Материал: конспект-лекций
141
частот и возникают пульсации частотного спектра с максимумами на частотах, кратных F=1/ t
или в угловых единицах 2 / t, где фазы спектров первого и второго отсчетов совпадают и равны нулю. Форма модуля результирующего спектра при N=2 приведена на рисунке.
При дальнейшем увеличении количества отсчетов периодичность совпадения нулевых фаз и положения максимумов сохраняется, а интерференция частот между максимумами усложняется,
при этом ширина главных пиков по всему частотному диапазону спектра от минус до плюс беско-
нечности становится все уже. На рис. 7.2.1 приведены примеры спектров сигналов при N=10 и N=50. В пределе, при двусторонней временной шкале ±Т ± и N , гребневая функция из
импульсов Кронекера во временной области ct Ш t(t) =
k
(t-k t) превращается в идеаль-
ную гребневую функцию (1/T)
n
(f-nF) = F·ШF(f) в частотной области (формула 7.2.2). Этот
спектр непрерывен и физически реален в диапазоне частот от - до + .
Физический смысл интерференции частот остается тем же самым, если мы на произволь-
ном интервале Т зададим произвольный сигнал, например – синусоиду u(t) U(f), и выполним его дискретизацию, т.е. умножим сигнал на непрерывную последовательность импульсов Кроне-
кера c(t) u(t) u(t)
K k 0
(t-k t) = u(t) Ш t(t). А так как каждый дискретный отсчет в этом случае
имеет свою определенную амплитуду и, соответственно, свой уровень амплитуд гармоник своего спектра, то сложение частот дает более сложную картину интерференции с расщеплением спектра общего сигнала всех дискретных отсчетов на две зеркальных составляющих относительно крат-
ных частот 2 / t.
|
Математически произведение |
||
|
двух функций во временной области |
||
|
отображается сверткой спектров этих |
||
|
функций в частотном представлении, |
||
|
т.е. сверткой спектра сигнала u(t) с |
||
|
частотной гребневой функцией спек- |
||
|
тра, порожденной временной гребне- |
||
|
вой |
функцией |
дискретизации |
|
u(t)Ш t(t) U(f) * |
F ШF(f), откуда и |
|
|
следует формула (7.2.4). Пример дис- |
||
|
кретизации одного периода синусои- |
||
|
ды приведен на рис. 7.2.2. |
||
Рис. 7.2.2. Формирование спектра дискретного сигнала. |
Вернемся к значению и роли |
||
|
|
|
|
|
частоты |
Найквиста |
при дискретиза- |
|
|||
142
ции сигналов.
На рис. 7.2.3 и 7.2.4. приведены примеры равномерной дискретизации аналоговых сигналов s1(t) = exp(-a|t|) и s2(t) = exp(-bt2) (дискретные отсчеты нанесены кружками) и спектры этих дис-
кретных сигналов.
Рис. 7.2.3. Дискретные сигналы. |
Рис. 7.2.4. Спектры дискретных сигналов. |
Для того чтобы периодическое повторение спектра, вызванное дискретизацией аналогового сигнала, не изменяло спектр в главном частотном диапазоне (по отношению к спектру исходного аналогового сигнала), необходимо и достаточно, чтобы максимальные частотные составляющие fmax в спектре аналогового сигнала не превышали частоты Найквиста (fmax fN = F/2). Это означает,
что частота дискретизации сигнала должна быть минимум в два раза выше максимальной частот-
ной составляющей в спектре сигнала:
F = 1/ t 2fmax, |
(7.2.5) |
что обеспечивает выход спектра на нулевые значения на концах главного диапазона, как это имеет место для спектра S2( ) на рис. 7.2.4.
Другими словами, на одном периоде колебаний с частотой fmax должно быть минимум две точки отсчета. Это и понятно – по одной точке отсчета на периоде гармонического сигнала опре-
деление неизвестных параметров данной гармоники (амплитуда, фаза) невозможно.
