Материал: конспект-лекций
56 |
|
wyx(t) = y(t) x*(t), |
|
wxy(t) = w*yx(t). |
|
Для вещественных сигналов: |
|
wxy(t) = wyx(t) = x(t) y(t). |
(2.2.8) |
С использованием выражений (2.2.7-2.2.8) интегрированием по соответствующим интерва-
лам вычисляются значения средней мощности взаимодействия сигналов на определенных интер-
валах Т и энергия взаимодействия сигналов.
2.3. ПРОСТРАНСТВА ФУНКЦИЙ [1,3,11,16,29].
Пространства функций можно считать обобщением пространства N-мерных сигналов – векторов на аналоговые сигналы, как бесконечномерные векторы, с некоторыми чисто практиче-
скими уточнениями.
Нормирование метрических параметров. Норма функций в пространстве L2[a, b] опреде-
ляется выражением:
||s(t)|| =
b |
2 |
|
|
s |
(t) dt |
||
|
|||
a |
|
|
.
Нетрудно заключить, что чем больше интервал [a, b] в этой формуле, тем больше (при про-
чих равных условиях) будет значение нормы. При анализе и сравнении сигналов (как аналоговых,
так и многомерных дискретных) такое понятие не всегда удобно, и вместо него очень часто ис-
пользуют понятие нормы, нормированной относительно длины интервала[a, b]. Для символьного обозначения нормирования будем применять знак :
||s(t)|| =
1 |
b |
2 |
|
|
s |
(t) dt |
|||
|
|
|||
b a |
|
|
||
|
a |
|
|
|
, ||sn|| = 
1 |
N |
sn |
|
|
|
N |
|
|
n 1 |
.
Метрика сигналов (расстояние между сигналами) при аналогичном нормировании:
(s(t), v(t)) =
1 |
b |
2 |
|
|
|||
|
[s(t)- v(t)] |
||
b a |
|
||
|
a |
|
|
dt
,
(sn, vn) =
1 |
N |
2 |
|
(sn - vn ) |
|||
|
|
||
N |
|
||
|
n 1 |
|
|
Эти выражения применяются для вычисления среднеквадратического расхождения сигна-
лов или среднеквадратической погрешности (стандартный индекс погрешности в абсолютных единицах измерений - ) выполнения какой-либо операции при сравнении ее результата с теоре-
тически ожидаемым или априорно известным.
Нормированное скалярное произведение сигналов:
s(t), v(t) = |
1 |
b |
|
||
|
b a |
|
|
|
a |
sn, vn =(1/N)
s(t)v(t) dt = ||s(t)|| ||v(t)|| cos .
N |
|
sn vn = ||sn|| |
||sn|| cos . |
n 1 |
|
Косинус угла (коэффициент корреляции) между сигналами (функциями) не изменяет своих
57
значений при вычислении как по нормированным, так и по ненормированным значениям скаляр-
ного произведения и нормы сигналов (значения нормировки в числителе и знаменателе выражения
(2.1.8) сокращаются). Взаимная перпендикулярность функций определяется аналогично взаимной
перпендикулярности векторов условием нулевого значения скалярного произведения.
Норма, метрика и скалярное произведение периодических функций обычно нормируются
на длину одного периода Т.
Ортогональные сигналы. Два сигнала называются ортогональными (orthogonal), если имеют нулевое скалярное произведение
|
|
b |
|
u(t), v(t) = |
u(t)v(t) dt = 0. |
||
|
|||
|
|
a |
Соответственно, два таких сигнала в своем функциональном пространстве являются взаим-
но перпендикулярными (угол между сигналами равен = 90о), полностью независимыми друг от друга (некоррелированными, r = cos 
, и имеют нулевую энергию взаимодействия (Euv = 0).
На рисунке 2.3.1 приведены примеры взаимно ортогональных сигналов. Нулевое скалярное произведение двух левых сигналов обеспечивается их формой (равна нулю сумма положительных и отрицательных значений произведения сигналов), а двух правых - взаимным расположением
(ненулевые значения сигналов не имеют общих координат).
Рис. 2.3.1. Ортогональные сигналы.
Попутно заметим, что энергия и мощность суммы ортогональных сигналов обладают свой-
ством аддитивности, т.к. имеют нулевое значение скалярного произведения и, соответственно, ну-
левую энергию взаимодействия.
Ортонормированный базис пространства. При распространении положений векторного базисного пространства на функциональное пространство L2[a, b], в качестве координатного бази-
са пространства мы должны использовать совокупность функций {u0(t), u1(t), u2(t), …}, в пределе -
бесконечную, которая должна быть системой ортогональных функций {uk(t), k=0, 1, 2, …}, т.е. все функции на этом отрезке должны быть взаимно ортогональны:
um(t), un(t) = ba um(t) un(t) dt = 0, |
m = 1, 2, ... ; n = 1, 2, ... ; m n. |
Система ортогональных функций на интервале [a, b] будет ортонормированной
(orthonormal functions), если все функции системы при m=n имеют единичную норму, т.е. выпол-
58
няются условия:
um(t), um(t)
= ||um(t)||2 =
ba
(um(t))2 dt = 1, ||um(t)|| = 1, m = 1, 2, ....
Эти условия можно записать в следующей обобщенной форме:
ba
um(t)·un*(t) dt =
m,n.
Система ортогональных функций всегда может быть превращена в ортонормированную путем нормировки, т.е. деления всех функций на их норму.
Разложение сигнала в ряд. Произвольный сигнал s(t) H (пространство Гильберта), за-
данный на интервале [a, b], может быть разложен в ряд по упорядоченной системе ортонормиро-
ванных базисных функций uk(t)
s(t) =
k 0
ckuk(t).
(2.3.2)
Для нахождения значений коэффициентов сk умножим обе части данного выражения на ба-
зисную функцию um(t) с произвольным номером m и проинтегрируем результаты по переменной t,
при этом получим
|
b |
|
|
|
s(t)um(t) dt = |
ck |
|||
|
||||
|
a |
k 0 |
||
|
|
|
||
С учетом ортонормированности функций ui(t), |
||||
|
|
|
b |
|
только один член суммы с номером m = k при |
ukuk |
|||
|
||||
|
|
|
a |
|
|
b |
|
umuk dt. |
||
|
||
|
a |
в правой части этого равенства остается dt =1, который, по левой части уравнения,
представляет собой скалярное произведение сигнала и соответствующего m = k базисного вектора,
т.е. проекцию сигнала на соответствующее базисное направление
ck =
ba
s(t)uk(t) dt.
(2.3.2)
Таким образом, в геометрической интерпретации коэффициенты сk представляют собой проекции вектор - сигнала s(t) на соответствующие базисные направления uk(t), т.е. координаты вектора s(t) по координатному базису, образованному системой ортогональных функций u(t), в
пределе - бесконечномерной. При практическом использовании количество членов ряда (2.3.2)
ограничивается определенным значением N, при этом для любого значения N совокупность коэф-
фициентов ck обеспечивают наименьшее по средней квадратической погрешности приближение к заданному сигналу.
Соответственно, энергия взаимодействия двух сигналов x(t) и y(t) может вычисляться по скалярному произведению их координатных проекций, которое, с учетом взаимной ортогонально-
сти всех проекций, будет равно:
|
b x(t)y(t) dt = |
b [ |
|
|
|
|
x(t), y(t) = |
anun(t)] [ |
bmum(t)] dt = |
an bn. |
(2.3.3) |
||
|
a |
a |
n 0 |
m 0 |
n 0 |
|
59
Косинус угла между векторами x(t) и y(t) с использованием выражения (2.3.3):
cos = an bn /(||x(t)|| ||y(t)||). n 0
Возможность разложения непрерывных сигналов и функций в обобщенные ряды по систе-
мам ортогональных функций имеет огромное принципиальное значение, так как позволяет вместо изучения несчетного множества точек сигнала ограничиться счетной системой коэффициентов ря-
да.
К системам базисных функций, которые используются при разложении сигналов, предъяв-
ляют следующие основные требования:
-для любого сигнала ряд разложения должен сходиться;
-при ограничении ряда по уровню остаточной погрешности расхождения с заданным сиг-
налом количество членов ряда должно быть минимальным;
-базисные функции должны иметь достаточно простую аналитическую форму;
-коэффициенты разложения в ряд должны вычисляться относительно просто.
Согласно теореме Дирехле, любой сигнал s(t), имеющий конечное число точек нарушения непрерывности первого рода, и конечный по энергии на интервале [a, b], может быть разложен по системе ортонормальных функций, если существуют интегралы модуля сигнала и модуля его пер-
вой производной, т.е.:
ba |s(t)| dt < , ba |s'(t)| dt < .
Ортонормированные системы функций хорошо известны в математике. Это полиномы
Эрмита, Лежандра, Чебышева, функции Бесселя, Лагерра и целый ряд других. Выбор типа функ-
ций в качестве координатного базиса сигнального пространства, как и координатных осей для обычного трехмерного пространства (декартовы, цилиндрические, сферические и пр.), определя-
ется удобством и простотой последующего использования при математической обработке сигна-
лов. При спектральном анализе сигналов используются, в основном, два вида ортонормированных
функций гармонические функции и функции Уолша. |
|
На интервале [- , ] рассмотрим систему следующих гармонических функций: |
|
{1, sin t, sin 2t, …, sin kt}, k = 1, 2, 3, … |
(2.3.4) |
Вычислим нормированные на интервал скалярные произведения системы: |
|
1, sin kt =(1/2
)
π π
sin kt dt = (1/2k ) [cos k - cos(-k |
k = 1, 2, 3, … |
sin mt, sin nt =(1/2
)
π π
sin mt sin nt dt =(1/4
)
π π
{cos (m+n)t – cos (m-n)t} dt =
= |
1 |
sin (m n)t π |
|
1 |
sin (m n)t π |
= 0, |
при m n. |
|
|
||||||
|
4π(m n) |
π |
|
4π(m n) |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, система (2.3.4) является системой взаимно ортогональных функций. Норма
60
функций:
||sin kt||2=(1/2 ) π sin2 kt dt= (1/4
π
) π (1-cos 2kt) dt=
π
1 |
π |
|
t |
4π |
π |
|
|
1 |
sin |
|
8 kπ |
|||
|
|
2kt ππ
=1/2.
|
||sin kt|| = 1/ |
2 , k = 1, 2, 3, … |
|
|
|
Соответственно, для превращения системы (2.3.4) в ортонормированную следует разделить |
|||
все функции системы на значение нормы (рис. 2.3.2): |
|
|
||
|
{1, uk(t) = |
2 sin kt}, k = 1, 2, 3, … |
(2.3.4') |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.3.2. Ортонормированный базис гармонических функций.
Аналогичным образом можно убедиться в ортонормированности косинусной системы гар-
монических функций:
|
|
|
|
|
|
{1, uk(t) = 2 cos kt}, k = 1, 2, 3, …, |
(2.3.5) |
||||
и объединенной синус-косинусной системы: |
|
|
|||
{1, uk(t) = |
2 sin kt, uk(t) = |
2 cos kt}, k = 1, 2, 3, … |
(2.3.6) |
||
Наибольшее распространение в качестве базисных функций частотного разложения нашли
комплексные экспоненциальные функции exp(pt) при p = jf (преобразование Фурье) и p = s+jf (преобразование Лапласа), от которых с использованием формул Эйлера
exp(j t) = cos( |
t) + j sin( |
t), |
exp(-j t) = cos( |
t) - j sin( |
t), |
cos( t) = [ехр(j |
t)+exp(-j |
t)]/2, |
sin( t) = [ехр(j |
t)-exp(-j |
t)]/2j |
всегда можно перейти к вещественным синус-косинусным функциям. Термин "частотное разло-
жение" обязан своим происхождением независимой переменной частотного представления сигна-
лов, которая измеряется в единицах, обратных единицам времени, т.е. в единицах частоты f = 1/|t|.
Однако понятие частотного преобразования не следует связывать только с временным представ-
лением сигналов, т.к. математический аппарат преобразования не зависит от физического смысла переменных. Так, например, при переменной "х", как единице длины, значение f будет представ-
лять собой пространственную частоту - число периодических изменений сигнала на единице дли-