Материал: конспект-лекций
156
ее значения с заданным значением
. При фиксировании равенства L(t) = производится оче-
редной отсчет и начинается следующий интервал.
При использовании аппроксимирующего многочлена первой степени вычисляется значение
sa(t) = s(ti)+s'(ti), где s'(t) - производная сигнала. Момент очередного отсчета определяется выпол-
нением равенства s(t)-s(ti)-s'(ti) = . Следует иметь в виду, что данный алгоритм неэффективен при наличии высокочастотных помех, к которым весьма чувствительна операция дифференцирования.
Самыми простыми способами восстановления сигналов при адаптивной дискретизации яв-
ляются линейная и квадратичная интерполяции, которые выполняются по уравнениям: |
|
|
f(x)лин = а0 + а1х. |
f(x)кв = а0 + а1х + а2х2. |
|
Эти уравнения являются частным случаем полиномиальной интерполяции с помощью ап- |
||
проксимирующего полинома: |
|
|
|
n |
|
f(x) = а0 + а1х + а2х2 + … + anxn = ai·xi. |
(7.4.1) |
|
|
i 0 |
|
Рис. 7.4.1. Интерполяция данных.
Для выполнения полиномиальной интерполяции достаточно по выражению (7.4.1) соста-
вить систему линейных уравнений для n последовательных отсчетов и определить n значений ко-
эффициентов ai. При глобальной интерполяции, по всем N точкам задания функции, степень поли-
нома равна N-1. Глобальная интерполяция обычно выполняется для достаточно коротких (не бо-
лее 8-10 отсчетов) массивов данных. Пример выполнения глобальной интерполяции приведен на рис. 7.4.1.
Большие массивы данных интерполируются последовательными локальными частями или в скользящем по массиву данных окне интерполяции, как правило, с нечетным значением N и вы-
числением требуемых значений сигнала в определенном интервале центральной части окна.
157
Рис. 7.4.2. Интерполяция по Лагранжу.
Для практического использования более удобны формулы аппроксимации, не требующие предварительного определения коэффициентов аппроксимирующих полиномов. К числу таких формул относится интерполяционных многочлен по Лагранжу /30/. При аппроксимации функции у(х) многочленом n-ой степени f(x):
|
(x - x )(x- x |
2 |
)...(x- x |
n |
) |
|
|
|
|
|
(x - x |
0 |
)(x- x |
2 |
)...(x- x |
n |
) |
|
|
||||||||||||||||||||
f(x) = |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y0 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y1 |
+… |
|||||||||
(x |
|
- x |
)(x |
- x |
|
|
)...(x |
- x |
|
|
|
|
|
- x |
|
|
)(x |
- x |
|
|
)...(x - x |
|
|||||||||||||||||
|
0 |
2 |
n |
) |
(x |
0 |
2 |
n |
) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x - x |
0 |
)(x- x |
)...(x- x |
n-1 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
…+ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
yn . |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(x |
|
- x |
|
|
)(x |
- x |
|
)...(x |
|
|
- x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
0 |
|
|
|
n-1 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Пример интерполяции по Лагранжу приведен на рис. 7.4.2.
7.5. КВАНТОВАНИЕ СИГНАЛОВ [5,21].
(7.4.2)
Дискретизация аналоговых сигналов с преобразованием в цифровую форму связана с кван-
тованием сигналов. Сущность квантования состоит в замене несчетного множества возможных значений функции, в общем случае случайных, конечным множеством цифровых отсчетов, и вы-
полняется округлением мгновенных значений входной функции s(ti) в моменты времени ti до бли-
жайших значений si(ti) = ni
, где 
- шаг квантования шкалы цифровых отсчетов. Квантование с постоянным шагом 
называется равномерным. Математически операция квантования может быть выражена формулой:
s (t ) = s(ti ) 1 Δσ , i i Δσ 2
где скобки [..] означают целую часть значения в скобках.
При квантовании сигналов в большом динамическом диапазоне значений шаг квантования может быть и неравномерным, например, логарифмическим, т.е. пропорциональным логарифму значений входного сигнала. Установленный диапазон шкалы квантования от smin до smax и шаг квантования 
определяют число делений шкалы N
= (smax-smin)/
и соответственно цифро-
вую разрядность квантования. В результате дискретизации и квантования непрерывная функция s(t) заменяется числовой последовательностью {s(k t)}. Погрешность округления i = s(ti)-
|
|
158 |
si(k t) заключена в пределах - |
/2< < |
/2 и называется шумом квантования. Требуемая точ- |
ность квантования оценивается по влиянию возникающего шума квантования на последующую обработку сигналов.
При достаточно малом шаге квантования любое значение в его пределах можно считать
равновероятным, при этом значения распределены по равномерному закону: p( ) = 1/
, -
/2 
/2.
Соответственно, дисперсия и среднее квадратическое значение шума квантования:
2 = |
2/12, |
|
0.3 |
. |
(7.5.1) |
При задании уровня шума квантования с использованием выражения (7.5.1) нетрудно опре-
делить допустимое значение шага квантования.
Входной сигнал содержит, как правило, аддитивную смесь собственно сигнала s(t) и поме-
хи q(t) с дисперсией соответственно q2. Если помехи не коррелированны с сигналом, то после квантования суммарная дисперсия шумов:
2 = q2+ 2.
На практике шаг квантования выбирают обычно таким, чтобы не происходило заметного изменения отношения сигнал/шум, т.е. 2<< q2.
7.6. ДЕЦИМАЦИЯ И ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ДАННЫХ [4,5,17].
Децимацией (прореживанием, сокращением) цифровых данных принято называть уплотне-
ние данных с удалением избыточной информации. Последнее имеет место, если шаг дискретиза-
ции данных был установлен излишне подробным и fN = 1/2 t >> fmax сигнала. Информация высо-
кочастотной части сигнала может быть ненужной, если основная энергия полезной части сигнала заключена в низкочастотной области. Децимация может потребоваться и в том случае, если мас-
сивы данных представлены с разным шагом дискретизации.
Децимации должна предшествовать низкочастотная фильтрация данных. Это связано с тем,
что в процессе децимации шаг дискретизации t заменяется на новый шаг t' = p t, где p>1, с со-
ответствующим сжатием главного частотного диапазона, при этом появляется опасность отраже-
ния отбрасываемых частотных составляющих и высокочастотных шумов в главный диапазон (как и при неправильном выборе шага дискретизации). Точка отсечки низкочастотного фильтра уста-
навливается по новой частоте Найквиста: fN'=1/(2p t).
Значение коэффициента р при децимации может быть произвольным, но, как правило, ис-
пользуются целочисленные значения, и децимация выливается в простое прореживание данных.
При нецелочисленном значении р децимация может проводиться с использованием интерполяци-
онного ряда Котельникова-Шеннона (равно как и любого другого интерполяционного многочлена)
или преобразования Фурье. Последнее выполняется путем перевода сигнала в частотную форму и возвращением в координатную форму с новым шагом t' = p t, при этом низкочастотная филь-
трация может производиться непосредственно в частотном диапазоне. Возможно также и прямое
159
усечение главного частотного диапазона с N точек до N' = N/p с возвратом из нового частотного диапазона в координатную форму с количеством точек N', но при этом следует учитывать послед-
ствия усечения спектральной функции (умножения на прямоугольное селектирующее окно) на форму восстанавливаемого по ней сигнала (свертка исходного сигнала с фурье-образом прямо-
угольного селектирующего окна).
Интерполяция данных отличается от децимации только значением коэффициента р<1, с со-
ответствующим увеличением частоты Найквиста, и не требует низкочастотной фильтрации.
Для децимации и интерполяции данных разработаны также специальные высокоскорост-
ные методы и алгоритмы (цифровые фильтры) - экспандеры и компрессоры /4,5/.
ЛИТЕРАТУРА
4. Гольденберг Л.М. и др. Цифровая обработка сигналов: Справочник. - М.: Радио и связь,
1985.
5. Гольденберг Л.М. и др. Цифровая обработка сигналов: Учебное пособие для вузов.- М.:
Радио и связь, 1990.- 256 с.
10. Дмитриев В.И. Прикладная теория информации: Учебник для вузов. - М.: Высшая шко-
ла, 1989.
16. Макс Ж. Методы и техника обработки сигналов при физических измерениях. - М.: Мир,
1983.
17. Никитин А.А. Теоретические основы обработки геофизической информации: Учебник для вузов.- М.: Недра, 1986.- 342 с.
21. Рапопорт М.Б. Вычислительная техника в полевой геофизике: Учебник для вузов.- М.:
Недра, 1993. - 350 с.
30. Корн Г., Корн Е. Справочник по математике для научных работников и инженеров. –
М.: Наука, 1984.
160
Лекция 8. ДИСКРЕТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИГНАЛОВ
Содержание
1. Преобразование Фурье. Дискретное преобразование Фурье. Быстрое преобразование
Фурье.
2.Преобразование Лапласа.
3.Z - преобразование сигналов. Определение преобразования. Примеры z-преобразования.
Связь с преобразованиями Фурье и Лапласа. Свойства z-преобразования. Отображение z-
преобразования. Аналитическая форма z-образов. Обратное z-преобразование.
4. Дискретная свертка (конволюция). Уравнение дискретной свертки. Техника свертки.
ВВЕДЕНИЕ
Цифровая обработка сигналов оперирует с дискретными преобразованиями сигналов и об-
рабатывающих данные сигналы систем. Математика дискретных преобразований зародилась в недрах аналоговой математики еще в 18 веке в рамках теории рядов и их применения для интер-
поляции и аппроксимации функций, однако ускоренное развитие она получила в 20 веке после по-
явления первых вычислительных машин. В принципе, в своих основных положениях математиче-
ский аппарат дискретных преобразований подобен преобразованиям аналоговых сигналов и си-
стем. Однако дискретность данных требует учета этого фактора, и его игнорирование может при-
водить к существенным ошибкам. Кроме того, ряд методов дискретной математики не имеет ана-
логов в аналитической математике.
8.1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ [5,17,21].
Дискретное преобразование Фурье может быть получено непосредственно
ного преобразования дискретизаций аргументов (tk = k |
t, fn = n f): |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
S(f) = |
|
s(t) exp(-j2 |
ft) dt, |
S(fn) = |
t |
s(tk) exp(-j2 |
fnk |
t), |
|||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
s(t) = |
|
S(f) exp(j2 |
ft) df, |
s(tk) = |
f |
S(fn) exp(j2 |
n |
ftk). |
|||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
из интеграль-
(8.1.1)
(8.1.2)
Напомним, что дискретизация функции по времени приводит к периодизации ее спектра, а
дискретизация спектра по частоте - к периодизации функции. Не следует также забывать, что зна-
чения (8.1.1) числового ряда S(fn) являются дискретизаций непрерывной функции S'(f) спектра дискретной функции s(tk), равно как и значения (8.1.2) числового ряда s(tk) являются дискретиза-
цией непрерывной функции s'(t), и при восстановлении этих непрерывных функций S'(f) и s'(t) по их дискретным отсчетам соответствие S'(f) = S(f) и s'(t) = s(t) гарантировано только при выполне-
нии теоремы Котельникова-Шеннона.
Для дискретных преобразований s(k t) S(n f), и функция, и ее спектр дискретны и пе-
риодичны, а числовые массивы их представления соответствуют заданию на главных периодах Т =