Если условие (7.2.5) нарушается, искажения частотного спектра исходного аналогового сигнала неизбежны. На рис. 7.2.4 наглядно видно, что частота дискретизации для сигнала s1(t)
данному условию не удовлетворяет, спектры периодов перекрылись, и результирующий спектр дискретных отсчетов сигнала s1(t) отличается от фактического спектра сигнала (фактический спектр и его периодические повторения в области перекрытия спектра главного частотного диапа-
зона со спектрами боковых диапазонов показаны пунктиром). Аналоговый сигнал из спектра S1( )
будет восстановлен с искажениями.
Характер возникающих искажений во временной области при нарушении условия (7.2.5)
можно наглядно видеть на рис. 7.2.5. На рисунке показаны три возможных варианта соотношения частот гармонических сигналов с постоянной частотой их дискретизации.
1. График А – частота гармонического сигнала меньше частоты Найквиста. Дискретным от-
счетам может соответствовать только исходная гармоника, амплитуда, частота и фаза которой мо-
гут быть однозначно определены по любым трем последовательным точкам (три уравнения, три
143
неизвестных).
2. График В – частота гармонического сигнала равна частоте Найквиста. Это означает пе-
риодическое повторение каждой пары последовательных отсчетов, а, следовательно, для решения имеется только два уравнения с тремя неизвестными с возможностью определения только часто-
ты, и то при условии, что начальная фаза сигнала не совпадает с начальной фазой частоты дискре-
тизации (в этом случае все отсчеты нулевые). Амплитуда и фаза сигнала определяются однозначно только при условии совпадения отсчетов с экстремумами гармоники.
Рис. 7.2.5. Дискретизация гармоник с разной частотой.
3. График С – частота гармонического сигнала больше частоты Найквиста. Решение трех уравнений по трем последовательным точкам позволяет определить амплитуду гармоники, но дает искаженные значения частоты и фазы колебания (показано пунктиром). Это так называемый эф-
фект появления ложных (кажущихся) частот (aliasing). Частоты гармонических колебаний выше частоты Найквиста как бы зеркально "отражаются" в главный частотный диапазон от его границ
(на частоте Найквиста), что можно видеть на рис. 7.2.4 для действительного спектра сигнала
S1( ), показанного точками. Этот эффект аналогичен всем известному эффекту обратного враще-
ния колес автомобиля (и любых других быстро вращающихся объектов) на экранах кино и телеви-
зоров, когда скорость их вращения начинает превышать частоту смены кадров.
Интерполяционный ряд Котельникова-Шеннона. Спектр дискретизированного сигнала
(7.2.4) представляет собой сумму сдвинутых копий исходного аналогового сигнала с шагом сдви-
га, равным частоте дискретизации. Очевидно, что если спектры копий не перекрываются, то по центральной копии дискретного спектра можно восстановить исходный аналоговый сигнал с аб-
солютной точностью. Умножая функцию (7.2.3) на прямоугольную весовую функцию ПF(f), рав-
ную 1 в пределах главного частотного диапазона [-F/2,F/2] и нулю за его пределами, получаем не-
прерывный спектр в бесконечных по частоте границах, равный спектру F S(f) в пределах главного частотного диапазона:
|
|
144 |
|
|
F S(f) = F [S(f) * ШF(f)] ПF(f). |
(7.2.6) |
|||
Обратное преобразование Фурье такого спектра должно давать конечный и непрерывный |
||||
сигнал. Произведем обратное преобразование обеих частей равенства (7.2.6): |
||||
F·[S(f) * ШF(f)] |
s |
t(t), ПF(f) |
F sinc( Ft). |
|
F s(t) = s |
t(t) * F sinc( |
Ft). |
|
|
|
|
|
|
|
s(t) = sinc( |
Ft) * s(k t) |
(t-k |
t), |
|
|
|
k |
|
|
Дискретизированный сигнал s
t(t) =
k
s(k t) (t-k t) представляет собой сумму последова-
тельных весовых импульсов Кронекера, сдвинутых на интервал t, со значениями веса, равными
значениям отсчетов функции s(t) в моменты k t. При прохождении такого сигнала через систему с импульсным откликом h(t)= sinc( Ft)= sin( Ft)/ Ft каждый весовой импульс Кронекера возбудит на выходе соответствующую последовательную серию сдвинутых и масштабированных копий оператора фильтра. Отсюда, с учетом очевидного равенства
(t-k t) * sinc( Ft) = sinc[ F(t-k t)],
выходной сигнал будет представлять собой сумму сдвинутых весовых импульсных откликов си-
стемы, где значение веса определяется отсчетами дискретного сигнала:
s(t) =
k
s(k t) sinc[
F(t-k t)] =
k
s(k t) sinc[ (t/ t-k)].
(7.2.7)
Эта конечная формула носит название интерполяционного ряда Котельникова-Шеннона. Из нее следует, что если наибольшая частота в спектре произвольной непрерывной функции s(t) не превышает частоты ее дискретизации, то она без потери точности может быть представлена в виде числовой последовательности дискретных значений s(k t), k = 0,1,2,... , и однозначно восстанов-
лена по этой последовательности. В этом и состоит сущность теоремы отсчетов Котельникова. В
зарубежной литературе она называется также теоремой Шеннона или теоремой дискретизации
(sampling teorem).
Академик В.А.Котельников, 1908-2005. Крупнейший ученый в области радиотехники,
радиофизики и информатики. Окончил Московский энергетический институт в 1931 году. С 1931 г. по 1941 г. преподает в МЭИ и ведет научную работу в ЦНИИ связи. В 1933 г. формули-
рует знаменитую теорему отсчетов, которая носит его имя. В период Великой Отечественной войны (1941-1945 гг.) работал над созданием специальной аппаратуры связи. С 1948 г. по 1953
г. директор и главный конструктор ОКБ МЭИ. В 1953 году избран академиком АН СССР. С 1954 года - директор Института радиотехники и электроники АН СССР. Занимался теорией по-
мехоустойчивой радиосвязи и радиолокации, радиолокационным исследованием планет. Лауре-
ат Ленинской премии, дважды лауреат Государственной премии СССР. Дважды удостоен зва-
145
ния Героя Социалистического труда, награжден шестью орденами Ленина, орденом "За заслуги перед Отечеством" I степени.
По существу, ряд (7.2.7) представляет собой частный случай разложения сигнала в соответ-
ствии с формулой (7.1.2) по системе ортогональных функций интегрального синуса v(t, k t)= sinc( F(t-k t))= sinc( (t/ t – k)), образующих базис пространства сигналов s(t). Для проверки ор-
тогональности достаточно вычислить скалярное произведение базисных функций:
v(t,n t) v(t,m
t) dt =
Δt, |
|
|
0, |
|
|
n m n m
.
Разложение (7.2.7) проще и понятнее, чем разложение в ряды Фурье, что можно видеть на рис. 7.2.6. Вес каждой функции отсчетов sinc[ F(t-k t)] формирует пиковое значение интеграль-
ного синуса в каждой текущей точке t= k t, равное значению сигнала s(k t), при этом во всех остальных точках дискретных отсчетов sinc[ F(t-(k±j) t))], j= 1,2,… значения интегрального си-
нуса равны нулю. Ряд числовых значений интегрального синуса для дискретных значений t= n t
при суммировании по k полностью эквивалентен гребневой функции:
k
sinc[ F(n t-k t)] Ш t(t).
Однако, в отличие от гребневой функции, в интервале между дискретными отсчетами инте-
гральный синус имеет не нулевые, а определенные осциллирующие значения. Суперпозицией этих значений по текущим значениям t от всех интегральных синусов, осцилляции которых доходят до данного значения t, и образуются значения аналогового сигнала в интервалах между отсчетами.
Рис. 7.2.6. Восстановление непрерывного сигнала по дискретным отсчетам.