Документ: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр), страницы 209-214

197

Теорема о циркуляции случаях, в том числе

B полезна для расчёта магнитной индукции в отдельных при осевой симметрии распределения токов. Сначала

направление

B

определяется методом суперпозиций, затем выбирается такой

контур интегрирования, циркуляцию по которому легко вычислить.

ПРИМЕРЫ

1) Расчёт индукции магнитного поля тонкого прямого длинного провода с током

По тонкому бесконечно длинному прямому проводу идёт ток I. Найти индукцию магнитного поля как функцию расстояния от провода.

Принцип суперпозиции и закон Био-Савара-Лапласа указывают, что в каждой точке магнитная индукция направлена перпендикулярно току (проводу) и радиусу – перпендикуляру к проводу, проведённому в точку, где измеряется поле. Таким образом, силовые линии магнитного поля представляют собой окружности. На РИС. 24.8А изображён вектор индукции магнитного поля в точке A, лежащей в плоскости рисунка. РИС. 24.8Б – это РИС. 24.8А – вид сверху (провод перпендикулярен плоскости рисунка).

I

		I	r
r			A
r			A

	A
L			L
			L

а

б

Рис. 24.8

Теорема о циркуляции

B

Bdl μ0 I L .

L

Так как провод бесконечный, модуль B может зависеть только от r. Поэтому выбираем контур интегрирования L в виде окружности радиуса r, центр которой лежит на проводе (РИС. 24.8А, Б). В каждой точке контура L вектор магнитной индук-

ции направлен по касательной и одинаков по модулю. Циркуляция B по контуру

L

Bdl Bdlcos0 B dl B 2πr .

L L L

Сумма сцепленных с контуром L токов

I L I .

Получим

198

B2πr μ0I

B	μ	I
	0

	2πr

.

Этот результат был нами получен РАНЕЕ по методу суперпозиций.

2) Расчёт индукции магнитного поля длинного прямого соленоида с током

По бесконечно длинному соленоиду с плотностью намотки n идёт ток I. Найти индукцию магнитного поля внутри соленоида.

По принципу суперпозиции поле соленоида складывается из полей бесконечного числа витков. Внутри соленоида суммарная магнитная индукция будет направлена вдоль его оси (РИС. 24.9), более то-

го, поле B будет однородно, а вне соленоида поля витков будут скомпенсированы и результирующая магнитная индукция равна нулю (студенты должны показать это самостоятельно).

Применим теорему о циркуляции B

	Bdl μ0	I	L	.
	Bdl μ0	I		.
L

	L
4	3

I

1 2

Рис. 24.9

Выберем контур интегрирования L в виде прямоугольника, одна из сторон (1-2) которого параллельна оси соленоида и лежит внутри него, противолежащая ей (3-4) – вне соленоида, а две другие (2-3 и 4-1) перпендикулярны оси соленоида

(РИС. 24.9). Циркуляция

B

по контуру L

	2	3	4	1	2	3	π	1	π
Bdl Bdl Bdl Bdl Bdl Bdlcos0 Bdlcos								Bdlcos
							2		2
L	1	2	3	4	1	2		4

2B dl

1

Bl12

,

0 l12 – длина прямоугольника L.

Сцепленный с контуром L ток

I	L

0 0

nl12I ,

nl12 – число витков, приходящееся на отрезок соленоида длиной l12. Получим

Bl	μ nl		I
12	0	12

B

μ0nI

.

(24.3)

Как и должно быть, магнитная индукция на зависит от l12 – параметра произвольного контура интегрирования. Магнитная индукция также не зависит от формы и размеров поперечного сечения соленоида.

Полученный результат был достигнут нами РАНЕЕ с использованием метода суперпозиций.

3) Расчёт индукции магнитного поля тороида с током

Тороид – геометрическое тело, образованное вращением плоской фигуры вокруг оси, лежащей в плоскости этой фигуры.

Имеется тороид, внутренний радиус которого равен R1, внешний радиус – R2, с обмоткой из N витков, по которым идёт ток I (РИС. 24.10). Найти индукцию магнитного поля как функцию расстояния r от оси тороида.

Магнитное поле тороида является суперпозицией магнитных полей его витков. Поэтому вне тороида (при r < R1 и r > R2) B = 0. Внутри же тороида вектор магнит-

199

ной индукции будет перпендикулярен радиусу, проведённому из центра тороида в точку A, где измеряется поле, модуль магнитной индукции будет зависеть толь-

ко от r. Применим теорему о циркуляции		B		L
	0			L
	Bdl μ		I
L

.

Выберем контур интегрирования L в виде окружности

радиуса r с центром в центре тороида. Циркуляция	B
по контуру L

	Bdl		Bdlcos0		B		dl B 2πr .
	Bdl		Bdlcos0		B		dl B 2πr .
L		L				L
Сцепленный с контуром L ток
			I	L	NI .
				L
Получим
	B2πr μ0NI				B			μ	NI
	B2πr μ0NI				B			0
								0
								2πr

при R1 < r < R2.

График зависимости B(r) представлен на РИС. 24.11.

B

I

L

	O	R1
A	r	R2
A

Рис. 24.10

0

R1

R2

x

Рис. 24.11

Предельный случай

При R1 ≈ R2 ≈ R (тонкий тороид)

B	μ0NI μ nI ,		(24.4)
	2πR	0
	2πR

где n 2NπR – плотность намотки тороида. Формула (24.4) совпадает с (24.3) – ин-

дукцией магнитного поля длинного соленоида.

200

Лекция 25

3.7.3. Теорема Остроградского-Гаусса для магнитной индукции

Теорема Остроградского-Гаусса для	B	: поток вектора магнитной индукции

сквозь произвольную замкнутую поверхность равен нулю:

BdS 0

S

.

Поток вектора магнитной индукции – магнитный поток

Φ		BdS	; [Φ] = Вб.
			; [Φ] = Вб.
	S

Поток магнитной индукции сквозь незамкнутую поверхность не зависит от формы этой поверхностью, а зависит только от ограничивающего её контура.

Доказательство

S1 L

S2

Рис. 25.1

Пусть на	контур L натянуты две поверхности S1 и	S2
(РИС. 25.1).	Составная поверхность S1 + S2 – замкнутая.	По
теореме Остроградского-Гаусса для B

				BdS 0.
				BdS 0.
		S	S	2
		1		2
При вычислении потока по замкнутой поверхности									dS	–
внешняя нормаль. Поэтому
		BdS			BdS1
		BdS			BdS1			BdS2 .
S	S	2		S		S	2
1		2		1			2

При расчёте же магнитного потока сквозь незамкнутые поверхности направление

нормали выбирается по правилу правого винта, соответственно, нормали

dS2		. Из этого следует, что
	будут направлены в одну сторону; dS2 dS2

BdS1

BdS2

0

BdS1

BdS2

0

, ч. т. д.

dS1

и

S	1	S	2	S	1	S	2

ПРИМЕР

Поток однородного магнитного поля сквозь полусферу

S

S′ α R

O

Рис. 25.2

Найти поток однородного магнитного поля с индук-

цией B сквозь полусферу радиуса R, при том что силовые линии магнитного поля направлены под углом α к нормали к основанию полусферы (РИС. 25.2).

Полусфера S натянута на окружность радиуса R с центром в центре полусферы – точке O. На ту же окружность натянуто и плоское основание S′. Следовательно, магнитные потоки сквози поверхности S и S′ равны:

	BdS		cosα Bcosα dS
Φ Φ	BdS	BdS	cosα Bcosα dS
	S	S	S
	S	S	S

BS cosα πR2Bcosα.

201

3.7.4. Векторный потенциал

Ротор – векторная функция векторного аргумента – векторное произведение

оператора векторного дифференцирования					на векторную функцию

	rot B ,B					.
						.

В декартовых координатах
		i		j		k
rot B								.
rot B		x		y		z		.
		x		y		z
		B	x	B	y	B	z
			x		y		z

Ротор вектора всегда перпендикулярен этому вектору.

Из теоремы о циркуляции

B

в интегральной форме

	0
	Bdl μ		jdS
L		S

( j – плотность тока) следует, что

			rot B μ	j	(25.1)
			0		(25.1)
– теорема о циркуляции	B	в дифференциальной форме.
– теорема о циркуляции		в дифференциальной форме.

Векторный потенциал A – векторная величина – энергетическая характеристика магнитного поля – такая, что

	rot A B	,
		,
причём

	div A 0	;
		;
[A] = Тл·м.

(25.2)

Подставим определение (25.2) в теорему о циркуляции

rotrot A μ0 j .

B

(25.1):

Преобразуем левую часть этого равенства по известной формуле двойного векторного произведения:

rotrot

A		A A
	A

0

2 A μ0 j

	2	A,
	2

(25.3)

В декартовых координатах:

2

A2x

2

A2x

2

Ax

μ0 jx ,

2

x

y

z

A

2

μ j

y

,

x2

y2

z2

0

y

2 A

z

μ j

.

z2

x2

y2

0 z

Материал: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр)

Смотрите также: