Документ: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр), страницы 248-252

B

III

II

I

0

H

Рис. 28.7

232

I – слияние доменов, магнитные моменты ко-

торых близки по направлению к B0

;

II – расширение границ доменов, магнитные моменты которых близки по направлению к

B0 ;

III – разворот магнитных моментов доменов.

233

Лекция 29

3.12. Уравнения Максвелла

3.12.1. Уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальной форме

Вспомним уравнения Максвелла в общем виде, записав их в интегральной и дифференциальной форме (ТАБЛ. 29.1).

Таблица 29.1

Уравнения Максвелла

I.

II.

III.

IV.

в интегральной форме в дифференциальной форме

		Edl			B		dS	rot E	B
									B
					t				t


	L			S


						D				D
	Hdl							rot H j
	Hdl		j				dS	rot H j		t
L			S			t				t
		DdS				ρdV		divD ρ
		S		V				divD ρ
		S		V
			BdS 0					divB 0
		S						divB 0
		S

Материальные уравнения для изотропной среды:

D ε0εE

,

B

μ0μH

.

Решив систему уравнений Максвелла с учётом материальных уравнений, можно рассчитать характеристики электромагнитного поля в любой задаче.

3.12.2. Физический смысл уравнений Максвелла

I. Переменное магнитное поле порождает переменное электрическое поле.

II. Переменное электрическое поле порождает переменное магнитное поле.

При этом E B . Из I и II уравнений Максвелла следует возможность существования электромагнитных волн (РИС. 29.1).

II.Магнитное поле порождается токами:

jdS I

S

Рис. 29.1

.

Второе слагаемое в правой части II уравнения Максвелла

jсм D

t

– плотность тока смещения.

III. Электрическое поле порождается электрическими зарядами:

ρdV qсвоб S .

V

234

IV. Магнитных зарядов не существует. Силовые линии магнитного поля замкнуты.

3.12.3. Относительность электрического и магнитного полей

y	t	y′		t′
y

				q
			τ0	r
			τ0
			K′
	K	O′		x′
	K

O	x
O
	Рис. 29.2

τ0

Рассмотрим взаимодействие тел с точки зрения двух наблюдателей: подвижного и неподвижного. Пусть имеется два заряженных тела, неподвижных друг относительно друга: точечный заряд и длинная равномерно заряженная нить; заряд расположен на расстоянии r от нити (РИС. 29.2). Найдём силу, с которой поле нити действует на точечный заряд.

В системе отсчёта K´, относительно которой точечный заряд и нить покоятся, точечный заряд равен q, а линейная плотность заряда нити

	dq	,
	dl	,
	dl
	0

dl0 – собственная длина элементарного отрезка нити. В этой системе отсчёта поле

нити – электростатическое (напряжённость поля

E0

) и сила, с которой оно дей-

ствует на точечный заряд,

F0 F10 F20

Из III уравнения Максвелла найдём

0

F10

qE0

.

E		τ	0
E

	0	2πε r
		2πε r
			0

,

(29.1)

F	qτ
	0
0	2πε r

	0
(см. задачу о поле длинной нити в РАЗДЕЛЕ 3.2.3).

С точки зрения наблюдателя, движущегося относительно рассматриваемой си-

стемы зарядов со скоростью v (и покоящегося относительно системы отсчёта K, см. РИС. 29.2), кроме электрической составляющей поля появляется ещё и магнит-

ная, так как нить, движущаяся со скоростью v , создаёт магнитное поле, которое действует на движущийся заряд q:

F F1 F2 .

Классическая механика

В классической механике сила – инвариант:

F F0 inv F2

0

.

Никакой магнитной составляющей силы Лоренца классическая механика не предусматривает. Это показывает, что электромагнитное поле – сугубо реляти-

235

вистский объект и рассматривать его нужно только с точки зрения релятивистской физики.

Релятивистская механика

Сила не инвариантна:

F inv

F

F0

.

Но уравнения Максвелла инвариантны. Заряд также является релятивистским инвариантом:

q inv

– постулируется.

Сила в релятивистской механике преобразуется по закону

			F F	1	v2		.
			F F	1			.
			0		c2
Зная F	и F qE , можно найти F		. Найдём сначала E						– напряжённость электриче-
	1	2
ского поля нити в системе отсчёта K.
III уравнение Максвелла (теорема Остроградского-Гаусса для E ):
				q		S		.

			EdS
			S	ε
			S	0

Здесь S – та же поверхность, что и для наблюдателя, покоящегося относительно системы отсчёта Kˊ, и результат расчёта напряжённости электрического поля должен быть аналогичен (29.1):

	E	τ
	E	2πε r
		2πε r
		0

,

(29.2)

где τ – линейная плотность заряда нити в системе отсчёта K (здесь и далее в этом выводе мы опускаем векторы, так как все векторные величины, входящие в выражения, приведённые выше в этом разделе, сонаправлены). В выражении (29.2) все величины инвариантны, кроме τ:

τ

dq

τ

0

.

dl

v

1

2

1

2

dl

2

0

c

Подставив последнее выражение в (29.2), получим

E

τ0

E0

;

2πε r 1

v2

1

v2

0

c2

F1 qE

qE0

F10

F0

.

1

v2

1 v2

c2

Теперь найдём F2:

236

											1			v	2	1
					2									v					2					2
F F F F			1	v	2	F			F					c	2			v	2	F			v	2
				v		F									2			v		F			v
						0														0					qE
					2														2					2	qE
2	1	0		c	2		v	2		0						v	2	c	2		v	2	c	2
						1		2					1				2			1		2
						1	c	2					1			c	2			1	c	2
								2									2					2

								v	2
– релятивистская поправка порядка								v		. Выразим силу F через E:
– релятивистская поправка порядка								c	2	. Выразим силу F через E:
									2

						F qE					v	2
											v		qE .
											c	2	qE .
												2

(29.3)

Теперь выразим второе слагаемое в выражении (29.3) – релятивистскую поправку к силе, с которой электромагнитное поле действует на заряд, – через другие величины, которые может измерить наблюдатель, покоящийся относительно системы отсчёта K. Для этого наблюдателя по нити идёт ток

I	dq	τdl
	dt	dt

с учётом этого

vτ

,

Так как

c	2	1
c

		ε μ
		0	0

F qE	v	2	qτ	qE	v		qI
								.
	c	2	2πε r		c	2	2πε r


			0				0

,

F qE	ε μ qvI		qE qv	μ I	qE qvB
F qE	0	0	qE qv	0	qE qvB
	0	0		0
	2πε r			2πr
		0

( B	μ	I	– модуль индукции магнитного поля прямого тока, см. пример в РАЗДЕЛЕ
	0

	2πr

3.7.2). Мы получили формулу Лоренца.

Выразим индукцию магнитного поля через напряжённость электрического поля в системе отсчёта Kˊ:

													E0
B	μ vτ	μ v	τ				ε μ v		τ				v		E
B	0	0		0			0	0		0						0
	0	0		0			0	0		0						0
	2πr	2πr			v	2	2πε r				v	2	c	2			v	2
	2πr	2πr				2	2πε r					2	c					2
			1					0	1						1
			1		c	2			1		c	2			1		c	2
						2						2						2

.

Электромагнитное поле – единый объект. Его деление на электрическую и магнитную компоненты зависит от выбора системы отсчёта.

3.12.4. Преобразования компонент электромагнитного поля

, E y

E y

vBz

Ex Ex

1

v2

c2

v

By

By c2 Ez

Bx Bx

,

1

v2

c2

, Ez

, Bz

E		vB
z						y
					2		,
	1		v		2
			v
			c		2
					2

			v

Bz		c2 E y
								.

		1		v2
		1		c2
				c2

237

Две из этих формул (Ey и Bz при

B z

0

) мы вывели в ПРЕДЫДУЩЕМ РАЗДЕЛЕ. Другие

формулы выводятся похожим образом. В векторной форме преобразования компонент электромагнитного поля записываются как

E

Можно показать, что

E		vB							1			vE

								B
									c	2
							, B			2

					2								2
	1		v		2				1		v		2
			v								v
			c		2						c		2
					2								2

		E		2		inv ,		BE inv .
B	2	E
	2
		c		2
				2

.

3.12.5. Силовая характеристика электромагнитного поля как 4-тензор

Тензор электромагнитного поля:

0

E

x

E

y

E

z

E

0

cB

x

z

y

E

y

cB

z

0

cB

x

cB

0

E

z

y

x

3.12.6. Обзор: Постоянное электрическое и магнитное поле

В ТАБЛИЦЕ 29.2 используются те же обозначения, что при изучении соответствующих тем в настоящей главе.

Таблица 29.2

Величина/закон

Электрическое поле

Магнитное поле

Характеристика

Электрический заряд q

Сила тока I

источника

Плотность

Объёмная плотность заряда

Плотность тока

характеристики

ρ

dq

j

dI

n

источника

dV

dS

Основная

Напряжённость

Магнитная индукция

силовая

E

F

F q

vB

,

B

F

1

2max

характеристика

q

2 0

q v

0

Принцип

E Ei

,

E dE

B Bi

,

B dB

суперпозиции

Силовая

Напряжённость поля точечного

Закон Био-Савара-Лапласа

характеристика

заряда (закон Кулона)

точечного

μ

qr

dB

dl,r

источника

E

0

I

4π

r3

4πε0r

3

в вакууме

Материал: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр)

Смотрите также: