Документ: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр), страницы 325-330

307

5.5.4. Гармонический осциллятор

Гармонический осциллятор – частица, совершающая одномерное движение под действием квазиупругой силы Fx = –kx. При этом потенциальная энергия силового поля

U	kx	2
		.
	2

График U(x) представлен на РИС. 39.3. Собственная частота осциллятора

	2	2
U	mω x	.
U	2	.
	2

Стационарное уравнение Шрёдингера:

	ω	k
	ω	m
		m

;


2	ψ		2m
d	ψ		2m
dx		2	2	W
dx

	2	2
	mω x
	2
	2

	ψ
	ψ

0

,

здесь W – полная энергия осциллятора. Это уравнение имеет точное аналитическое решение. Собственные функции слишком сложны, чтобы их здесь приводить.

Собственные значения энергии гармонического осциллятора

	1	ω , n 0,1,2,
Wn n	2

Энергия гармонического осциллятора квантуется, Уровни энергии эквидистантны, т. е. отстоят друг от друга на одинаковую величину

W ω hν .

Минимально возможная энергия гармонического ос-

циллятора – нулевая энергия

W	ω	.

0	2

Таким образом, доказана гипотеза Планка о том, что осциллятор излучает порциями – квантами.

5.6. Атом водорода

5.6.1. Модель атома Резерфорда-Бора

U

W2

W1

W0

0 x

Рис. 39.3

Атом состоит из положительно заряженного ядра, окружённого облаком электронов74. (С классической точки зрения это невозможно – электрон упал бы на ядро!)

Для атома водорода (РИС. 39.4) масса протона mp намного больше массы электрона me:

mp

1836me

,

поэтому ядро можно считать неподвижным.

74 По полуклассической теории Бора электроны вращаются вокруг ядра по орбитам. По квантовомеханическим представлениям же об орбитах говорить бессмысленно.

308

U
0	r

mp	r
W0	r
p		me

Рис. 39.4

Рис. 39.5

Потенциал электростатического поля ядра

	φ	Ze
	φ	4πε r
		4πε r
		0

,

где Z – заряд ядра (число протонов в ядре), r – расстояние от ядра до электрона. Потенциальная энергия электрона в этом поле

	Ze	2
U	Ze
U	4πε r
	4πε r
		0

.

График зависимости U (r) представлен на РИС. 39.5.

Для атома водорода Z = 1. При Z ≠ 1 система, состоящая из ядра и одного электро-

на, – водородоподобный ион.

5.6.2. Уравнение Шрёдингера для стационарных состояний и его решение

Стационарное уравнение Шрёдингера

ψ	2m
ψ	2	W

		Ze	2
		Ze
		4πε r
		4πε r
			0

	ψ
	ψ

0

,

где m – масса электрона (данное обозначение используется в этом и следующем разделах).

Так как поле – центральное, перейдём к сферической системе координат. Стационарное уравнение Шрёдингера запишется в виде

1

2

ψ

1

ψ

1 2ψ

2m

Ze2

r

sinθ

W

ψ 0 . (39.5)

r

2

r

2

r

2

r

sinθ θ

θ

sinθ φ

4πε0r

Предположим, что существует такое симметричное состояние, в котором ψ = ψ1(r), с энергией W1. Тогда

2	ψ
d	ψ
		1
dr		2
dr

2 dψ1 r dr

2m		Ze	2
	W			ψ
2
	1	4πε r		1

			0

0

.

(39.6)

r

Будем искать решение этого уравнения в виде ψ1 Ce r0 . Производные этой функции

309

dψ

C

r

ψ

2

ψ

C

r

e

r

,

d

e

r

1

0

1

0

dr

r

dr

2

r

2

0

Подставим эти выражения в уравнение (39.6):

ψ1

r02

.

		ψ			2 ψ				2m				W			Ze	2			0
		ψ			2 ψ				2m							Ze			ψ
			1			1					2								ψ
			1			1
		r	2		r	r							1		4πε r				1
		r			r	r									4πε r
		0				0											0
											2
(ψ1 ≠ 0). Домножив это уравнение на										2m			, получим
										2m
2		W						2	2				Ze	2		1			2		Ze	2
								2					Ze								Ze		.
	2mr02						2mr0r					4πε0r											.
	2mr02			1			2mr0r					4πε0r				r		mr0			4πε0

Это равенство должно выполняться при любых r, в правая часть этого равенства стремится к нулю, а, должна быть также равна нулю:

т. ч. при r → ∞. В таком случае следовательно, и левая часть

	2	W 0
	2	W 0
	2	1
	2mr
	0

	W	2
	W	2
	1	2
		2mr
		0

.

При r ≠ 0 должны выполняться равенства

	2			W 0,
	2
			2
	2mr		2		1
	2mr
		0
	2			Ze	2
	2				2	0.

mr				4πε
mr				4πε
	0				0

Из этой системы уравнений получим

	2		m	Ze	2	2
r	4πε0	, W	m	Ze			.
r		, W					.
0	Ze2m	1	2 2	4πε0

Численное значение

При Z = 1 W1 = 13,6 эВ; r0 = 0,529 Å – 1-ый боровский радиус.

Вероятность обнаружения электрона в тонком сферическом слое радиуса r и толщиной dr

2r

2

r

2

dP ψ1

4πr dr C e

0

4πr dr ;

2r

dP

C2 4πr2e r0 .

dr

График

этой

функции

изображён на

РИС. 39.6. Максимум плотности вероятности

обнаружения электрона имеет место при

0

r0

r

r = r0 (доказать самостоятельно).

Общее

решение уравнения

Шрёдингера

Рис..39..76

(39.5) можно представить в виде

ψ r,θ,φ R r Θ θ Φ φ .

310

Подставив эту функцию в уравнение (39.5), получим три уравнения, имеющих аналитические решения, которые достаточно сложны75.

75 Заметим, что в состоянии ψ1 азимутальное квантовое число l = 0 (см. РАЗДЕЛ 5.6.4), т. е. электрон не вращается.

311

Лекция 40

5.6.3. Энергетический спектр атома водорода

При W > 0 (электрон свободный) энергия электрона может принимать любые значения.

При W < 0 (когда электрон входит в состав атома) энергия электрона квантована:

W	m	Ze	2	2	1	, n 1,2,


n	2 2	4πε0			n2

(n ≠ 0!), n – главное квантовое число.

Энергетический спектр атома водорода дискретный. Дискретные значения энергии электрона показаны на графике потенциальной энергии (РИС. 40.1).

U

0

W3

W2

W1

Рис. 40.1

Основное состояние: n = 1.

r n = 3 n = 2

n = 1

При переходе системы из одного стационарного состояния в другое (при n1 > n2) должен выполняться закон сохранения энергии:

W	W	ω	,
n	n		,
2	1

где ħω – энергия фотона, излучаемого при переходе электрона из состояния с n1 в состояние с n2;

ω	m	Ze	2	2		1	1
								.
	2					2	2
	2	4πε0			n1		n2

При переходе на более высокий энергетический уровень (при n2 > n1) происходит поглощение энергии.

Постоянная Ридберга

R*	m	e	2	2
					,
	2 3
		4πε0

R* = 2,07∙1016 с–1.

n Название серии

n1 = 1 Серия Лаймана

312

							Таблица 40.1
Диапазон						Энергетическая диаграмма
					0			n → ∞
					0			n → ∞
								n = 4
								n = 4
								n = 3
								n = 3
		УФ						n = 2
								n = 2

ω R	*		1	1
ω R			2	2

			1	n
				2
n 2,3,4,
2

n1 = 2 Серия Бальмера

0

Видимый свет

ω R	*	1	1	,
ω R				,

		2	2
		2	n
			2
n 3,4,5,
2

n = 1

n → ∞ n = 4

n = 3 n = 2

n1 = 3 Серия Пашена

ωR* n2

0

ИК

1	1	,
2	2	,
3	n
	2

4,5,6,

n = 1

n → ∞

n = 4 n = 3

n = 2

n = 1

Материал: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр)

Смотрите также: