Документ: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр), страницы 320-324

302

Если силовое поле стационарно – U ≠ U(t), то решение уравнения Шрёдингера разделяется на два множителя:

Ψ x, y,z,t ψ x, y,z e	i	W	t
				,	(38.5)

где W – полная энергия частицы. Подставим (38.5) в уравнение Шрёдингера

(38.4):

2		i	W	t
	e	i		t
2m	e
2m

ψ U x, y,z ψe	i	W	t	i

Hψ Wψ

	iW	i	W	t
	iW	i		t	,
ψ	e				,

(38.6)

– уравнение Шрёдингера для стационарных состояний (стационарное уравнение Шрёдингера).

Это уравнение мы будем чаще писать в другом виде:

ψ	2m	W
	2

U ψ 0

.

(38.7)

5.5. Некоторые квантовомеханические задачи

5.5.1. Свободная частица с энергией W

Рассмотрим одномерное движение. Лапласиан имеет вид

ция U = 0. Уравнение Шрёдингера:


2	ψ		2m
d	ψ		2m	Wψ 0 .
dx		2	2	Wψ 0 .
		2	2

Будем искать решение в виде ψ = Aeikx, где k – неизвестная ные волновой функции

dψ

2

ψ

2

ikx

d

ikx

2

ikAe

ikψ

,

ik

Ae

ψ

dx

2

k

Подставим эти производные в уравнение (38.8):

2

ψ

2m

Wψ 0

;

k

2

k

2

2mW

k

2mW

;

2

d	2
			; силовая функ-
dx		2

(38.8)

константа. Производ-

.

ψ Ae	i	2mW	x

,

A – постоянная нормировки. Полная волновая функция

Ψ x,t Ae	i	Wt		x	.
			2mW

Действительная часть этой функции

Re Ψ x,t	Acos Wt		x
		2mW

– уравнение бегущей волны. Вероятность обнаружения частицы

303

Ψ	2	A

везде одинакова.

5.5.2. Частица в одномерной потенциальной яме бесконечной глубины

Потенциальная яма – область простран-			U
ства, в которой находится минимум по-			U
ства, в которой находится минимум по-
тенциальной энергии частицы. В данной
задаче	рассматривается	потенциальная
яма бесконечной глубины,		т. е. в области	I
длиной	l потенциальная	энергия мини-	UI → ∞
мальна (равна нулю), а во всём остальном
пространстве она стремится к бесконеч-
ности. График потенциальной энергии			0
приведён на РИС. 38.1.			0

В областях I и III, где потенциальная энергия бесконечно велика, вероятность обнаружения частицы должна быть равна нулю, т. е.

			ψ 0,
				I
				ψ		0.
				ψ		0.
				III
Уравнение Шрёдингера для области II
2	ψ			2m
d	ψ			2m			Wψ			0 .
		II					Wψ			0 .
		II
dx		2			2			II
dx
Введём обозначение
		k	2		2m			W	,
			2
							2
							2

тогда уравнение (38.9) примет вид

II	III
UII = 0	UIII → ∞

l x

Рис. 38.1

(38.9)

	2	ψ
	d	ψ
			II
	dx		2
	dx
Решение этого уравнения
ψ	x
II

k	ψ
2
	II
Acos kx

0

.

φ

.

Постоянные A и φ найдём из свойств волновой функции. Волновая функция должна быть непрерывна во всём пространстве, в том числе на стенках ямы:

ψ		0 0,	Acosφ 0 φ π
	II					2
		l 0				2
ψ		l 0			φ 0
	II
			Acos kl
			k πn , n = 1, 2, …
				l
Поэтому
			ψII		πn
			ψII	Asin	l	x .
					l

Энергия частицы

,

sinkl 0;

304

	2	k	2
W		k
W	2m
	2m

π2n2 l2

2 2m

, n = 1, 2, …

Видно, что энергия частицы имеет дискретный ряд значений, т. е. квантуется.

Условие нормировки:

l		x
	ψ	x
	II
	2
0
Итак,

Графики функций (38.10) и

ψII

l

πn

2

sin

2

x

dx 1

A

.

dx A

l

0

ψ

2

sin

πn

x

,

(38.10)

II

l

ψII

2

sin

2 πn

(38.11)

l

x .

(38.11) для n = 1 и 2 представлены на РИС. 38.2А, Б. n = 1

n = 1

n = 2

0	l x
	n =2
	0	l	x
	а	б
	Рис. 38.2

Интервал энергий между соседними уровнями

	π	2	2	2		π	2	2	2n 1
W	π			2	n	π
W				n 1	n
					2
	2ml		2			2ml		2
	2ml					2ml

при достаточно больших n.

Энергетическая диаграмма частицы в бесконечной потенциальной яме изображена на РИС. 38.3.

π2 2

ml2 n

W

n = 2

n = 1

0

l

x

Рис. 38.3

305

Лекция 39

5.5.3. Потенциальный барьер. Туннельный эффект

Потенциальный барьер – область пространства, в которой находится максимум потенциальной энергии частицы. Рассмотрим потенциальный барьер прямоугольной формы, шириной l и высотой U0 (РИС. 39.1).

	U							U
	U0							U0
	U0							U0
	I	II	III					I	II
	UI = 0	UII = U0	UIII = 0					UI = 0	UII = U0

0		l	x				0			x
		Рис. 39.1							Рис. 39.2
Рассмотрим сначала бесконечный барьер (l → ∞), см. РИС. 39.2:
				U	I	0,
					I
						U	.
				U	II	U	.
					II	0

Пусть на него налетает (из области I) частица массы m с энергией W < U0. Запишем стационарное уравнение Шрёдингера в виде (38.7). (Задача одномерная, поэтому

d	2
			.)
dx		2

Область I

d2ψ	2m	Wψ 0.
I		Wψ 0.
dx2	2	I

Обозначим

k2 2m2 W .

Область II

d2ψII 2m W U0 ψII 0 .

dx2 2

Обозначим

α2 2m2 U0 W .

Получим систему дифференциальных уравнений

ψ k2ψ 0,
	I	I
ψ α2ψ 0.
	II	II

Ищем решение каждого из этих уравнений в общем виде ψ = eλx. Тогда ψˊ = λeλx,

ψˊˊ = λ2eλx;

2

λ x

2 λ x

0,

λ e

I

k e

I

2

λ

x

2

λ x

0;

λ e

II

α e

II

2

k

2

0,

λ ik,

λ

I

2

α

2

0;

λ

α;

λ

II

ψ A eikx B e ikx

,

I

1

(39.1)

ψ A eαx B e αx .

II

2

Здесь i – мнимая единица, A1, B1, A2, B2 – постоянные.

306

Коэффициент A1 характеризует набегающую волну (налетающую частицу), B1 – отражённую волну (отлетающую от барьера частицу), A2 и B2 характеризуют вероятность нахождения частицы внутри барьера. Так как эта вероятность не может расти при погружении вглубь барьера, A2 = 0.

Найдём коэффициенты A2 и B1. Условие непрерывности волновой функции на границе барьера:

ψI 0 ψII 0 A1 B1 B2 .

(39.2)

Условие непрерывности производных волновой функции:

ψ 0 ψ 0

I II

ikA1 ikB1

αB2

.

(39.3)

Из (39.2) и (39.3) получим

B	2ik	A .	(39.4)
	ik α
2		1

Вероятность нахождения частицы в точке с координатой x = 0 определяется вы-

ражением	ψI 0	2	2	.Вероятность (плотность вероятности) нахождения частицы
			~ A1

внутри барьера на расстоянии x от его границы

ψ	x	2	B	e	αx
		2


II			2

	~e
2		2αx
		2αx

.

Теперь «обрежем» барьер на ширине x = l. Прозрачность (коэффициент прозрачности) барьера – вероятность прохождения барьера частицей:

ψ

l

D

II

2

.

ψ

0

2

I

Подставим сюда функции (39.1). С учётом (39.4) получим

B

2

e

2αl

2ik

2

2αl

4k

2

2αl

4W

D

e

2

ik α

k

2

α

2

U

A

1

4W 1. Тогда D ≈ e–2αl,

0

В большинстве реальных задач

U0

e	2αl

.

D e	2	2m U	W l

		0

.

Мы доказали, что даже имея энергию, меньшую, чем высота потенциального барьера, частица может преодолеть этот барьер. В этот состоит туннельный эф-

фект.

Численная оценка

Если U0 – W = 5 эВ, то при l = 1	Å	D = 1∙10–1;
l = 2	Å	D = 8∙10–5;
l = 5	Å	D = 5∙10–7.

Туннельный эффект широко применяется в технике. Большой ток при холодной эмиссии электронов объясняется в т. ч. туннельным эффектом.

Материал: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр)

Смотрите также: