Документ: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр), страницы 259-263

243

q q0

0

t

–q

а

I

q0ω0

0

t

–q0ω0

б

Рис. 30.2

3.13.2. Свободные затухающие колебания

Пусть теперь электрическое сопротивление цепи отлично от нуля (см. схему на РИС. 30.3, содержащую элемент R).

L

Обобщённый закон Ома для участка цепи 12:

φ1 φ2

Es IR .

R

I

(30.7)

Подставим в это уравнение выражения (30.2) и (30.3):

1

2

q

L

dI

IR .

C

dt

Рис. 30.3

Учитывая, что I

dq , запишем это уравнение как

dt

2

R dq

q

d q

0 ;

dt

2

L dt

LC

обозначим

1

ω2

,

R

2β , где β – коэффициент затухания; получим уравнение

LC

L

0

(16.7)

244

2			dq
d q		2β		2
	2			ω q 0	(30.8)
dt			dt	0

– дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний (см. 1.14.3). Это однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными ко-

эффициентами. Его характеристическое уравнение

2	2
λ	2βλ ω
	0

Корни этого уравнения

λ1,2 β β2

0.

ω02 .

(30.9)

Эти корни могут быть как действительными, так и комплексными. Общее решение дифференциального уравнения (30.8)

q t A1e

λ t

A2e

λ t

,

1

2

A1 и A2 – постоянные интегрирования.

1. Сильное затухание (β ≥ ω0)

Корни характеристического уравнения (30.9)

–

q

действительные. Общее решение дифференци-

ального уравнения (30.8)

q0

0

2

t

β

2

t

q t A e

β β

ω

A e

β

ω

1

2

– апериодическое решение (разрядка конденсато-

ра). График этого решения представлен на

РИС. 30.4 (q0 – заряд конденсатора при t = 0). 0 t

2. Слабое затухание (β < ω0)	Рис. 30.4

Корни характеристического уравнения (30.9) – комплексные. дифференциального уравнения (30.8)

β i

2

β

2

t

β i

2

β

2

t

2

ω

βt

i

t

i

q t A e

0

A e

0

e

A e

ω

β

A e

0

1

2

1

2

Обозначим

Общее решение

2	2	t
ω	β	t	.
0			.
0

ωω02 β2

–циклическая частота свободных затухающих колебаний. Общее решение удобно представить в виде

q t A e βt cos ωt φ	,	(30.10)
0

где A0 и φ – постоянные интегрирования, значения которых определяются из начальных условий.

Период затухающих колебаний

T	2π		2π	.
T				.
	ω	ω02 β2

Амплитуда затухающих колебаний

A t A0e βt ;

245

затухающие колебания можно рассматривать как гармонические колебания с переменной амплитудой:

q

График функции (30.10) при φ = 0 q

t Acos ωt φ .

показан на РИС. 30.5.

0

T

t

Рис. 30.5

Зависимость тока в цепи от времени

I t

dq

A e

βt

βcos ωt φ ωsin ωt φ

A e

βt

β

2

ω

dt

0

β

cos ωt

φ

ω

sin ωt

βt

φ

A e

β

2

ω sin ωt φ θ ;

β

2

ω

β

2

ω

0

2

sin θ

cos θ

β

tgθ

.

ω

Ток отстаёт от напряжения по фазе на π θ .

2

Введём ещё некоторые характеристики затухающих колебаний.

Логарифмический декремент затухания

δ ln

A t

.

A t T

Выразим логарифмический декремент через другие характеристики колебаний:

δ ln	A e		βt			βT	2πβ
	A e						2πβ	.
		0						.
		0
	A e	βt		e	βT		ω
	A e			e			ω
	0

Время релаксации – время, за которое амплитуда затухающих колебаний уменьшается в e раз:

246

t

A e

βt

A

e

e βτ 1

A t τ

0

βτ

,

A e

βt

e

βτ

0

τ

1

.

β

Число колебаний за время релаксации, т. е. число колебаний, за которое их ам-

плитуда уменьшается в e раз,

Ne	τ	1	1	.
	T	βT	δ

Отсюда ясен физический смысл логарифмического декремента затухания. Добротность колебательного контура

	Q	π
		δ

Эта величина пропорциональна уменьшается в e раз.

Энергия затухающих колебаний

π	πN	πω	ω

βT	e	2πβ	2β

числу колебаний,

.

за которое их амплитуда

В колебательной системе с затуханием происходит диссипация энергии. Так как электрическое сопротивление цепи отлично от нуля, энергия электромагнитного поля переходит во внутреннюю энергию проводников.

Энергия колебаний пропорциональна квадратам амплитуд всех колеблющихся

величин:

W

~q2 m

~ I2 m

~U2 m

~e	2βt

.

Относительное уменьшение энергии за период

W		W
W
W

При малом затухании (δ << 1)

	t W t
	W t
	W	2δ
	W

T	1	e
		2βT

. Тогда

1 e	2δ

.

	Q	2π
	Q	W
		W
		W

2πW

W

.

Чем выше добротность колебательной системы, тем медленнее убывает энергия колебаний.

3.13.3. Вынужденные колебания

1 C 2 L

R

~

E

Рис. 30.6

Теперь включим в колебательный контур источник с переменной ЭДС (РИС. 30.6), изменяющейся по гармоническому закону:

E U cosΩt
0
– вынуждающей ЭДС.
Обобщённый закон ома для участка 12:
φ1 φ2 E Es IR .	(30.11)
Подставив сюда (30.2) и (30.3), получим

247

с учётом I

Обозначим,

мет вид

dq dt

как и ПРЕЖДЕ,

q	U0 cosΩt L	dI	IR ;
C		dt

2

dq

q

L

d q

R

U

cosΩt

,

dt

2

dt

C

0

d2q

R dq

q

U0

cosΩt .

dt2

LC

L dt

L

1

2

,

R

2β , а также

U0

LC

ω0

L

2

dq

d q

2β

2

ω q F cosΩt

dt

0

F0

. Уравнение (30.11) при-

(30.12)

– дифференциальное уравнение вынужденных гармонических колебаний. Это неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Далее рассматриваем случай СЛАБОГО ЗАТУХАНИЯ.
Общее решение дифференциального уравнения (30.12):
q t A e βt cos ωt φ q cos Ωt φ			.	(30.13)
0	0	0

общее решение ОДУ частное решение НДУ

Общее решение однородного дифференциального уравнения [(30.8) или (30.12) без правой части] быстро затухает, далее мы его учитывать не будем. Найдём коэффициенты q0 и φ0 в частном решении неоднородного уравнения [и убедимся в том, что это решение действительно имеет вид второго слагаемого в выражении

(30.13)].

Подставим в (30.12):

q t q0 cos Ωt φ0			,
I t	dq	Ωq0 sin Ωt φ0 ,
I t	dt	Ωq0 sin Ωt φ0 ,
	dt
d2q	Ω2q cos Ωt φ ;
dt2		0	0

получим

Ω2q0 cos Ωt φ0 2βΩq0 sin Ωt φ0 ω02q0 cos Ωt φ0 F0 cosΩt .

Преобразуем левую часть этого равенства:

Материал: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр)

Смотрите также: