Материал: конспект-лекций
146
Рис. 7.2.7. |
|
|
|
В принципе, функции отсчетов имеют бесконечные ос- |
|
цилляции, и восстанавливают аналоговый сигнал, бесконеч- |
|
ный по аргументу. Амплитуда осцилляций функций отсчетов |
Рис. 7.2.8. Изменение масштаба |
|
|
затухает достаточно медленно (см. рис. 7.2.7). Однако на рис. |
при восстановлении аналоговой |
|
|
7.2.6 нетрудно заметить, что, в силу знакопеременности функ- |
функции. |
|
|
|
|
ций отсчетов по интервалам дискретизации, осцилляции восстанавливаемых кривых с финитным спектром затухают достаточно быстро, и для данных без существенных выбросов и больших пе-
репадов значений определяются, в основном, отсчетами, ближайшими к интерполируемому ин-
тервалу. Это позволяет ограничивать интервал суммирования в формуле (2.5.7) определенными окрестностями текущих точек интерполяции.
Рис. 7.2.9. Интерполяция по Котельникову-Шеннону.
Ряд (7.2.7) позволяет простым введением масштабного множителя в аргумент интегрально-
го синуса изменять представление сигнала на временной оси, растягивать или сжимать сигнал:
s(t) = s(k t) × sinc[ F(mt-k t)].
k
По аналогичной формуле может выполняться пересчет дискретных данных на другой ин-
тервал дискретизации:
147
s(n· tnew) =
k
s(k t) × sinc[ F(n· tnew-k t)].
Примеры восстановления аналоговой формы произвольного финитного сигнала и измене-
ния шага дискретизации данных приведены на рис. 7.2.9.
На рис. 7.2.10 приведено моделирование дискретизации аналогового сигнала, влияние наложение спектров боковых периодов на спектр главного диапазона дискретного сигнала и вос-
становление из этого спектра аналоговой формы сигнала.
Рис. 7.2.10. Моделирование дискретизации аналогового сигнала.
Графики А и Б рисунка – модельный аналоговый сигнал, точки его дискретизации и модуль спектра дискретного сигнала. Вычисление спектра выполнено быстрым преобразованием Фурье
(БПФ) и отображает, соответственно, частотный диапазон 0-2fN. Дискретизация выполнена кор-
ректно, с выполнением условия (7.2.5), о чем можно судить и по спектру дискретного сигнала
(график Б, выход на незначимые значения к частоте Найквиста fN).
Кривая S1 на графике В – спектр модельного дискретного сигнала при нарушении условия
148
(7.2.5). В данном случае это произойдет при увеличении шага дискретизации в 2 раза, что вызовет уменьшение в 2 раза новой частоты Найквиста и перемещение границы главного диапазона на от-
метку 0.5fN на графике Б, при этом произойдет перекрытие спектров поддиапазонов. На графике приведены кривые S1a и S1b, которые являются раздельными спектрами правой половины главно-
го диапазона без сложения со спектром правого бокового диапазона (интервал 0-2fN, где fN – ча-
стота Найквиста новой дискретизации), и левой половины правого бокового диапазона на том же интервале 0-2fN без сложения со спектром главного диапазона. Хорошо видны «хвосты» спектров,
выходящие за границы интервала Найквиста от центров диапазонов и заходящие в соседние диа-
пазоны. Сложением этих спектров в интервале 0-2fN нетрудно убедиться, что полученный резуль-
тат будет полностью соответствовать спектру S1 новой дискретизации исходного сигнала. Обра-
тим внимание, что сложение спектров рядом расположенных диапазонов может вызывать не толь-
ко увеличение высокочастотных составляющих (как это можно было видеть на рис. 7.2.4 – спектр
S1), ни и их взаимную компенсацию, как имеет место для спектра S1 в данном случае (кривая точ-
ками на графике В).
Перекрытие спектров диапазонов вызовет искажение аналоговой формы сигнала, восста-
новленного из его дискретных отсчетов, что можно видеть на графике Г – кривая s2. В данном случае, при частичной взаимной компенсации перекрывающихся частей спектров, наиболее силь-
ное искажение произошло во второй, высокочастотной части сигнала.
Дискретизируемые сигналы, как правило, содержат широкополосные шумы, высокочастот-
ные составляющие которых неизбежно перекрываются при периодизации спектра, и увеличивают погрешность восстановления сигналов. Для исключения этого фактора перед проведением дискре-
тизации должно быть обеспечено подавление всех частот выше частоты Найквиста, т.е. выполнена низкочастотная фильтрация сигнала. Если последнее не проведено, то при дискретизации целесо-
образно в 2-4 раза уменьшить интервал дискретизации относительно оптимального и первой опе-
рацией обработки данных выполнить низкочастотную цифровую фильтрацию, после чего можно провести децимацию данных.
Увеличение интервала дискретизации сигналов является довольно распространенной опе-
рацией при цифровой обработке данных, и не только при подготовке данных для хранения с це-
лью сокращения их количества. При комплексной обработке данных различной природы интерва-
лы дискретизации этих данных могут оказаться различными, и производится их приведение к од-
ному значению. Аналогичная операция выполняется, как правило, и при создании многослойных информационных пакетов. В таких случаях снижение частоты дискретизации каких-либо данных является вынужденной необходимостью даже с потерей части высокочастотных составляющих информации. Предварительное отфильтровывание отбрасываемых данных перед децимацией (для исключения их попадания в главный частотный диапазон и искажения основной информации) в
этом случае является обязательным, особенно при достаточно высокой энергии этих составляю-
149
щих сигнала. Пример такой децимации приведен на рис. 7.2.10 на графиках В и Г - спектр S2(f)
децимированных данных и аналоговый сигнал s3(t), восстановленный по дискретным отсчетам sd(k t) ↔ S2(f). Децимация выполнена непосредственно в частотной области путем смыкания на частотной части 0-0.5fN спектра SM(f) исходного сигнала sm(m m) с сопряженной частью на ин-
тервале 1.5fN- fN, что сокращает новый интервал Найквиста в 2 раза и формирует спектр S2(f), со-
ответствующий дискретному сигналу с увеличенным в два раза интервалом дискретизации дан-
ных с полностью подавленной частью спектральных составляющих от 0.5fN до 1.5fN. Такой метод может применяться для децимации (передискретизации) данных с любой кратностью.
Дискретизация с усреднением. Если дискретизация сигнала производится импульсами ко-
нечной ширины, то таким импульсам соответствуют средние значения сигнала на интервале дли-
тельности импульсов. При длительности импульсов r имеем:
s(k t) = (1/r)
k t r/2 k t-r/2
s(t) dt.
(7.2.8)
С использованием селектирующей и гребневой функций эта операция отображается следу-
ющим образом:
s t(t) = (1/r)[s(t) * Пr(t)]Ш t(t). |
(7.2.9) |
Соответственно спектр дискретной функции: |
|
SF(f) = [S(f) sinc( fr)] * F ШF(f). |
(7.2.10) |
Отсюда следует, что при дискретизации с усреднением спектр S(f) |
заменяется спектром |
S(f) sinc( fr), периодическое продолжение которого и образует спектр дискретной функции. При обратном преобразовании Фурье и при использовании интерполяционной формулы Котельникова-
Шеннона, вместо исходной функции s(t) получаем функцию s'(t) = s(t) * Пr(t)/r, что эквивалентно пропусканию сигнала через фильтр с откликом h(t) = Пr(t)/r, т.е. через низкочастотный сглажива-
ющий фильтр "скользящего" среднего с окном r.
Допустим r= |
t, |
1, F=2 |
fmax, |
1. Для этих условий частотная передаточная функция |
|||
фильтра записывается в следующем виде: H(f) = sinс[( |
/2 |
)(f/fmax)]. Если потеря составляющих |
|||||
сигнала |
на всех |
частотах не |
должна |
превышать |
3%, |
необходимо выполнить условие: |
|
sinc( |
/2 ) 0,97. При |
=1 отсюда следует, что значение |
должно быть равно 0.27, т.е. ши- |
||||
рина импульса дискретизации может составлять до 27 % интервала дискретизации.
Отметим, что в выражении (7.2.8) значения отсчетов относится к центру интервалов r им-
пульсов дискретизации. Если отсчет будет относиться к концу интервалов r, что имеет место при обработке информации в режиме реального времени, то в выходной функции (7.2.9) появится сдвиг на интервал r/2, а в ее спектре соответственно сдвиг фаз на r/2 (в правой части выражения
(7.2.10) добавится множитель exp(-j fr)).
Дискретизация спектров. Теоремы, доказанные для прямого преобразования Фурье, в та-
кой же мере действительны и для обратного. При дискретизации спектра сигнала с шагом f ди-
150
намическое представление сигнала также становится периодическим с периодом Т = 1/ f. Для сохранения возможности точного восстановления сигнала в пределах главного периода (без нало-
жения сигналов соседних периодов) частотный шаг дискретизации должен удовлетворять усло-
вию:
f 1/T. |
(7.2.11) |
Попутно отметим, что для временной формы каузального сигнала главным периодом при-
нимают интервал от 0 до Т, хотя при обработке данных на ЭВМ это не имеет значения и главный
период может устанавливаться от -Т/2 до Т/2.
Информационная тождественность динамической и частотной форм дискретного
представления сигнала непосредственно следует из теоремы Котельникова-Шеннона.
Основой любых преобразований при обработке данных обычно является финитный (конеч-
ный по длительности) сигнал, зарегистрированный на интервале 0-Т и состоящий из определен-
ных частотных составляющих от 0 до fmax. Оптимальная дискретизация аналогового сигнала без потери точности его восстановления, как рассмотрено выше, соответствует двум отсчетам на пе-
риоде максимальной частотной составляющей: |
|
t = 1/2fmax, Nt = T/ t. |
(7.2.12) |
где Nt – общее количество отсчетов на интервале Т задания сигнала. Если сигнал зарегистрирован непосредственно в дискретной форме, то он автоматически ограничен по максимальной частоте,
т.е. максимальные частоты в таком сигнале равны fmax 1/2 t.
При переводе дискретного сигнала в частотную форму спектр сигнала непрерывен и перио-
дичен с периодом 1/ t = 2fN. Для оптимальной дискретизации по частоте без потери точности вос-
становления непрерывного спектра должны выполняться условия: |
|
f = 1/T = 1/( tNt), fN = 1/2 t, |
(7.2.13) |
Nf = 2fN/ f = Nt. |
(7.2.14) |
Спектр сигнала подвергается каким-либо преобразованиям (обработке), как правило, толь-
ко в главном частотном диапазоне и тем самым превращается в непериодический сигнал, суще-
ствующий только в интервале 2fN (от -fN до fN). Значения спектра за пределами главного диапазона по умолчанию полагаются равными нулю. При обратном переводе такого сигнала из частотной формы в динамическую сигнал также является непрерывным и периодическим с периодом 1/ f =
T, при этом оптимальная дискретизация по координатам без потери точности восстановления не-
прерывной формы соответствует условиям:
t = 1/2fN, |
T = 1/ f, |
(7.2.15) |
Nt = T/ |
t = Nf. |
(7.2.16) |
При осуществлении преобразований s(k t) |
S(n f), равно как и S(n f) |
s(k t), условие |
Nf = Nt является необходимым и достаточным для полного сохранения информации при преобра-
зованиях сигнала из одной формы представления в другую. Условия (7.2.12-7.2.16) задают опти-