Материал: конспект-лекций

171

При разложении функции S(z) по степеням z обратное z-преобразование не вызывает за-

труднений.

8.4. ДИСКРЕТНАЯ СВЕРТКА (КОНВОЛЮЦИЯ) [5,17,21].

Свертка – основной процесс в цифровой обработке сигналов. Поэтому важно уметь эффек-

тивно ее вычислять.

Уравнение дискретной свертки двух функций (сигналов) может быть получено непосред-

ственно из интегрального уравнения свертки при замене интегрирования суммированием мгно-

венных значений функций с шагом t:

При выполнении дискретной свертки мы имеем дело с цифровыми массивами, при этом

шаг дискретизации для массивов по физическому аргументу свертки должен быть равным и при-

нимается за 1, а в качестве аргумента используется нумерация отсчетов в массивах:

y(k) = h(n) * s(k-n) s(k) * h(n) sk * hn.

Техника свертки приведена на рис. 8.4.1. Для вычисления свертки массив одной из функ-

ций (sk- входного сигнала) располагается по ходу возрастания номеров. Массив второй функции

(hn - более короткой, оператор свертки), строится параллельно первому массиву в обратном поряд-

ке (по ходу уменьшения номеров, в режиме обратного времени). Для вычисления yk значение h0

располагается против sk, все значения sk-n перемножаются с расположенными против них значени-

ями hn и суммируются. Результаты суммирования являются выходным значением функции yk, по-

сле чего оператор hn сдвигается на один номер k вперед (или функция sk сдвигается ему навстре-

чу) и вычисление повторяется для номера k+1 и т.д.

Рис. 8.4.1. Техника дискретной свертки.

В начальный момент свертки при вычислении значений yk оператор hn, построенный в ре-

жиме обратного времени, "зависает" для значений k-n при n>k против отсутствующих отсчетов входной функции. "Зависание" исключают либо заданием начальных условий - дополнительных отсчетов, чаще всего нулевых или равных первому отсчету входной функции, либо началом свертки с отсчета входной функции k = n с соответствующим сокращением интервала выходной функции. Для операторов со значениями -n (вперед по времени) такой же момент может наступать

172

и в конце входного массива.

Заметим: свертка функции оператора с единичным входным сигналом представляет собой по-

вторение функции оператора свертки на выходе.

На рис. 8.4.2 приведен пример выполнения дискретной свертки каузальным (односторон-

ним) и четным (симметричным, двусторонним) оператором одного и того же сигнала.

Рис. 8.4.2. Примеры выполнения дискретной свертки.

Прямое вычисление свертки требует K·N умножений, где K – длина исходного сигнала, а N

– длина ядра свертки. Как длина сигнала, так и длина ядра свертки может достигать нескольких тысяч точек, и число умножений становится огромным.

Для дискретной свертки действительны все свойства и теоремы интегральной свертки. В

частности, свертка функций в координатной области отображается произведением их спектров в частотной области, а умножение в координатной области эквивалентно свертке в частотной обла-

сти. Это значит, что для выполнения свертки двух сигналов можно перевести их в частотную об-

ласть, перемножить их спектры, и перевести результат обратно во временную область, т.е. дей-

ствовать по следующей схеме:

173

s(k) S( ), h(n) H( ), Y( ) = S( ) H( ), Y( ) y(k).

С появлением алгоритмов БПФ, позволяющих быстро вычислять преобразования Фурье,

вычисление свертки через частотную область стало широко использоваться. При значительных размерах сигналов и длины ядра свертки такой подход позволяет в сотни раз сократить время вычисления свертки.

Выполнение произведения спектров может производиться только при одинаковой их длине,

и оператор h(n) перед ДПФ необходимо дополнять нулями до размера функции s(k).

Второй фактор, который следует принимать во внимание, это цикличность свертки при ее выполнении в спектральной области, обусловленная периодизацией дискретных функций. Пере-

множаемые спектры являются спектрами периодических функций, и результат на концевых ин-

тервалах может не совпадать с дискретной линейной сверткой, где условия продления интервалов

(начальные условия) задаются, а не повторяют главный период.

На рис. 8.4.3 приведены результаты сверт-

ки сигнала sk, заданного на интервале k=(0-50), с

функцией hn = a exp(-a n), a = 0.1. Свертка, выпол-

ненная через ДПФ, в левой части интервала резко отличается от линейной свертки. Характер иска-

жения становится понятным, если дополнить главный интервал с левой стороны его периодическим продолжением (на рисунке показана часть левого бокового периода, свертка с которым заходит в главный период). Для операторов hn со зна-

чениями n, вперед по положению, аналогичные искажения появятся и в правой части главного пе-

риода. Для устранения таких искажений сигнальная функция должна продлеваться нулями на раз-

мер оператора h(n), что исключит наложение боковых периодов главной трассы функции.

При выполнении свертки через БПФ ощутимое повышение скорости вычислений появляет-

ся только при большой длине функций и операторов (например, M>1000, N>100). Следует также обращать внимание на разрядность результатов, т.к. перемножение чисел дает увеличение разряд-

ности в 2 раза. При ограниченной разрядности числового представления с соответствующим округлением это может приводить к погрешностям суммирования.

В системах оперативной обработки данных часто возникает потребность вычислить свертку сигнала, поступающего на вход системы последовательными порциями (например, от датчиков скважинных приборов). В таких случаях применяется секционная свертка. Суть ее состоит в том,

что каждая из этих частей сворачивается с ядром отдельно, а полученные части объединяются.

Для объединения достаточно размещать их друг за другом с перекрытием в N-1 точку (N – длина ядра свертки), и производить суммирование в местах перекрытия.

ЛИТЕРАТУРА

2. Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных. – М.: Мир, 1989. – 540 с.

174

5. Гольденберг Л.М. и др. Цифровая обработка сигналов: Учебное пособие для вузов. - М.:

Радио и связь, 1990.- 256 с.

13. Канасевич Э.Р. Анализ временных последовательностей в геофизике. - М.: Недра,

1985.- 300 с.

17.Никитин А.А. Теоретические основы обработки геофизической информации: Учебник для вузов. - М.: Недра, 1986.- 342 с.

18.Оппенгейм А.В., Шафер Р.В. Цифровая обработка сигналов. – М.: Связь, 1979. – 416 с.

21.Рапопорт М.Б. Вычислительная техника в полевой геофизике: Учебник для вузов. - М.:

Недра, 1993.- 350 с.

175

Лекция 9. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ И СИГНАЛЫ

Содержание

Введение.

1. Случайные процессы и функции. Случайный процесс. Функциональные характеристики случайного процесса. Одномерная функция распределения вероятностей. Одномерная плотность вероятностей. Функции математического ожидания, дисперсии, среднего квадратического откло-

нения. Двумерная плотность распределения вероятностей. Корреляционные и ковариационные функции случайных процессов. Свойства функций автоковариации и автокорреляции. Взаимные моменты случайных процессов. Статистическая независимость случайных процессов. Классифи-

кация случайных процессов. Эргодические процессы.

2. Функции спектральной плотности. Каноническое разложение случайных функций. Ком-

плексные случайные функции. Финитное преобразование Фурье. Спектры мощности случайных функций. Теорема Винера-Хинчина. Спектр ковариационных функций. Взаимные спектральные функции. Эффективная ширина спектра мощности. Соотношение неопределенности.

3. Преобразования случайных функций. Системы преобразования случайных функций.

Связь выходных статистических функций с входными. Математическое ожидание выходного сиг-

нала. Корреляционная функция выходного сигнала. Функция взаимной корреляции входного и выходного сигналов. Спектральные соотношения. Дисперсия выходного сигнала. Функция коге-

рентности. Преобразования случайных функций. Преобразования стационарных случайных функ-

ций.

4. Модели случайных сигналов и помех. Телеграфный сигнал. Белый шум. Гауссовый шум.

Гауссовые случайные процессы.

ВВЕДЕНИЕ.

Наряду с полезными информационными составляющими в реальных сигналах присутству-

ют помехи и шумы. К помехам обычно относят сигналы от других посторонних источников, "наводки" аппаратуры, влияние дестабилизирующих факторов на основной сигнал и т.п. Физиче-

ская природа помех, как правило, не случайна, и после соответствующего изучения может перево-

диться в разряд детерминированной помехи или исключаться из сигнала. К шумам относят слу-

чайные флуктуации сигнала, обусловленные природой его источника или устройств детектирова-

ния и формирования сигнала. При неизвестной природе помех они также могут относиться к чис-

лу случайных, если имеют случайное вероятностное распределение с нулевым средним значением и дельта-подобную функцию автокорреляции.

Теория вероятностей рассматривает случайные величины и их характеристики в "статике".

Задачи описания и изучения случайных сигналов "в динамике", как отображения случайных явле-