Материал: конспект-лекций
151
мальность преобразований без потерь информации. Если исходный сигнал дискретизирован опти-
мально и представлен N отсчетами, то уменьшение количества отсчетов при преобразовании неизбежно приводит к определенным потерям информации.
Что касается увеличения числа отсчетов при преобразовании функций (уменьшение интер-
валов дискретизации), то оно всегда возможно, т.к. выходной сигнал преобразования финитных сигналов является непрерывной функцией и, в принципе, интервал дискретизации может быть установлен бесконечно малым. Однако увеличение числа отсчетов не увеличивает ни количества информации, заключенной в исходном сигнале, ни точности ее представления. По существу, такая операция полностью эквивалентна интерполяции исходного сигнала рядом Котельникова-
Шеннона. Пример такой операции приведен на рис. 7.2.11.
Отсчеты s(k t) и огибающая их кривая на ри-
сунке 7.2.11 повторяют (в более детальном масшта-
бе) сигнал s1(t) на рис. 7.2.3, дискретизированный с шагом t = 1. Как уже отмечалось, интервал дискре-
тизации данного сигнала оказался завышенным, и
спектр сигнала искажен (рис. 7.2.4). При выполнении операции s(k t) S(n f) количество точек дискретизации спектра S(n f) было увеличено в 5 раз по отношению к количеству точек сигнала s(k t), т.е. Nf = 5Nt. При обратном преобразовании
S(n f) z(k t), были выполнены условия (7.2.15-7.2.16), при этом шаг дискретизации сигнала при его восстановлении оказался также в 5 раз меньше исходного ( t = 0.2). Результат можно ви-
деть на рис. 7.2.11 (кривая z(k t)). Абсолютно такой же результат дает и интерполяция сигнала s(k t) рядом Котельникова-Шеннона с переводом на шаг t = 0.2. Искажение аналогового сигнала закладывается при его дискретизации, если шаг дискретизации не удовлетворяет условию (7.2.5),
и при любых дальнейших преобразованиях уже не может быть исправлено, т.к. информация о первоначальной форме аналогового сигнала при некорректной дискретизации утрачивается без-
возвратно.
Дискретизация усеченных сигналов. При выполнении условия (7.2.5) для сигналов с ограниченным спектром аналоговая форма сигнала может быть восстановлена по дискретным от-
счетам, если сигнал на интервале Т его задания является финитным или, по крайней мере,
настолько быстро затухающим, что отсчеты сигнала за пределами интервала Т практически равны нулю. Задача дискретизации усложняется для медленно затухающих сигналов, сигналов беско-
нечной длительности и сигналов со спектром, неограниченным по частоте. Последнее имеет ме-
сто, если в сигнале присутствуют разрывы и резкие скачки.
В общем случае, длительность сигнала и ширина его спектра не могут быть одновременно ограничены конечными интервалами. Если длительность сигнала ограничена и сигнал урезан в области не нулевых значений, то спектр сигнала неограничен и наоборот. Однако обработка ре-
152
альных сигналов возможна только с их ограничением, как по координатам, так и по ширине спек-
тра. При этом в качестве оценки корректности ограничения сигналов используется энергетический критерий, согласно которому длительность сигнала Т и практическую ширину спектра устанав-
ливают такими, чтобы в них была сосредоточена подавляющая часть энергии сигнала. Это дости-
гается при выполнении условий:
|
T |
|
|
|
|
|
0 |
|s(t)|2 dt = k |s(t)|2 dt, |
|||
|
|
)|2 d |
= k |
|
|S( )|2 d , |
|S( |
0 |
||||
|
0 |
|
|
|
|
(7.2.17)
(7.2.17')
где k- коэффициент представительности (качества) задания сигнала, значение которого, в зависи-
мости от целевых задач обработки сигналов, может устанавливаться от 0,9 до 0,99.
Допустим, что произвольный сигнал s(t) рассматривается в пределах конечного интервала
[0, Т] и принимается равным нулю за его пределами. Такой сигнал может быть получен умноже-
нием сигнала s(t) на прямоугольную весовую функцию ПT(t): sT(t) = s(t) ПT(t).
Для спектра ST(f) функции sT(f) соответственно имеем:
ST(f) = S(f) * Т sinc( fT). (7.2.18)
Спектр ST(f) неограничен, поскольку неограничен носитель функции sinc( fT). Отсюда следует, что частота дискретизации функции sT(t) в принципе должна быть бесконечно большой,
т.е. корректная дискретизация невозможна. На практике полагают, что спектр ST(f) также опреде-
лен в конечной области [- , ]:
S'T(f) = ST(f) П2 (f),
при этом вне этой области, по оценке Шеннона, для спектра ST(f) справедлива формула:
|ST(f)| 1/ Т, f (- , ). (7.2.19)
Но усеченная часть спектра определяет разность значений между исходной функцией sТ(t)
и функцией s'Т(t), восстановленной по усеченному спектру S'T(f), т.к. отсеченных гармоник спек-
тра будет недоставать для полного восстановления функции sT(f):
T(t) = sT(t) – s'T(t).
Соответственно, оценка дисперсии погрешности аппроксимации определяется выражени-
ем:
|
2T(t) 1/ Т, |
|
|
|
= |
1/ |
T . |
(7.2.20) |
Рис. 7.2.12. Вид функции по-
грешности аппроксимации
153
Эти выражения определяют порядок среднеквадратиче-
ской погрешности аппроксимации, которая является инте-
гральной по интервалу Т, а не локальной разностью значений sT(t)–s'T(t). Типичный вид погрешности аппроксимации усе-
ченных сигналов приведен на рис. 7.2.12. В точках дискрети-
зации погрешность равна нулю, максимальна на центрах ин-
тервалов дискретизации и нарастает при приближении к гра-
ницам интервала Т.
Физические данные обычно регистрируются по определенным интервалам Т и, как прави-
ло, не выходят на нулевые значения на границах интервалов. В этом случае ограничение ширины спектра можно проводить по (7.2.20) с учетом допустимой среднеквадратической погрешности
аппроксимации данных. Частота при усечении спектра может рассматриваться в качестве часто-
ты Найквиста для сигнала sT(t) при его дискретизации, что определяет частоту дискретизации не менее F = 2 и количество точек дискретизации не менее N=TF=2 T.
В силу тождественности свойств прямого и обратного преобразования Фурье аналогичная
методика может применяться и для оценки условий дискретизации спектров.
Таким образом, дискретизация усеченных сигналов возможна, однако при обработке усе-
ченных сигналов необходимо проявлять осторожность и контролировать как значение средне-
квадратической ошибки искажений, так и характер возникающих искажений сигнала и его спек-
тра. Так, например, при усечении функции автокорреляции в спектре мощности сигнала могут по-
явиться отрицательные значения, т.к. функция отсчетов sinc( fT) в (7.2.18) является знакопере-
менной. Другой пример - проектирование частотных полосовых фильтров. При задании переда-
точной функции фильтра H(f) в частотной области в виде П-образной функции H(f) = Пr(f) обрат-
ное преобразование Фурье дает импульсный отклик фильтра h(t) 
H(f) бесконечно большой длины. Усечение отклика hT(t) = h(t)ПT(t) вызывает изменение передаточной функции фильтра
(явление Гиббса): HT(f) = Пr(f) * ПT(f) 
Пr(f) Т sinc( fT), при этом по краям скачков П-функции появляются затухающие флюктуации с амплитудой первого выброса до 9% от значений коэффи-
циента передачи фильтра в полосе пропускания.
Так как частотный характер искажений, возникающих при усечении сигнала, определяется весовой функцией ПT(t) Т sinc( fT), то допустимый уровень и форму искажения сигнала можно устанавливать не только подбором интервала Т, но и применением других весовых функций. Так,
для исключения появления отрицательных значений в спектрах мощности усечение функций ав-
токорреляции целесообразно выполнять весовыми функциями, которые не имеют отрицательных значений в своих спектрах. Одной из таких функций является, например, треугольная весовая функция (окно Бартлетта).
Соотношение спектров одиночного и периодического сигналов. Спектр ST(f) = S(k f) пе-
154
риодического сигнала sT(t) с периодом Т дискретен ( f = 1/T). Спектр S(f) одиночного сигнала s(t),
заданного на интервале Т, непрерывен и представляет собой спектральную плотность сигнала при
T . Но периодический сигнал можно представить и в виде свертки одного периода с гребневой функцией Дирака:
sT(t) = s(t) * ШT(t). |
|
При переходе в частотную область получаем: |
|
ST(f) = (1/T) S(f) Ш1/T(f) = S(k f), |
|
|
|
ST(f) = (1/T) |
S(f) (f-k/T). |
k |
|
(7.2.21)
Отсюда следует, что спектр периодического сигнала представляет собой дискретизирован-
ный спектр одиночного сигнала, нормированный на длительность периода.
С другой стороны, одиночный сигнал s(t) может быть получен из периодического сигнала sT(t) умножением на селектирующий прямоугольный импульс ПT(t):
s(t) = sT(t) ПT(t).
