Материал: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр)

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

202

Это три независимых дифференциальных уравнения второго порядка в частных производных. Поэтому при известном распределении плотности тока в некоторых случаях удобнее решить эти уравнения по отдельности и найти все компоненты векторного потенциала, а затем по определению (25.2), проведя дифференцирование, найти магнитную индукцию.

Выражение, подобное (25.3), можно получить и для электрической компоненты электромагнитного поля:

E φ,

ρ

ρ

φ

2

E

ε

ε

0

0

(напоминаем, что φ – потенциал, ρ – объёмная плотность заряда). Единая энергетическая характеристика электромагнитного поля:

icφ

A

A

x

A

y

A

z

– 4-потенциал.

Методы расчёта магнитной индукции

метод суперпозиций

теорема о циркуляции

через

3.8. Действие магнитного поля на движущиеся заряды

3.8.1. Движение точечного заряда в магнитном поле

Магнитная составляющая электромагнитного поля действует на точечный заряд

q, движущийся со скоростью

v

, с силой

F q vB

2

– сила Лоренца (магнитная составляющая) (см. РАЗДЕЛ 3.1.3).

Магнитная составляющая силы Лоренца всегда перпендикулярна скорости частицы. По этой причине магнитное поле не совершает работы.

ПРИМЕР

Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле

Частица массы m, имеющая заряд q > 0, влетает со скоростью v в область пространства, где имеется однородное магнитное поле с индукцией B (РИС. 25.3). Угол между v и B равен α. По какой траектории будет двигаться частица?

Запишем II закон Ньютона для данной частицы

ma F2 ,

(25.4)

где F q vB

. Сила F

и ускорение a изображены на РИС. 25.3А, Б в разных проек-

2

2

циях.

203

O R

α

m, q

m, q

а

б

Рис. 25.3

Сила F2

перпендикулярна скорости частицы,

так же направлено и ускорение, т. е.

a = an – нормальное ускорение. Следовательно, вдоль оси, параллельной линиям магнитной индукции, частица будет двигаться равномерно, а в проекции на плоскость, перпендикулярную линиям магнитной индукции (плоскость РИСУНКА 25.3Б)

– по окружности.

Спроецируем векторное равенство (25.4) на нормаль к проекции траектории частицы на плоскость, перпендикулярную линиям магнитной индукции:

ma qvBsinα

n

2

an

v

По известной формуле кинематики (2.3)

R

тории;

2

v

qv B R

m

R

.

, где v = v sin α, R – радиус траек-

mv

.

qB

Можно также найти шаг спирали, по которой движется частица. При q < 0 траектория будет закругляться в другую сторону. Демонстрация: Электронно-лучевая трубка

3.8.2. Действие магнитного поля на проводник с током

Рассмотрим участок проводника длиной dl, находящий-

ся в магнитном поле с индукцией B , по которому идёт

ток I (РИС. 25.4). Заряд носителей равен q (будем счи-

q

тать, что в проводнике движутся положительно заря-

I

женные частицы), скорость упорядоченного движения

– v . На каждый носитель магнитное поле действует с

силой

F2 q

vB

. Всего на данном участке проводника

Рис. 25.4

находится dN носителей заряда, их общий заряд

dQ q dN .

Сила, с которой магнитное поле действует на все эти заряды,

dF F dN q vB dN dQ vB

.

А

2

204

Представим

v

dl

dt

тогда

так как I

dQ

.

dt

(направим

dl в сторону упорядоченного движения зарядов),

dl

dQ

dl,B

I

,

dFА dQ

B

dl,B

dt

dt

Закон Ампера:

,

dFА I dl,B

где dFА – сила Ампера – сила, с которой магнитное поле действует на проводник с током.

ПРИМЕР

Взаимодействие прямых проводов с токами

Имеются два прямых параллельных длинных провода с токами I1 и I2, текущими в одну сторону (РИС. 25.5А). Расстояние между проводами равно d. Найти силу, с которой магнитной поле одного провода действует на отрезок другого провода единичной длины.

Направление индукции магнитного поля B1

провода с током I1 в точках, через ко-

торые проходит провод с током I2, и индукции магнитного поля

B2 провода с то-

ком I2 в точках, через которые проходит провод с током I1;

dF21

– сила, с которой

поле провода с током I1 действует на элемент тока dl2 ; dF12

– сила, с которой поле

провода с током I2 действует на элемент тока dl1

показаны на РИС. 25.5А.

I1

I2

I1

I2

d

d

а

б

Рис. 25.5

По закону Ампера

dF12

I

2

dl

2

dF21

I

dl

1

1

,B

,

dF12 I2B1dl2 ,

1

I1B2dl1.

,B

dF21

2

205

Модули магнитной индукции (см. ПРИМЕР В РАЗДЕЛЕ 3.7.2)

B

1

При l1 = l2 = 1

F

12

μ

I

,

0

1

2πd

F

21

B

μ

I

0

2

2

2πd

μ I

I

.

0

1

2

2πd

.

При одинаково направленных токах провода притягиваются. При разнонаправленных токах I1, I2 (РИС. 25.5Б) провода отталкиваются (формула для модуля силы взаимодействия проводов будет той же).

Демонстрация: Взаимодействие прямых токов

3.8.3. Рамка с током в магнитном поле

Поместим прямоугольную рамку 1234 с током I в однородное магнитное поле с

индукцией B ; нормаль к плоскости рамки расположена под углом α к линиям магнитной индукции (РИС. 25.6А). Равнодействующая сил Ампера, с которыми магнитное поле действует на все четыре стороны рамки, равна нулю, но суммарный момент сил нулю равен не будет – рамка будет разворачиваться вокруг оси, перпендикулярной линиям магнитной индукции.

4

I

3

α

α

3

α I

1

α

2

z

2

а

б

Рис. 25.6

Найдём момент сил Ампера – момент пары сил

F12

и F34

. Пусть ось, перпендику-

лярная линиям магнитной индукции – ось z проходит через сторону 12. Единственная сила, которая имеет ненулевой момент относительно этой оси, это сила

F34

. Её момент

M M34

l23 F34

;

M34

l

F

sinα l

IBl sinα IBS sinα

23

34

23

34

,

где S = l23l34 – площадь рамки;

M p

B

,

(25.5)

m

где

206

p

ISn

m

– магнитный момент рамки – характеристика замкнутого проводника (контура) с током (n – нормаль к поверхности рамки);

[pm] = А·м2.

Вектор магнитного момента показан на РИС. 25.6Б – вид со стороны 23 рамки. Направление магнитного момента выбирается в соответствии с направлением тока в рамке по правилу правого винта.

Соотношение (25.5) справедливо и для рамки произвольной формы. Магнитное поле стремится развернуть рамку с током так, чтобы её магнитный момент был направлен вдоль линий магнитной индукции.

Демонстрации: 1) Рамка с током в магнитном поле

2)«Сознательные» катушки

3.8.4.Работа силы Ампера

1. Работа при повороте рамки с током в магнитном поле

Рассмотрим рамку с током, находящуюся в однородном магнитном поле (см. ПРЕДЫДУЩИЙ РАЗДЕЛ). Чтобы повернуть рамку на угол dα, внешние силы должны совершить работу

*

*

dα Mdα Mdα pmBsinαdα ,

δA

M

здесь M

*

M

– момент внешних сил, вектор углового перемещения dα

обозна-

чено на РИС. 25.6Б и направлен «на нас», так как угол принято отсчитывать против часовой стрелки; M pmBsinα по формуле (25.5).

Приращение энергии контура в магнитном поле при повороте на малый угол dα

dW δA*

Энергия контура

pmBsinαdα

.

W

m

p Bsinαdα

pmBcosα const

.

Положим константу в этой формуле равной нулю; получим

W p B

,

m

W pmBcosα .

График зависимости W(α) представлен на РИС. 25.7.

W

α = 0 – устойчивое равновесие;

α = π – неустойчивое равновесие.

0

π α

Рис. 25.7

Источник: https://files.student-it.ru/previewfile/285299

Смотрите также:

Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_-___-~1
_1-тема-СтрМетал