Материал: конспект-лекций

176

ний, развивающихся во времени или по любой другой переменной, решает теория случайных про-

цессов.

В качестве универсальной координаты для распределения случайных величин по независи-

мой переменной будем использовать, как правило, переменную "t" и трактовать ее, чисто для удобства, как временную координату. Распределения случайных величин во времени, а равно и сигналов их отображающих в любой математической форме, обычно называют случайными (или стохастическими) процессами. В технической литературе термины "случайный сигнал" и "случай-

ный процесс" используются как синонимы.

В отличие от детерминированных сигналов значения случайных сигналов в произвольные моменты времени не могут быть вычислены. Они могут быть только предсказаны в определенном диапазоне значений с определенной вероятностью, меньшей единицы. Количественные характе-

ристики случайных сигналов, позволяющие производить их оценку и сравнение, называют ста-

тистическими.

В процессе обработки и анализа физико-технических данных обычно приходится иметь де-

ло с тремя типами сигналов, описываемых методами статистики. Во-первых, это информационные сигналы, отображающие физические процессы, вероятностные по своей природе, как, например,

акты регистрации частиц ионизирующих излучения при распаде радионуклидов. Во-вторых, ин-

формационные сигналы, зависимые от определенных параметров физических процессов или объ-

ектов, значения которых заранее неизвестны, и которые обычно подлежать определению по дан-

ным информационным сигналам. И, в-третьих, это шумы и помехи, хаотически изменяющиеся во времени, которые сопутствуют информационным сигналам, но, как правило, статистически неза-

висимы от них как по своим значениям, так и по изменениям во времени. При обработке таких сигналов обычно ставятся задачи:

обнаружение полезного сигнала,

оценка параметров сигнала,

выделение информационной части сигнала (очистка сигнала от шумов и помех),

предсказание поведения сигнала на некотором последующем интервале (экстраполяция).

9.1. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ И ФУНКЦИИ [1, 2, 25].

Случайный процесс описывается статистическими характеристиками, называемыми мо-

ментами. Важнейшими характеристиками случайного процесса являются его стационарность, эр-

годичность и спектр мощности.

Случайный процесс в его математическом описании Х(t) представляет собой функцию, ко-

торая отличается тем, что ее значения (действительные или комплексные) в произвольные момен-

ты времени по координате t являются случайными. Строго с теоретических позиций, случайный процесс X(t) следует рассматривать как совокупность временных функций xk(t), имеющих опреде-

ленную общую статистическую закономерность. При регистрации случайного процесса на опре-

177

деленном временном интервале осуществляется фиксирование единичной реализации xk(t) из бес-

численного числа возможных реализаций процесса X(t). Эта единичная реализация называется

выборочной функцией случайного процесса X(t). Отдельная выборочная функция не характеризует процесс в целом, но при определенных условиях по ней могут быть выполнены оценки статисти-

ческих характеристик процесса. Примеры выборочных функций модельного случайного процесса

X(t) приведены на рис. 9.1.1. В дальнейшем при рассмотрении различных параметров и характери-

стик случайных процессов для сопровождающих примеров будем использовать данную модель процесса.

Рис. 9.1.1. Выборочные функции случайного процесса.

Функциональные характеристики случайного процесса.

С практической точки зрения выборочная функция является результатом отдельного экспе-

римента, после которого данную реализацию xk(t) можно считать детерминированной функцией.

Допустим, что случайный процесс X(t) задан ансамблем реализаций {x1(t), x2(t),… xk(t),…}.

В произвольный момент времени t1 зафиксируем значения всех реализаций {x1(t1), x2(t1),… xk(t1),…}. Совокупность этих значений представляет собой случайную величину X(t1) и является одномерным сечением случайного процесса X(t). Примеры сечений случайного процесса X(t) по

100 выборкам xk(t) (рис. 9.1.1) в точках t1 и t2 приведены на рис. 9.1.2.

Одномерная функция распределения вероятностей F(x, ti) определяет вероятность того,

что в момент времени ti значение случайной величины X(ti) не превысит значения x:

F(x, ti) = P{X(ti)≤x}.

Очевидно, что в диапазоне значений вероятностей от 0 до 1 функция F(x, t) является неубы-

178

вающей с предельными значениями F(- ,t)=0 и F( ,t)=1. При известной функции F(x,t) вероят-

ность того, что значение X(ti) в выборках будет попадать в определенный интервал значений [a, b]

определяется выражением:

P{a<X(ti)≤b} = F(b, ti) – F(a, ti).

Одномерная плотность распределения вероятностей p(x, t) случайного процесса Х(t)

определяет вероятность того, что случайная величина x(t) лежит в интервале {x ≤ x(t) ≤ x+dx}.

Она характеризует распределение вероятностей реализации случайной величины Х(ti) в произ-

вольный момент времени ti и представляет собой производную от функции распределения вероят-

ностей:

Моменты времени ti являются сечениями случайного процесса X(t) по пространству воз-

можных состояний и плотность вероятностей p(x, ti) представляет собой плотность вероятностей случайных величин X(ti) данных сечений. Произведение p(x, ti)dx равно вероятности реализации случайной величины X(ti) в бесконечно малом интервале dx в окрестности значения x, откуда сле-

дует, что плотность вероятностей также является неотрицательной величиной.

Рис. 9.1.3. Распределение вероятностей и плотность вероятностей сечения случайного процесса

На рис. 9.1.3 приведены примеры распределения вероятностей и плотности вероятностей сечения случайного процесса X(t) в точке t1 (рис. 9.1.1). Функции вероятностей определены по

N=1000 выборок дискретной модели случайного процесса и сопоставлены с теоретическими рас-

пределениями при N .

При известной функции плотности вероятностей вероятность реализации значения X(ti) в

произвольном интервале значений [a, b] вычисляется по формуле:

P(a<X(ti)≤b) = ab p(x,ti) dx.

Функция плотности вероятностей должна быть нормирована к 1, т.к. случайная величина обязана принимать какое-либо значение из числа возможных, образующих полное пространство случайных величин:

p(x, ti) dx =1.

Плотность распределения вероятностей, соответственно, определяет функцию распределе-

ния вероятностей:

180

где xo(t) = x(t)-mx(t).

Функция среднего квадратического отклонения (standard deviation) служит амплитудной мерой разброса значений случайного процесса по временной оси относительно математического ожидания процесса:

случайной величины обычно обозначается индексом

2.

На рис. 9.1.4 приведен пример флюктуацион-

ной составляющей процесса X(t) (рис. 9.1.1) в одной из реализаций в сопоставлении со средним квадра-

тическим отклонением ± случайных величин от математического ожидания m(t).

Одномерные законы плотности распределения вероятностей случайных процессов не несут каких-либо характеристик связи между значениями случайных величин для различных значений

аргументов.

Двумерная плотность распределения вероятностей p(x1,t1; x2,t2) определяет вероят-

ность совместной реализации значений случайных величин Х(t1) и Х(t2) в произвольные моменты времени t1 и t2, что характеризует взаимосвязь случайного процесса в различные моменты времени и дает возможность определить характер изменения случайного процесса, т.е. динамику развития процесса во времени. Распределение описывает двумерную случайную величину {X(ti), X(tj)} в

виде функции вероятности реализации случайной величины X(ti) в бесконечно малом интервале dxi в окрестностях xi в момент времени ti при условии, что в момент времени tj значение X(tj) будет реализовано в бесконечно малом интервале dxj в окрестностях xj:

p(x1,t1; x2,t2) = P{x1 ≤ x(t1) ≤ x1+dx1 x2 ≤ x(t2) ≤ x2+dx2 }.

С помощью двумерной плотности распределения вероятностей можно определить корреля-

ционные функции процесса.

Корреляционные функции случайных процессов. Характеристикой динамики изменения случайной величины X(ti) является корреляционная функция, которая описывает случайный про-

цесс в целом:

RX(ti, tj) = M{X(t1) X(t2)}.

Корреляционная функция представляет собой статистически усредненное произведение значений случайного процесса X(t) в моменты времени ti и tj по всем значениям временных осей ti

и tj, а, следовательно, тоже является двумерной функцией. В терминах теории вероятностей корре-

ляционная функция является вторым начальным моментом случайного процесса.

На рис. 9.1.5 приведены примеры реализаций двух случайных процессов, которые характе-

ризуются одной и той же функцией математического ожидания и дисперсии.