Спектр одиночного сигнала:
S(f) = T ST(f) * ПT(f) = Т
k
S(k f) sinc[ T(f-k/T)],
(7.2.22)
т.е. непрерывный спектр одиночного сигнала однозначно устанавливается по спектру периодиче-
ского сигнала (интерполяция рядом Котельникова-Шеннона в частотной области).
7.3. ДИСКРЕТИЗАЦИЯ ПО КРИТЕРИЮ НАИБОЛЬШЕГО ОТКЛОНЕНИЯ [10].
Задача абсолютно точного восстановления сигнала на практике обычно не ставится, в отли-
чие от задачи минимального физического объема информации, при котором сохраняется возмож-
ность ее восстановления в непрерывной форме с определенным допустимым значением погреш-
ности. Такая задача актуальна всегда, и особенно при дистанционных методах регистрации и об-
работки информации, передаче сигналов по каналам связи и при подготовке информации к дли-
тельному хранению. Одним из методов решения этой задачи является дискретизация сигналов по
критерию наибольшего отклонения.
В процессе дискретизации по критерию наибольшего отклонения задается допустимое зна-
чение погрешности восстановления сигнала 
При восстановлении сигнала непрерывная функция s(t) аппроксимируется, как правило, степенными полиномами n-го порядка. Погрешность восстановления функции s(t) полиномом sa(t) определяется остаточным членом L(t):
L(t) = s(t) - sa(t) = (t).
Шаг дискретизации выбирается из условия обеспечения L(t) < по всему интервалу опре-
деления функции s(t). Как правило, динамика функции s(t) может существенно изменяться в раз-
личные моменты времени по интервалу регистрации, при этом шаг дискретизации также может изменяться, при условии не превышения заданной погрешности на каждом шаге. При установлен-
155
ном значении уменьшение числа отсчетов обеспечивается повышением степени аппроксимиру-
ющего многочлена. На практике обычно ограничиваются ступенчатой, линейной и параболиче-
ской аппроксимацией полиномами соответственно нулевой, первой и второй степеней.
В качестве интерполирующих многочленов используют многочлены Лагранжа. Для много-
членов Лагранжа нулевой степени значение sa(t) в момент времени t на интервале ti<t<ti+1 между двумя последовательными отсчетами функции принимается равным отсчету s(ti+1). Если восста-
новление сигнала s(t) проводить по двум отсчетам: sa(ti) = [s(ti+1)-s(ti)]/2, то при том же шаге дис-
кретизации погрешность восстановления сигнала уменьшается вдвое. Но при использовании двух последовательных отсчетов лучше использовать многочлены Лагранжа первой степени, т.е. со-
единение двух последовательных отсчетов прямой линией, что дает еще большее уменьшение по-
грешности восстановления аналоговой формы сигнала.
В качестве экстраполирующих многочленов используется многочлены Тейлора. Для мно-
гочлена Тейлора нулевой степени условия восстановления сигнала практически не отличаются от многочлена Лагранжа, за исключением направления (от текущего зарегистрированного отсчета и вперед по t). Для многочленов Тейлора более высоких степеней при восстановлении сигнала по-
мимо отсчета s(ti) используется также соответствующие значения производных в точке отсчета.
Восстановление сигнала многочленами Тейлора происходит без задержки во времени. Однако при использовании многочленов выше нулевой степени для точного восстановления сигнала по срав-
нению с интерполяционными методами требуется в два раза более высокая частота дискретиза-
ции.
7.4. АДАПТИВНАЯ ДИСКРЕТИЗАЦИЯ [10].
Частота равномерной дискретизации информации рассчитывается по предельным значени-
ям частотных характеристик сигналов. Адаптивная дискретизация ориентирована на динамиче-
ские характеристики сигнала, что позволяет обеспечивать его восстановление при минимальном числе выборок. В основе принципов адаптивной дискретизации лежит слежение за текущей по-
грешностью восстановления сигнала. Наиболее широкое применение получили алгоритмы дис-
кретизации с адаптацией по длине интервала аппроксимации. Сущность дискретизации заключа-
ется в последовательном наращивании интервала аппроксимации с непрерывным сравнением сиг-
нала s(t) с воспроизводящей функцией sa(t). При достижении заданного значения
наращивание интервала прекращается, и производится отсчет значения s(ti), т.е. дискретизация является нерав-
номерной. Для воспроизведения сигналов нерегулярной дискретизации обычно используются степенные алгебраические полиномы нулевой и первой степени в интерполяционном или в экс-
траполяционном вариантах.
Наиболее простой является техника адаптивной дискретизации с использованием много-
члена нулевой степени. На момент ti начала каждого интервала аппроксимирующий полином sa(t)
принимается равным s(ti), вычисляется текущая разность L(t) = s(t)-sa(t) и производится сравнение