Документ: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр), страницы 314-319

296

λ	h		h					6,6 10				34
	h		h					6,6 10
	p	2em U					10	31	1,6 10				19	1,5
	p	2em U			2 9,1		10		1,6 10					1,5	10
															2
				e
				6,6 10		34		10		10	м 1 Å .
				6,6 10						10
		10	24	2	9,1 1,6 1,5
			24

Период кристаллической решётки твёрдого тела – порядка 1 Å. Можно наблюдать дифракционную картину при рассеянии электронов на кристаллической решётке. Условие дифракционных максимумов

2dsinθ mλ sin

здесь θ – угол дифракции, d – период решётки,

θ

m –

	mλ	,
	2d	,
	2d

целое число.

Если пускать электроны по одному, то распределение точек на детекторе (фотопластинке) будет случайным.

5.3. Соотношение неопределённостей Гейзенберга

В квантовой физике теряет смысл понятие траектории, координаты, скорости, ускорения частицы. Приходится говорить о плотности вероятности нахождения частицы в данной области пространства. Корректность использования классических физических величины определяется соотношениями неопределённостей Гейзенберга.

Нельзя одновременно с произвольной точность определить координату и соответствующую ей проекцию импульса частицы. Между неопределённостями этих величин должны выполнятся соотношения

x	px		,

		2
		2

	py
y			,	(37.4)
y		2	,	(37.4)
		2
z	pz

		2
		2

(здесь x – неопределённость координаты x и т. п.)

Величины, которые связаны между собой подобными соотношениями, называются канонически сопряжёнными; например, энергия W и время t:

W

t

2

.

Соотношения неопределённостей являются оценочными.

ПРИМЕР

Пролёт микрочастицы через щель (дифракция электрона на щели)

Попытаемся определить координату свободно летящей микрочастицы. Для этого поставим на её пути ширму с щелью шириной x (РИС. 37.4). До прохождения частицы через щель px = 0, px = 0, зато координата x совершенно не определена. В момент прохождения частицы через щель ситуация изменяется:

px psinφ ,

xsinφ λ

– условие первого минимума при дифракции на щели (см. 4.2.2), поэтому

			297
sinφ	λ	,	px p	λ	h	λ	,	px	x h.
	x			x	λ	x

x

φ

x

Рис. 37.4

центральный максимум

298

Лекция 38

5.4. Квантовомеханическое описание движения частицы

5.4.1. Волновая функция

Волновая функция Ψ r

,t

описывает состояние частицы. Волновая функция мо-

жет быть как действительной, так и комплексной. Физический смысл имеет квадрат модуля волновой функции:

Ψ2 dVdP

– квадрат модуля волновой функции равен плотности вероятности обнаружения частицы в данной области пространства.

Свойства волновой функции

1.Однозначность и непрерывность при любых x, y, z, t

2.Непрерывность производных

3.Интегрируемость при любых

4.Условие нормировки:

Ψx

x, y,

, Ψy , z, t

Ψz

при любых x, y, z, t

	2
Ψ x, y,z	2	dxdydz 1
Ψ x, y,z		dxdydz 1

(обнаружение частицы во всём пространстве – достоверное событие, его вероятность равна единице.)

5.4.2. Изображение физических величин операторами

В квантовой механике каждой физической величине сопоставляется оператор – правило, посредством которого одна функция сопоставляется другой:

	f Qφ .
Уравнение для собственных функций и собственных значений оператора Q :

	Qφ qφ	.
		.

Множеству собственных значений (q1, q2, …, qn) соответствует множество собственных функций (φ1, φ2, …, φn).

При измерении физической величины q, представляемой оператором

Q

, могут

получаться только результаты, совпадающие с собственными значениями этого оператора.

Среднее значение q:

q Ψ*QΨdV ,

здесь Ψ* – комплексно сопряжённая функция к функции Ψ; dV = dxdydz, интегрирование ведётся по объёму.

299

Важнейшие операторы физических величин

1.Оператор координаты

xψ x,

x x ; y,z xψ x,

y,z

73.

2.Оператор импульса

px i x ,

здесь i – мнимая единица.

3.Оператор момента импульса

p	y	i
	y

p i

Lr

y

,

	p		;
	p		;

, pz i z ;


		i
		i

L		x

	i
	i
		x
		x

L	i	y		z
			z		y
x

	j
	y
i
i		y
		y
	i
	i	z


	k
	k

	z

i
i

		z
	y
y	y		z
y			z

;

 

и т. д.

4.Оператор кинетической энергии

2

1

x

y

z

2

T

p

2

2m

p

2m

здесь

2

– оператор Лапласа, m – масса частицы.

5.Оператор полной энергии – гамильтониан

,

H T U x, y,z,t ,

U x, y,z,t – силовая функция – описывает действие других объектов на частицу.

5.4.3. Возможность одновременного измерения двух величин

Пусть имеются два оператора A и B . Коммутатор операторов A и B

A,B AB BA.

Операторы A и B коммутируют, если

A,B 0 ,

т. е. AB BA.

73 Волновую функцию, зависящую от времени, мы обозначаем Ψ, а её стационарную часть (см. 5.4.5), не зависящую явно от времени, – ψ = ψ(x, y, z).

300

Если операторы не коммутируют, т. е.


	A,B

0

, то величины a и b одновременно

не измеримы. (Для этих величин можно записать соотношение неопределённостей.)

ПРИМЕРЫ

1) Измеримы ли одновременно координата и соответствующая проекция импульса?

Найдём коммутатор операторов x

и p

x

; для простоты воздействуем этими опера-

торами на функцию Ψ:

	x
x	p ψ	x	i	ψ	i
x	p ψ	x	i	x	i
				x

x

ψx

;

x				i
p		xψ		i
x			x
xp	p x				ψ

x

i

xψ ψ

i	ψ i
xp p x
x	x

xψx

i

;

0

.

Координата и соответствующая проекция импульса одновременно не измеримы, что подтверждается соотношениями неопределённостей (37.4).

2) Измеримы ли одновременно py и x?

Действуем аналогично тому, как В ПРЕДЫДУЩЕМ ПРИМЕРЕ:

	x
y	p ψ
			x
		p

y		i		ψ

				x
yψ i y
		x			0
	p		, y

	i
	ψ	;
	x

.

y

ψx

;

Координата y и проекция импульса на ось x одновременно измеримы.

Дополнительное задание	Lx ,Ly 0
Доказать, что проекции момента импульса не коммутируют:	Lx ,Ly 0	, а также

что каждая из проекций момента импульса коммутирует с квадратом момента

2	0 .
импульса: Lx ,L

5.4.4. Квантование физических величин

Если физическая величина принимает дискретный ряд значений, т. е. собственные значения соответствующего оператора дискретны, то говорят, что данная величина квантуется.

ПРИМЕР

Квантование момента импульса

Уравнение для собственных значений оператора квадрата момента импульса

L2ψ L2ψ.

301

Решение этого уравнение трудное, поэтому приведём только результат ственные значения оператора квадрата момента импульса

L		l l 1
2	2		,
			,

l = 0, 1, 2, …

- соб-

(38.1)

Уравнение для собственных значений оператора проекции момента импульса

Lzψ

.

Это уравнение мы решим – найдём собственные значения и собственные функции. В сферических координатах оператор проекции момента импульса записывается как

Lz i		.
	φ

Уравнение для собственных функций и собственных значений

i	ψ	Lzψ .
	φ

Будем искать решение этого уравнения в форме

(38.2)

Подставим эту функцию в уравнение

i	αe	αφ
i	αe
Отсюда
	α		L
	α		z
			z
			i

ψ e			αφ	.

(38.2):
Lze		αφ	Lz

	iL		,	ψ
		z

i
	iL
	z
e	φ
e

α .

.

Функция ψ должна быть однозначной. Для этого необходимо

ψ φ 2π ψ φ

m – целое; Lz m

,

Lz

m

,

(38.3)

m = 0, ±1, ±2, … Так как проекция вектора не может быть больше его модуля,

m

2l l 1

m = 0, ±1, ±2, …, ±l.

5.4.5. Уравнение Шрёдингера

Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики:

	2	ΔΨ UΨ i		Ψ
				Ψ	(38.4)
	2m			t	(38.4)
	2m			t
или

		HΨ i	Ψ
		HΨ i	t
			t

– временнόе уравнение Шрёдингера.

Уравнение Шрёдингера не выводится из других соотношений, оно постулируется.

Материал: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр)

Смотрите также: