Материал: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр)

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

124

W			m c				2
			m c
				0
				0
								2
			1			u
			1				c	2
								2

	p		m u
	p			0
				0
								2
			1			u
			1			c		2
								2

W	m c			2
	m c
		0
		0
	1		c	2	p		2
			c		p
			W			2
						2

p	u		,	u	cp	;
W	c	2		c	W

W	2	2	2	2	4	inv
W		c p		m c		inv
				0

– модуль вектора энергии-импульса является релятивистским инвариантом.

125

Лекция 16

1.14. Механические колебания39

1.14.1. Виды колебаний

Колебания – периодические изменения какой-либо физической величины во времени. Система тел, в которой происходят колебания, – колебательная си-

стема.

Колебания могут иметь разную физическою природу, но схожее математическое описание. Сейчас мы будем рассматривать механические колебания.

	Колебания
свободные		вынужденные
колебательная система		вынужденные
колебательная система		при периодическом внешнем
предоставлена самой себе		при периодическом внешнем
предоставлена самой себе		воздействии
		воздействии
незатухающие	затухающие
	затухающие

W↓

1.14.2. Свободные незатухающие колебания (собственные колебания)

Рассмотрим свободные колебания пружинного маятника (трения нет) в горизонтальном направлении. Груз – материальная точка массы m – колеблется на пружине жёсткостью k (РИС. 16.1), после того как его вывели из положения равновесия (точка O) и предоставили систему самой себе.

O	x

Запишем II закон Ньютона для груза:	Рис. 16.1
ma Fт N Fупр .
Спроецируем это уравнение на ось x. Так как Fупр x = –kx,
max kx .

По определению, ax d2x2 . Получим дифференциальное уравнение dt

m	d2x	kx 0			d2x
m	dt2	kx 0			dt2
	dt2				dt2
Обозначим

			k	ω02		;
			m	ω02		;
			m

		k	x
		m

39 Материал параграфов 1.14 и 1.15 входит в экзаменационную программу II семестра. Материал лекций 16 и 17 может быть, по обстоятельствам, прочитан во II семестре перед темой «ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ» или параллельно материалу этой темы.

126

d	2	x
d		x	2
		2	ω x 0	(16.1)
dt		2	0	(16.1)
dt

– дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний.

Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка. Его общее решение40

x t Acos ω0t φ

(16.2)

содержит две произвольные константы A и φ. Данные константы определяются из начальных условий.

Пусть при t = 0 x = x0, vx = 0 (груз оттянули на x0 и отпустили без начальной скорости). Первая производная функции (16.2) – проекция скорости груза на ось x

dx v	x	t Aω sin ω t φ .		(16.3)
dt	x	0	0
dt

Подставим начальные условия в функции (16.2) и (16.3) и найдём константы A и

φ:

x 0 Acosφ,		x	0		Acosφ,
	0 Aω sinφ		0
		0		Aω sin
v		0		Aω sin
x	0
					0
					0

Частное решение дифференциального уравнения условиях

	φ 0,
φ		A x	.

		0

(16.1) при данных начальных

x t x0 cosω0t ;

проекции скорости и ускорения на ось x

vx t x0ω0 cosω0t , ax t x0ω02 cosω0t .

Графики функций x(t), vx(t), ax(t) представлены на РИС. 16.2. Решение (16.2) – гар-

моническая функция.

В общем решении (16.2):

A – амплитуда колебаний – максимальное отклонение колеблющейся величины от равновесного значения;

ω0 – циклическая частота;

выражение в скобках (аргумент косинуса) – фаза колебаний;

φ – начальная фаза.

Введём другие характеристики гармонических колебаний:

период T – время, за которое колебательная система совершает одно полное колебание;

частота ν – число полных колебаний в единичный промежуток времени;

ω0

2π	,	ν	ω0	1	;
ω0	,	ν	2π	T	;
ω0			2π	T

радс с 1 , ν Гц .

40 Студентам предлагается проверить самостоятельно, является ли формула (16.2) общим решением дифференциального уравнения (16.1).

127

x x0

–x0

x0ω0

–x0ω0

Рис. 16.2

Энергия колебаний (механическая энергия колебательной системы)

W Wк Wп mv2	kx2	const	2π
2	2

ω0

(студенты проверяют выполнение этого равенства самостоятельно).

128

Демонстрация: Пружинные маятники

ПРИМЕРЫ

1. Математический маятник

		Математический маятник – материальная точка,
		подвешенная на невесомой нерастяжимой нити в одно-
		родном гравитационном поле.
z		Найдём период колебаний математического маятника
		Найдём период колебаний математического маятника
	l	массы m на нити длиной l (РИС. 16.3). Запишем II закон
φ	l	Ньютона:
		Ньютона:
		ma Fт T .
		ma Fт T .

mСпроецируем это уравнение на оси естественной системы координат:

	man T Fт cosφ ,
Рис. 16.3	maτ Fт sinφ .	(16.4)

Груз вращается вокруг оси z по окружности радиуса l. Выразим тангенциальное ускорение маятника через угловое ускорение:

aτ εzl ,

а по определению

εz d2φ . dt2

Подставим (16.5) и (16.6), а также Fт = mg в уравнение (16.4):

	2
m	d φ			l	mgsinφ ,
m	dt		2	l	mgsinφ ,
			2

	2				g
d φ					g	sinφ 0.
dt		2			l	sinφ 0.
		2

При малых углах sin φ ≈ φ и это дифференциальное уравнение примет вид

(16.5)

(16.6)

2
d φ
dt	2

ω2φ 0

– дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний, где

ω0 gl .

Период колебаний математического маятника T 2π ,

ω0

T 2π gl

зависит только от его длины.

129

2. Физический маятник

Физический маятник – твёрдое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной оси, проходящей через

точки этого тела, не являющиеся его центром масс, в од-

z			нородном гравитационном поле.
			Пусть масса маятника равна m, его момент инерции отно-
	d		Пусть масса маятника равна m, его момент инерции отно-
	d		сительно оси маятника равен I, расстояние между цен-
φ		C	сительно оси маятника равен I, расстояние между цен-
φ		C	тром масс маятника и его осью z равно d (РИС. 16.4).
			тром масс маятника и его осью z равно d (РИС. 16.4).
			Найдём период колебаний маятника.

Запишем основное уравнение динамики вращательного движения:

Рис. 16.4

Iε MF	M
т

( N – сила реакции оси маятника). нение на ось маятника:

Спроецируем это урав-

	2
I	d φ
I	dt	2
		2

mgdsinφ

При малых углах φ sin φ ≈ φ и

2
d φ
dt	2

Обозначив

	mgd	φ
	I	φ
	I

ω	mgd

0	I

получим дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний. Пе-

риод колебаний

2π

ω0


T 2π	I	.

	mgd

Приведённая длина физического маятника – длина математического маятника с периодом собственных колебаний, равным периоду собственных колебаний данного физического маятника.

Демонстрация: Математический и физический маятники

Из приведённых выше примеров видно, что свободные незатухающие механические колебания будут гармоническими лишь при малых изменениях колеблющейся величины.

1.14.3. Свободные затухающие колебания

Рассмотрим пружинный маятник (см. 1.14.2), введя силу сопротивления в виде Fсопр rv – сила вязкого трения, r – положительная константа. Колебательная система изображена на РИС. 16.5.

Запишем II закон Ньютона для груза:

ma Fт N Fупр Fсопр .

В проекции на ось x

Источник: https://files.student-it.ru/previewfile/285299

Смотрите также:








Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_-___-~1
_1-тема-СтрМетал