований. В результате получаются преобразования Лоренца, приведённые в ТАБЛИЦЕ 14.2.

38 Упрощённый вывод (для двумерного пространства-времени x, t) приведён в ПРИЛОЖЕНИИ. Делать его на лекции не рекомендуется из-за громоздкости элементарных алгебраических преобразований.

K′ → K

x	x vt
			2
	1	v

		c	2

yy

zz

t	v		x
	c	2
t

			2
1		v

		c	2

116

Таблица 14.2

Преобразования Лоренца

K → K′

x		x vt
x								2
		1				v		2
						v
						c		2
								2

	y y
	z z
		t	v				x
t		t	c	2			x
				2

							2
		1			v		2
					v
					c		2
							2

Здесь c = const. Видно, что v < c, т. е. c – предельная скорость. Из опыта известно, что c – скорость света в вакууме.

При v << c преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея.

Подчеркнём, что преобразования Лоренца выводятся из свойств симметрии про- странства-времени и не требуют других допущений. Однако, во многих учебниках (например, [1]) преобразования Лоренца выводятся другим способом – через постулаты Эйнштейна.

Постулаты Эйнштейна

1.ПРИНЦИП ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ

2.Скорость распространения взаимодействий инвариантна относительно преобразований.

117

Лекция 15

1.12.3. Следствия из преобразований Лоренца

1. Инвариантность интервала

Интервал между событиями 1 и 2

	2		2					2					2			2			2
S		c		t		t			x		x			y	y		z	z		.
	12				2		1			2		1
														2	1		2	1

Интервал – инвариант преобразований Лоренца:

S12 inv .

Доказательство

Докажем, что малый интервал – дифференциал интервала dS12 образований Лоренца:

2

dx

2

dy

2

dz

2

dx

2

dy

2

dS12

c dt

, dS12

c dt

через время и координаты в системе отсчёта K:

Выразим dS12

– инвариант пре-


dz	2	.
dz		.

dt	v		dx
dt	c	2	dx
dt		2

				2
		v		2
1		v
1		c	2
			2

, dx

dx vdt
		2
	v
1
	c	2

,

dy dy

,

dz dz

;

2 2

v2

2

c dt

dx

2vdxdt dx

v dt

2vdxdt

dy2 dz2

dS 2

c2

12

1

v2

c2

2

c2 v2 dt2

v

1

dx2

2

c

2

2 2

2

dy

dz

c dt

dx

dy

dz

dS12

,

v

2

1

c2

ч. т. д.

2. Сокращение длины движущегося отрезка (лоренцево сокращение)

y	t	y′	t′

l0

1 2

	K′
	O′		x′
	K
O	x1	x2	x
O
	Рис. 15.1

Пусть отрезок 1-2 покоится относительно системы отсчёта K′; для простоты расположим его вдоль оси x′ (РИС. 15.1). Длина отрезка в системе отсчёта, в которой он покоится, – соб-

ственная длина отрезка l0 l .

Выразим длину отрезка в системах отсчёта K′ и K через координаты его концов:

l x x ,

0 2 1

l x2 x1.

Выразим l0 через координаты и время в системе отсчёта K:

118

l	x	2	vt			x	1	vt			x	2	x		1		l
l

0				v	2				v	2				v		2		v	2
					2					2						2			2
	1					1					1						1
	1			c	2	1			c	2	1			c	2		1	c	2
					2					2					2				2

,

время t в обоих слагаемых этой формулы одно и то же, так как измерение координат x1 и x2 проводится одновременно. Получается, что

		v	2
l l	1	v
l l	1		2
0		c	2
		c

,

l < l0 – длина движущегося отрезка меньше длины покоящегося.

3. Замедление хода движущихся часов

y

y′

Имеются часы с пружинным (или дру-

t

t′

гим) маятником, покоящиеся относи-

тельно системы отсчёта K′ (РИС. 15.2).

Период колебаний маятника в системе

отсчёта,

относительно которой

точка

подвеса маятника покоится ( x1 x2 ), –

K′

период собственных колебаний

T0 T

,

O′

x′

K

T t

t

[события 1 и 2 – два последо-

2

1

O

x

вательных прохождения маятником

положения равновесия (или любой

Рис. 15.2

другой фазы колебаний]. В системе от-

счёта K события 1 и 2 происходят в

точках с разными координатами x1 и x2, период колебаний маятника

T t2 t1 .

Выразим эту величину через координаты и время в системе отсчёта K′:

t

v

x

t

v

x

t

T

2

c

2

1

c

2

1

2

1

,

2

v

1

c

2

c

2

c

2

					T	T
					T	0
						0
							v	2
						1	v
						1	c	2
								2

T > T0 – ход движущихся часов замедляется.
4. Относительность одновременности
Если события 1 и 2 в системе отсчёта K′ происходят в одно и то же время (t									t ),
								2	1
но в разных местах ( x				x ), то t2 ≠ t1 – эти события не одновременны в системе
			2	1
отсчёта K. Это следует из преобразований Лоренца.
При t	t	и x	x возможно t2 < t1. Однако, если между событиями 1 и 2 имеется
2	1	2	1

причинно-следственная связь, то она не нарушается и t2 > t1.

II закон Ньютона инвариантен относительно преобразований Галилея: