Материал: конспект-лекций
166
Рис. 8.2.1. Сопоставление преобразований Фурье и Лапласа.
Правый интеграл для каузальных сигналов представляет собой преобразование Фурье, при этом сигнал y'(t) за счет экспоненциального множителя exp(- t) соответствующим выбором зна-
чения >0 превращается в затухающий и конечный по энергии. Все свойства и теоремы преобра-
зований Фурье имеют соответствующие аналоги и для преобразований Лапласа.
Пример сопоставления преобразований Фурье и Лапласа приведен на рис. 8.2.1.
8.3. Z - ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СИГНАЛОВ [2,13,21].
Определение преобразования. Распространенным способом анализа дискретных цифровых последовательностей является z-преобразование (z-transform).
Произвольной непрерывной функции s(t), равномерно дискретизированной и отображенной отсчетами sk = s(k t), равно как и непосредственно дискретной функции, можно поставить в соот-
ветствие степенной полином по z, последовательными коэффициентами которого являются значения sk:
|
|
sk = s(k t) TZ[s(k t)] = sk zk = S(z). |
(8.3.1) |
k |
|
где z = +j = r exp(-j ) - произвольная комплексная переменная. Полином S(z) |
называют z- |
167
образом или z-изображением функции s(k t). Преобразование имеет смысл для области тех зна-
чений z, в которой ряд S(z) сходится, т.е. сумма ряда представляет собой аналитическую функцию переменной z, не имеющую полюсов и особых точек.
Пример: sk = {1, 2, 0, -1, -2, -1, 0, 0}.
S(z) = 1z0+2z1+0z2-1z3-2z4-1z5+0z6+0z7 = 1+2z-z3-2z4-z5.
Впервые z-преобразование введено в употребление П.Лапласом в 1779 и повторно "откры-
то" В.Гуревичем в 1947 году с изменением символики на z-1. В настоящее время в технической ли-
тературе имеют место оба вида символики. На практическое использование преобразования это не влияет, т.к. смена знака только зеркально изменяет нумерацию членов полинома (относительно z0), числовое пространство которых в общем случае от - до + . В дальнейшем в качестве основ-
ной будем использовать символику положительных степеней z, давая пояснения по особенностям отрицательной символики, если таковая имеется.
По заданному или полученному в результате анализа какой-либо системы z-полиному од-
нозначно восстанавливается соответствующая этому полиному функция путем идентификации коэффициентов степеней при zk с k-отсчетами функции.
Пример: S(z) = 1+3z2+8z3-4z6-2z7 = 1z0+0z1+3z2+8z3+0z4+0z5-0z6-2z7. sk = {1, 0, 3, 8, 0, 0, -4, -2}.
Смысл величины z в z-полиноме заключается в том, что она является оператором единич-
ной задержки по координатам функции. Умножение z-образа сигнала s(k) на величину zn означает задержку сигнала на n интервалов: znS(z) s(k-n).
Z-образы с положительными степенями z соответствуют каузальным (физически реализуе-
мым) процессам и системам, которые работают в реальном масштабе времени с текущими и
"прошлыми" значениями сигналов. При обработке информации на ЭВМ каузальность сигналов не относится к числу ограничений и возможно использование отрицательных степеней z, соответ-
ствующих отсчетам сигналов "вперед", например, при синтезе симметричных операторов филь-
тров, что позволяет производить обработку информации без внесения в сигнал фазовых искаже-
ний. При использовании символики z-1 "прошлым" значениям соответствуют значения с отрица-
тельными степенями z, "будущим – с положительными.
Основное достоинство z-преобразований заключается в простоте математических операций со степенными полиномами, что имеет немаловажное значение при расчетах цифровых фильтров
и спектральном анализе.
Примеры z-преобразования часто встречающихся на практике дискретных сигналов.
Импульсы Кронекера. В общем случае, в произвольной точке числовой оси:
(k-n)
при k=n, (k-n) = 0 при k ≠ n.
168
X (z) =
k
(k-n) zk = zn.
Для импульса Кронекера в нулевой точке соответственно X (z) = z0 =1.
Функция Хевисайда (единичный скачок).
x(k) |
0 |
при k < 0, |
x(k) = 1 при k 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
X(z) = zk = zk. |
|
|
|
|
k 0 |
|
|
Ряд сходится при |z| < 1, при этом его сумма равна: |
|
|||
|
X(z) = 1/(1-z), |z| < 1. |
|
||
При использовании символики z-1: |
|
|
||
X(z) = 1/(1-z-1) = z/(z-1), |z| > 1. |
||||
Экспоненциальная функция: |
|
|
|
|
x(k) |
0 |
при k < 0, |
x(k) = ak |
при k 0. |
|
|
|
|
|
X(z) = |
|
x(k) zk = |
ak zk = |
(az)k. |
|
k |
k 0 |
k 0 |
|
Как и в предыдущем случае, ряд сходится при |az| > 1, т.е. при |z| < |a|, при этом:
X(z) = 1/(1-az), |z| > |a|.
Связь с преобразованиями Фурье и Лапласа. Запишем дискретный сигнал sk в виде суммы весовых импульсов Кронекера:
sk = s(k t) =
n
s(n t) (k t-n t).
Определим спектр сигнала по теореме запаздывания:
S( ) =
k
s(k t) exp(-j k t).
Выполним замену переменных, z = exp(-j
t), и получим:
S( ) =
k
s(k t) zk = S(z).
Отсюда следует, что дискретное преобразование Фурье является частным случаем z-
преобразования при z = exp(-j
t). Аналогичной подстановкой z = exp(-p) может осуществляться
переход к дискретному преобразованию Лапласа. В общем виде: |
|
|
|
|||
S( ) = S(z), |
z = exp(-j |
t); |
S(p) = S(z), |
z = exp(-p |
t). |
(8.3.2) |
Обратное преобразование: |
|
|
|
|
|
|
S(z) = S( ), |
= ln z/j |
t; |
S(z) = S(p), |
p = ln z/ |
t. |
(8.3.3) |
При отрицательной символике z связь между представлениями осуществляется соответ- |
||||||
ственно подстановками z-1 = exp(j |
t) и z-1 = exp(p). |
|
|
|
||
Свойства z-преобразования. Без углубления в теорию, |
можно констатировать, что все |
|||||
169
свойства ДПФ действительны и для z-преобразования. Отметим некоторые из них.
Линейность: Если S(k) = a·x(k)+b·y(k), то S(z) = aX(z)+bY(z). Соответственно, z-
преобразование допустимо только для анализа линейных систем и сигналов, удовлетворяющих принципу суперпозиции.
Задержка на n тактов: y(k) = x(k-n).
Y(z) =
k
|
|
|
|
y(k) zk = |
|
x(k-n) zk =zn |
|
|
k |
|
k |
x(k-n) zk-n = zn
m
x(m) zm = zn X(z).
Соответственно, умножение z-образа сигнала на множитель zn вызывает сдвиг сигнала на n
тактов дискретизации.
Для z-преобразования действительны все известные теоремы о спектрах. В частности,
свертка двух сигналов отображается в z-области произведением их z-образов, и наоборот: s(k) * h(k) S(z)H(z), s(k)·h(k) S(z) * H(z).
При z = exp(-j
t) z-преобразование представляет собой особую форму представления дискретных сигналов, при которой на полином S(z) можно ссылаться как на временную функцию
(по значениям коэффициентов k t), так и на функцию частотного спектра сигнала (по значениям аргумента ).
Рис. 8.3.1. Z - плоскость
Отображение z-преобразования выполняют на комплексной z-плоскости с Re z и Im z по осям координат (рис. 8.3.1). Спектральной оси частот на z-плоскости соответствует окружность радиуса:
|
|z| = |exp(-j |
2 |
2 |
= 1. |
|
t)| = cos (ω Δt) sin (ω Δt) |
|||
Подстановка значения какой-либо частоты |
в z = exp(-j |
t) отображается точкой на |
||
окружности. Частоте |
= 0 соответствует точка Re z = 1 и Im z = 0 на правой стороне оси абс- |
|||
цисс. При повышении частоты точка смещается по окружности против часовой стрелки, и занима-
ет крайнее левое положение на частоте Найквиста N = / t (Re z = -1, Im z = 0). Отрицательные частоты спектра отображаются аналогично по часовой стрелке на нижней полуокружности. Точки
N совпадают, а при дальнейшем повышении или понижении частоты значения начинают по-
вторяться в полном соответствии с периодичностью спектра дискретной функции. Проход по пол-
170
ной окружности соответствует одному периоду спектра, а любая гармоника спектра сигнала зада-
ется на плоскости двумя точками, симметричными относительно оси абсцисс.
Z-преобразование позволяет производить разложение сигналов и функций, например пере-
даточных функций фильтров, на короткие составляющие операции свертки, для чего достаточно приравнять z-полином к нулю, найти его корни ai, и переписать полином в виде произведения дву-
членов:
S(z) = a0(z-a1)(z-a2)...,
где а0- последний отсчет сигнала (коэффициент при старшей степени z).
Но произведению в z-области соответствует свертка в координатной области, и при обрат-
ном преобразовании двучлены (z-ai) превращаются в двухточечные диполи {-ai,1}, а сигнал дли-
ной N представляется сверткой (N-1) диполей:
sk= a0{-a1,1}*{-a2,1}*{-a3,1}* ...
Пример. sk = {1.4464, -2.32, 3.37, -3, 1}. S(z) = z4-3z3+3.37z2-2.32z+1.4464. a0 = 1.
Корни полинома S(z): a1 = 0.8+0.8j, a2 = 0.8-0.8j, a3 = 0.7+0.8j, a4 = 0.7-0.8j, S(z) = (z-0.8-0.8j)(z-0.8+0.8j)(z-0.7-0.8j)(z-0.7+0.8j).
Корни полинома представлены на z-плоскости на рис. 8.3.1. Корни полинома комплексные и четыре двучлена в координатной области также будут комплексными. Но они являются сопря-
женными, и для получения вещественных функций следует перемножить сопряженные двучлены
иполучить биквадратные блоки: S(z) = (z2-1.4z+1.13)(z2-1.6z+1.28).
При переходе в координатную область: sk = {1.13, -1.4, 1} * {1.28, -1.6, 1}.
Таким образом, исходный сигнал разложен на свертку двух трехчленных сигналов (функций).
Аналитическая форма z-образов существует для z-преобразований, если возможно свер-
тывание степенного ряда в аналитическое выражение. Выше, в примерах z-преобразования, уже приводилось приведение к аналитической форме z-образов функции Хевисайда и экспоненциаль-
ной функции.
Обратное z-преобразование в общем случае производится интегрированием по произволь-
ному замкнутому контуру C, расположенному в области сходимости и окружающему все особые точки (нули и полюсы) z-образа:
sk = (1/2
j) |
|
|
|
|
c |
S(z)z |
k 1 |
dz |
|
Способом, удобным для практического применения, является разложение рациональных
S(z) на простые дроби. С учетом линейности преобразования:
N |
N |
|
S(z) = an/(1-bnz) |
|
an(bn)k = sk. |
n 1 |
n |
1 |
Пример. S(z) = 1/(1-5z+6z2) = 3/(1-3z)-3/(1-2z) 3 3k -3 2k = s(k).