Документ: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр), страницы 253-258

238

Величина/закон

Электрическое поле

Теорема о циркуляции

E

:

Edl 0

,

rotE 0

Теорема

L

Остроградского-

Теорема Остроградского-

Гаусса, теорема о

циркуляции

Гаусса для E

:

q

,

divE

ρ

EdS

S

ε

0

Потенциал

Энергетическая

A

φ

характеристика

12

q

0

2

Связь между

E φ

,

φ

Edl

энергетической и

12

1

силовой

φ

ρ

характеристиками

2

ε

0

Момент

Дипольный момент

p

ql

e

Момент силы

M

p

,E

e

Энергия

Энергия диполя

W p E

e

Силовая

Поляризованность

e

характеристика

P

p

поля в веществе

V

Вспомогательная

Электрическое смещение

силовая

D ε E P

характеристика

0

Таблица 29.2 (продолжение)

Магнитное поле

Теорема ОстроградскогоГаусса для B :

	BdS 0 ,		divB 0
	S
Теорема о циркуляции B :
		0			0
	Bdl	μ I	L	, rot B	μ	j
			L
L
Векторный потенциал					A	:

BA

Магнитный поток69

Φ BdS S

A μ	j
2
0

Магнитный момент

p	ISn
m

M pm ,B

Энергия контура с током

W pm B

Намагниченность

		m
	J	p
	J	V
		V

Напряжённость

H	B	J
H	μ	J
	μ
	0

69 Эта величина не является энергетической характеристикой магнитного поля. Она приведена в этой ячейке ТАБЛ. 29.2, так как занимает в некоторых формулах, относящимся к проводникам с током, место, аналогичное тому, что занимает потенциал (разность потенциалов) или заряд в формулах, описывающих заряженные проводники.

239

Величина/закон

Теорема ОстроградскогоГаусса, теорема о циркуляции поля в веществе

Характеристика

вещества

Связь силовых характеристик для изотропной среды

Условия на границе раздела двух сред

Работа поля

Характеристика

проводника

Характеристика двух проводников

Энергия

проводника

Таблица 29.2 (продолжение)

Электрическое поле

Магнитное поле

Теорема Остроградского-

Теорема о циркуляции J :

Гаусса для

P :

Jdl i

rot J jмикро

S

,

PdS

q

, divP ρ

L

S

L

Теорема Остроградского-

Теорема о циркуляции H :

Гаусса для

D :

Hdl I

rot H jмакро

DdS

q

, divD ρ

L

,

S

L

S

Диэлектрическая

Магнитная

восприимчивость æ

восприимчивость χ

Относительная

диэлектрическая

магнитная

проницаемость

ε 1 æ

μ 1 χ

P ε æE

J χH

0

D ε εE

B μ μH

0

D

B

2n

1n

2n

1n

E

ε

H

μ

2n

1

2n

1

E

1n

ε

H

1n

μ

2

E

2τ

E

1τ

H

2τ

1τ

D

ε

B

μ

2τ

2

2τ

2

D

ε

B

μ

1τ

1

1τ

1

Работа электростатического

Работа магнитного

поля

по

перемещению

проводника

с

поля по перемещению заряда

током

A

q φ φ

A12 I Φ2 Φ1

12

2

1

Ёмкость

Индуктивность

C

q

L

Φ

φ

I

Взаимная ёмкость

Взаимная индуктивность

C

q

Φ12

12

φ

M12

I1

2

1

Энергия заряженного

Энергия проводника с током

конденсатора

LI2

Φ2

2

ΦI

W CU

QU

Q

W

2

2L

2

2C

Величина/закон

Объёмная

плотность энергии поля

Объёмная

плотность энергии поля в изотропной среде

240

Электрическое поле

w		DE
w		2
		2
w	ε εE		2
	ε εE
		0
		0
		2

Таблица 29.2 (продолжение)

Магнитное поле

w		BH
w		2
		2
w		B	2
		B
	2μ μ
	2μ μ
		0

241

Лекция 30

3.13. Электромагнитные колебания

В электрической цепи, содержащей конденсатор и катушку индуктивности (или проводники, обладающие отличными от нуля ёмкостью и индуктивностью) – колебательном контуре – могут возникать электромагнитные колебания. Если сообщить конденсатору заряд и замкнуть цепь, то конденсатор будет разряжаться через катушку. По катушке будет идти переменный ток, который по закону электромагнитной индукции будет создавать в катушке индуцированное электрическое поле, препятствующее изменению тока. Конденсатор будет разряжаться и перезаряжаться, а ток в цепи расти, убывать и менять направление: заряд конденсатора и ток в цепи будут изменяться периодически, т. е. будут происхо-

дить электромагнитные колебания.

3.13.1. Свободные незатухающие колебания (R = 0)

Схема электрической цепи, в которой происходят свободные незатухающие электромагнитные колебания, представлена на РИС. 30.1. Так как сопротивление цепи равно нулю, ток будет изменяться по модулю и направлению, а конденсатор перезаряжаться неограниченно долго – возникнут свободные незатухающие электромагнитные колебания.

L
1	2	I
1	2
C

Обобщённый закон Ома для контура 12 (1 и 2 – обкладки конденсатора)

φ1 φ2 Es 0

,

(30.1)

Es – ЭДС самоиндукции – единственная ЭДС в этой цепи. Разность потенциалов между обкладками конденсатора

Рис. 30.1

φ φ U		q
φ φ U
1	2	C
		C

;

(30.2)

по закону электромагнитной индукции
Es L	dI	.	(30.3)
Es L	dt	.	(30.3)
	dt

По определению силы тока	I	dq	. Подставив это выражение, а также (30.2) и
По определению силы тока	I	dt	. Подставив это выражение, а также (30.2) и
		dt
(30.3) в уравнение (30.1):
				q		2
				q	L	d q		0	,
				C	L	dt	2	0	,
							2

d2q q 0 . dt2 LC

Это дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний (см. 1.14.2).

Обозначив

2		1
ω
0		LC
		LC

, запишем его в стандартном виде (16.1)

d2q ω2q 0 . dt2 0

Общее решение этого уравнения

242

q t Acos ω t φ	,
0

(30.4)

A и φ – постоянные интегрирования, которые находятся из начальных условий.

Собственная циклическая частота колебательного контура

ω	1	;

0	LC

период свободных незатухающих электромагнитных колебаний

T 2π		2π		.
T 2π		2π	LC	.
0	ω0
	ω0

Зависимость тока от времени
I t	dq	Aω0 sin ω0t φ .
I t	dt	Aω0 sin ω0t φ .
	dt

(30.5)

Пусть в начальный момент времени заряд конденсатора равен q0, а тока в цепи нет. Подставим начальные условия в общее решение (30.4) и формулу (30.5):

q 0 q
0
I 0 0
I 0 0

q			Acosφ
	0
		Aω sinφ
0
			0

q		A,
	0
	φ	0;

q t q cosω t,
	0	0

I t qω sinω t.
	0	0

Напряжение на конденсаторе

	U t	q t
	U t	C
		C

q0 C

cosω0t

.

Графики зависимостей q(t) и I(t) при указанных начальных условиях показаны на РИС. 30.2А, Б. Видно, что ток опережает заряд конденсатора (и напряжение на кон-

денсаторе) по фазе на

π 2

.

Энергия электромагнитного поля в колебательном контуре (энергия колебательного контура) складывается из энергии электрического поля конденсатора и энергии магнитного поля катушки:

	2	LI	2	2	LI	2
W	q	LI		q	LI
W				m		m
				m		m
	2C	2		2C	2

const

,

(30.6)

где qm, Im – соответственно амплитуды заряда конденсатора и тока в цепи. Студенты доказывают утверждение (30.6) самостоятельно.

Материал: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр)

Смотрите также: