Документ: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр), страницы 127-132

119

5. Релятивистский закон сложения скоростей

y	t	y′	t′

Пусть материальная точка M движется

со скоростью u относительно системы отсчёта K′ (РИС. 15.3). Найдём её скорость в системе отсчёта K.

По определению, проекции скорости в системе отсчёта K′

	K′
O′	x′
K
O	x
O

Рис. 15.3

наты и скорости в системе отсчёта K′:

	dx		dy		dz	;

ux	dt	, uy	dt	, uz	dt

в системе отсчёта K

ux	dx	, uy	dy	, uz	dz	.
	dt		dt		dt

Выразим эти проекции через коорди-

ux

Итак,

dx vdt

dt

v

dx

c

2

dx

, dy dy ,

dz dz ,

dt

;

v

2

v

2

1

c

2

c

2

v

2

v

2

v

2

dy

1

u

1

u

1

dx vdt

u

v

c

2

y

c

2

z

c

2

x

, uy

, uz

dt

v

dx

1

v

u

dt

v

dx

1

v

u

1

v

u

2

c

x

c

x

c

x

u

1

v2

u

1 v2

u

v

y

c

2

, u

z

c

2

u

x

, u

.

y

x

v u

v

u

z

v u

1

c2

x

c2

x

c2

x

.

Ускорение не является инвариантом преобразований Лоренца. Формулы для преобразования компонент ускорений можно получить аналогичным образом – исходя из определения и преобразований Лоренца:

adux

xdt

	du
	x
, ax	dt

…

1.13. Релятивистская динамика

1.13.1. Релятивистский импульс

Рассмотрим замкнутую механическую систему – два груза одинаковой массы m0, соединённых пружиной (РИС. 15.4). В системе отсчёта K′ центр масс данной механической системы покоится. В начальном состоянии пружина сжата, затем она

разжимается и грузы движутся со скоростями

u 1

и u 2

.

Должен выполняться закон сохранения импульса: импульс данной замкнутой механической системы должен сохраняться в любой инерциальной системе отсчёта.

120

y

t

y′

t′

m0

K′

K

O′

x′

O

Рис. 15.4

x

Определим импульс материальной точки, как в классической механике:

p m0u .

Используя РЕЛЯТИВИСТСКИЙ ЗАКОН СЛОЖЕНИЯ СКОРОСТЕЙ, получим в системе отсчёта K:

проекция начального импульса системы на ось x

P1x 2m0v

,

проекция конечного импульса

P

m

v u

m

v u

.

2x

0

v

u

0

v

u

1

c2

Видно, что P1x ≠ P2x. Получается., что в системе отсчёта K закон сохранения не выполняется, чего не может быть.

Подберём такое выражение для импульса, чтобы py py . (В классической механи-

ке py m0 dydt ; так как dy = dy′, а dt = dt′, то при таком определении

py

.) Возь-

мём в качестве элементарного интервала времени собственное время dτ = dτ′. Тогда

m0

dy

m0

dy

py .

py

dτ

2

Но dτ dt 1

u

, поэтому

c

2

m dy

m u

y

p

0

y

dτ

u

2

dt

1

c

2

1

c

2

аналогично

px

m u

, pz

m u

;

0

x

0

z

2

1

u

1

u

c

2

c

2

в векторной форме

,

121

p	m u
p	0
	0
			2
	1	u
	1	c	2
			2

.

Запишем это определение в виде, аналогичном формуле классической механики:

p здесь m – релятивистская масса:

m

mu ,

m
0
		2
1	u
1	c	2
		2

.

1.13.2. Релятивистское уравнение динамики материальной точки

Если материальная точка изолирована, то её импульс

p mu const . Если на точ-

ку действуют другие объекты, то мера взаимодействия – сила F . Запишем уравнение динамики:

		p F			t
или, подставляя выражение для релятивистского импульса,

	d	m u			F
	dt	0	u		F
		0

				2
		1	c	2
				2

– релятивистское уравнение динамики материальной точки.

Так как F f v,t и ни время, ни скорость не являются инвариантами преобразо-

ваний Лоренца, то и сила не является релятивистским инвариантом. Поэтому полученное уравнение динамики малополезно для решения задач.

1.13.3. Энергия в релятивистской механике

Пусть тело движется под воздействием других объектов, которое описывается

силой F , направленной параллельно перемещению				l	(РИС. 15.5). Тело разгоняет-
ся от начальной скорости u0 0	до скорости u .
				x

O
O
t 0			t 0
x 0			x 0
u 0			u 0
Wк 0		Wк 0
	Рис. 15.5
По теореме об изменении кинетической энергии работа силы F
	A	Wк Wк .

122

Найдём работу и, соответственно, кинетическую энергию тела. Элементарная работа на малом перемещении dl (dl = dx)

δA Fdl

Fdxcos0 Fdx

;

так как из релятивистского уравнения динамики

пульс p mu

δA	d mu	dx ud mu .
	dt

Проинтегрируем это выражение:

F

dp dt

, релятивистский им-

		u	ud mu u mu													u													c	2		u						m				2u du
к																								2					c									m
к																																							0
A W																																							0
A W																	mudu mu												2											u
		0														0																0						1			2
		0														0																0	c		2
																																	c							c	2
																																									2

											u					u												2						u
														2															1								2
										1				2												c
						m c			2	1				2												c								c			2
	mu			2		m c					c			2			mu			2	m													c					m c			2
	mu			2			0				c						mu			2	m																		m c			2
							2			1 2														0										u							0
																													1							2
																													1					c		2
																																				2
																0
																0
						2				m c		2									2
				m u						m c								m u						m c2 mc2 m c2																			,
					0					0									0					m c2 mc2 m c2																			,
							2								2							2						0												0
							2								2							2
				1		u				1	u							1			u
				1		c	2			1		c			2			1			c	2
							2								2							2


											W mc								2	m c						2	.
											W mc									m c
															к								0
При u << c

										1																					2											2
		W		m c				2		1						1 m c							2		1				u					1						m u
		W		m c												1 m c									1									1							0
																																									0
			к			0					u										0								2c			2									2
											u																		2c												2
										1			2
										1			2
											c		2
											c

– результат классической механики.

Полная энергия

		2
	W mc		.
			.
Представим
2		W m c			2
W mc		W m c
		к		0
При u = 0 W = W0 = m0c2;
	W m c2
	0	0

.

– энергия покоя.

Энергия покоя может переходить в другие виды энергии.

123

ПРИМЕРЫ

1) Реакция аннигиляции

При взаимодействии частицы и её античастицы они аннигилируют (взаимно уничтожаются) с образованием фотонов. Например, реакция электрона и позитрона

e

m0

e 2γ

m0

,

m0 = 0

γ – фотон рентгеновского излучения. Массы покоя электрона и позитрона одинаковы (m0), а масса покоя фотона равна нулю. Энергия покоя электрона и позитрона переходит в энергию фотона (энергию электромагнитного поля).

2) Дефект масс

Атомные ядра состоят из нуклонов – протонов и нейтронов (см. РАЗДЕЛ 7.1.1). Массы покоя протона и нейтрона в свободном состоянии соответственно равны mp и mn; масса ядра – mя.

Всегда масса ядра меньше суммы масс составляющих его нуклонов:

m Zm A Z
я	p

здесь Z – число протонов в ядре – заряд ядра, нейтронов в ядре. Разность

m Zm		A Z m
0	p	n

– дефект масс.

mn ,

A – массовое число, (A – Z) – число

mя 0

,

Рассмотрим реакцию синтеза атомного ядра (см. РАЗДЕЛ 7.3.5) – реакцию получе-

ния ядра из отдельных нуклонов. Изменение энергии системы нуклонов

к				0
W W			m c
				2
В замкнутой системе W = 0. Поэтому
Wк c	2	m0
Wк c		m0

	W c
			2
	к
m		W
m			к
			к
0		c	2
		c

m0

.

1.13.4. Вектор энергии-импульса

В 4-пространстве оперируют физическими величинами – 4-векторами.

4-вектор энергии-импульса

	i	W
	i	c



P		px		.
				.
		p
		p	y
			y
		pz
		pz

Найдём модуль вектора энергии-импульса:

Материал: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр)

Смотрите также: