Документ: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр), страницы 204-208

N2

Отношение

192

		E		2
2				R .
I2R
	r		2R

N1 N2

	2	r		2
E		r		2R


2r R			E

r 2R

2r R

2

.

Обычно внутреннее сопротивление источника сравнительно невелико: r << R. В таком случае

N1 N2

	2
2R


	R

4

.

При параллельном соединении лампы горят в четыре раза ярче, чем при последовательном.

3.7. Постоянное магнитное поле в вакууме

В этом случае E 0	,	B
		t

Уравнения Максвелла:

II.		Bdl μ		jdS μ I	L
II.		0		0	L
	L		S
IV.		BdS 0
IV.		BdS 0
	S

0

.

Силовые линии магнитного поля замкнуты.

3.7.1. Закон Био-Савара-Лапласа. Расчёт индукции магнитного поля методом суперпозиций

Закон Био-Савара-Лапласа: индукция магнитного поля точечного тока (бесконечно малого участка dl тонкого проводника с током I)

			μ
		dB	μ		dl,r
			0	I			,	(24.1)
				I		r3	,	(24.1)
			4π			r3
где r	– радиус-вектор, соединяющий точечный ток с точкой, где измеряется ин-
дукция магнитного поля (РИС. 24.3); µ0 – магнитная постоянная; dl								направлен по
току.

Направление dB выбирается по правилу правого винта60. На РИС. 24.3 векторы dl и r лежат в плоско-

сти чертежа, а dB перпендикулярен плоскости чертежа. Модуль элементарной магнитной индукции

dB	μ0 Idlsinα	.

	4π r2

Закон Био-Савара-Лапласа – эмпирический закон. Ис-

I α

Рис. 24.3

60 Можно пользоваться правилом правой руки, известным из школьного курса физики, в следующей формулировке: если пальцы правой руки направить по току, а большой палец – в сторону точки, где измеряется поле, то линии магнитной индукции будут входить в ладонь.

193

ходя из него может быть доказана теорема о циркуляции вектора магнитной индукции(см. 3.7.2).

Принцип суперпозиции в применении к вектору магнитной индукции (см. РАЗДЕЛ

3.1.5):

B Bi ,

B

dB

.

Любую сколь угодно сложную систему токов можно разбить на точечные токи (или токи другой формы, поле которых легко рассчитать) и рассчитать магнитную индукцию, воспользовавшись законом Био-Савара-Лапласа и принципом суперпозиции.

ПРИМЕРЫ

1) Расчёт индукции магнитного поля тонкого прямого провода с током

Тонкий прямой провод AC, по которому идёт ток I, виден из точки D, находящейся на перпендикуляре к нему на расстоянии b, под углами β1 и β2 (РИС. 24.4). Найти индукцию магнитного поля в точке D. Полем подводящих проводов пренебречь.

A

I

O	·	b	β1	,
				,
		β
		β		D
				β2
			dβ
	dβ

α rdβ

C

Рис. 24.4

Разобьём проводи на малые фрагменты dl – точечные токи. По закону Био- Савара-Лапласа

	μ
dB			dl,r
	0	I			,
	4π			r3

направление dB – перпендикулярно плоскости чертежа «от нас». Применим принцип суперпозиции

194

Все dB направлены одинаково, направлена так же.

Найдём модуль B : B

B		dB .

поэтому результирующая магнитная индукция

dB ; dB	μ	Idlsinα		;
dB ; dB	0		2	;
	0
	4π	r

B

r, α, l – зависящие друг от друга переменные. Выразим их через угол β, так как интегрировать по этому углу удобнее:

sinα dB B

cosβ ,				r	b			,	dl
cosβ ,				r	cosβ			,	dl
					cosβ
					2
	μ I bdβcos β					cosβ
	0					cosβ
	0
	4π		2		2
	4π		b cos β
μ I			β					μ I
μ I			2					μ I
	0		cosβdβ						0
	0								0
4πb		β					4πb
		β
			1

	rdβ		bdβ
	cosβ		2
			2
			cos β
	μ I	cosβdβ ;
	0	cosβdβ ;
	0
	4πb
sinβ1		sinβ2 .

;

Предельный случай

При

β	,β	π

1	2	2

B μ0I 2πb

– модуль индукции магнитного поля длинного прямого провода с током. ПОЗДНЕЕ мы получим этот результат другим способом.

2) Расчёт индукции магнитного поля тонкого кольца с током

По тонкому кольцу радиуса R идёт ток I. Найти магнитную индукцию в точках на

оси кольца:

B z

z

(РИС. 24.5).

Разобьём кольцо на одинаковые по модулю элементы

dl . Воспользуемся законом Био-Савара-Лапласа и принципом суперпозиции:

	μ		dl,r
dB	0	I
dB	4π	I		r	3
					3

,

B

dB

.

AВсе dB одинаковы по модулю и образуют конус с вер-

·шиной в точке A, где измеряется поле (РИС. 24.5). Резуль-θ

zтирующая магнитная индукция направлена вдоль оси кольца: B = Bz. Найдём Bz:

I	θ	O
I		R

dB

r и cos θ

	Idlsin		π
μ			2	μ	Idl

0				0			,
4π	r	2		4π r		2

одинаковы для всех

dB		dBcosθ	μ
dB		dBcosθ	0
			0
	z		4π
			4π

dl ;

Idl
r	2

cosθ

;

Рис. 24.5				R
Рис. 24.5	r	R2 z2 , cosθ			.


			R2 z2

195

Подставим в формулу для dBz выражения для r и cos θ и проинтегрируем по всей длине кольца:

					2πR	μ IR						μ IR 2πR					μ IR			2
		B				μ IR					dl	μ IR 2πR					μ IR						.	(24.2)
		B					0				dl	0							0				.	(24.2)
							0					0							0
						4π R		z		3 2		4π R		z		3 2	2 R		z			3 2
					0	4π R	2	z	2			4π R	2	z	2		2 R	2	z		2
							2		2				2		2			2			2
Предельные случаи												2
Предельные случаи
а) z = 0 B	μ0I
а) z = 0 B	2R
		μ IR		2
б) z >> R B		μ IR			– модуль индукции магнитного поля точечного контура.
б) z >> R B		0			– модуль индукции магнитного поля точечного контура.
		0
		2z	3
		2z

3) Расчёт индукции магнитного поля прямого круглого соленоида с током

По прямому круглому соленоиду (катушке, на которую намотана проволока) радиуса R, имеющему плотность намотки n, идёт ток I (РИС. 24.6А). Найти магнитную индукцию в точке на оси соленоида, отстоящей от концов соленоида на x1 и x2

(точка O на РИС. 24.6Б): B x1 ,x2 .

Плотность намотки – число витков,

ничной длины:

n

приходящихся на отрезок соленоида еди-

		N	,
		l

где N – число витков соленоида, l – его длина.

				I
				I
I			R		O			R
I			R						x
			x				dx		x
			x				dx

	l

				x1		x	x2
						x



		а					б

Рис. 24.6

Разобьём соленоид на тонкие кольца и воспользуемся принципом суперпозиции полей

B dB .

и результатом предыдущей задачи (24.2). Индукция магнитного поля dB , создаваемого каждым тонким кольцом, направлена одинаково; соответственно и ре-

зультирующий вектор B направлен так же (РИС. 24.6Б);

B Bx dB .

Тонкое кольцо толщиной dx,отстоящее на x от точки O, состоит из dN n dx

витков и по нему идёт ток

dI IdN nIdx .

196

Модуль индукции магнитного поля этого кольца, согласно (24.2),

	μ dI R				2			2	Idx
dB	μ dI R					μ nR			Idx			.
dB	0		x			0		x				.
	2 R		x			2 R		x
		2		2	3 2		2			2	3 2
		2		2			2			2

Проинтегрируем это выражение по всей длине соленоида, т. е. от

x2	2	I		dx						2	I		1			x					x	2	μ nI						x
x2	2									2												2
B	μ nR					3 2		μ nR
B	0	R				3 2		0						2										0						2
x1	2		2	x	2			2				R			R	2	x			2	x1			2			R		2	2
x1				x											R		x				x1						R			x2
Если точка O находится в середине соленоида, т. е. x																								x				l	, то
Если точка O находится в середине соленоида, т. е. x																							1	x		2			, то
																							1			2	2
																											2
				B			μ nI		l							μ nIl								μ NI			.
				B			0										0							0			.
							0										0							0
							2					l	2		4R			2	l		2		4R		2	l	2
							2	R	2			l			4R				l				4R			l
									2
												4
Предельный случай
При R << l (длинный соленоид)
													B μ0nI .

–x1 до x2:

	x
	x	1


R	2	2
R		x
		1

.

Этот результат НИЖЕ будет получен другим способом.

3.7.2. Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции

Теорема о циркуляции B 61: циркуляция вектора магнитной индукции по произвольному замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов, сцепленных с этим контуром, умноженной на µ0:


	0		L
	Bdl μ	I
L

.

Знак тока выбирается согласно направлению обхода контура L по правилу правого винта.

ПРИМЕР

На РИС. 24.7

I	L

I1

I2

. Токи I3 и I4 с контуром L не сцеплены.

I4 I1

I3

L

I2

Рис. 24.7

61 Эту теорему иначе называют законом полного тока.

Материал: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр)

Смотрите также: