Материал: конспект-лекций

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

181

На рисунке видно, что хотя пространство состоя-

ний обоих процессов практически одно и то же, динами-

ка развития процессов в реализациях существенно раз-

личается. Единичные реализации коррелированных про-

цессов в произвольный момент времени могут быть та-

кими же случайными, как и некоррелированных, а в пределе, во всех сечениях оба процесса могут иметь один и тот же закон распределения случайных величин.

Однако динамика развития по координате t (или любой другой независимой переменной) единичной реализации Рис. 9.1.5. коррелированного процесса по сравнению с некоррели-

рованным является более плавной, а, следовательно, в

коррелированном процессе имеется определенная связь между последовательными значениями случайных величин. Оценка степени статистической зависимости мгновенных значений какого-

либо процесса Х(t) в произвольные моменты времени t1 и t2 и производится функцией корреляции.

По всему пространству значений случайного процесса X(t) корреляционная функция определяется выражением:

RX(ti, tj) =

x(ti)x(tj) p(xi,tj; xi,tj) dxi dxj,

(9.1.6)

При анализе случайных процессов второй момент времени tj удобно задавать величиной сдвига относительно первого момента, который при этом может быть задан в виде координат-

ной переменной:

RX(t, t+ ) = M{Х(t)Х(t+ )}.

(9.1.7)

Функция, задаваемая этим выражением, обычно называется автокорреляционной функцией

случайного процесса.

Ковариационные функции. Частным случаем корреляционной функции является функция автоковариации (ФАК), которая широко используется при анализе сигналов. Она представляет со-

бой статистически усредненное произведение значений центрированной случайной функции X(t)- mx(t) в моменты времени ti и tj и характеризует флюктуационную составляющую процесса:

KХ(ti, tj) =

(x(ti)-mx(ti)) (x(tj)-mx(tj)) p(xi,tj; xi,tj) dxi dxj,

(9.1.8)

В терминах теории вероятностей ковариационная функция является вторым центральным моментом случайного процесса. Для центрированных случайных процессов ФАК тождественна функции автокорреляции. При произвольных значениях mx ковариационные и корреляционные функции связаны соотношением:

KX(t, t+ ) = RX(t, t+ ) - mx2(t).

Нормированная функция автоковариации (функция корреляционных коэффициентов):

182

 

Х(t,t+ ) = KX(t,t+ )/[ (t) (t+ )].

(9.1.9)

Функция корреляционных коэффициентов может принимать значения от +1 (полная стати-

стическая корреляция случайных процессов на интервалах t и t+ ) до -1 (полная статистическая противоположность процессов на этих интервалах). Попутно отметим, что в математической ста-

тистике, а также довольно часто и в технической литературе, эту функцию называют функцией

корреляции. При

= 0 значение Х равно 1, а ФАК вырождается в дисперсию случайного про-

цесса:

 

KX(t) = DX(t).

Отсюда следует, что для случайных процессов и функций основными характеристиками являются функции математического ожидания и корреляции (ковариации). Особой необходимости в отдельной функции дисперсии не имеется.

Рис. 9.1.7. Реализации и ковариационные функции случайных процессов.

Примеры реализаций двух различных случайных процессов и их нормированных ковариа-

ционных функций приведены на рис. 9.1.7.

Свойства функций автоковариации и автокорреляции.

1. Максимум функций наблюдается при = 0. Это очевидно, т.к. при = 0 вычисляется степень связи отсчетов с собой же, которая не может быть меньше связи разных отсчетов. Значе-

ние максимума функции корреляции равно средней мощности сигнала.

2. Функции автокорреляции и автоковариации являются четными: RX( ) = RX(- ). Послед-

нее также очевидно: X(t)X(t+ ) = X(t- )X(t) при t = t- . Говоря иначе, моменты двух случайных величин X(t1) и X(t2) не зависят от последовательности, в которой эти величины рассматриваются,

исоответственно симметричны относительно своих аргументов: Rx(t1, t2) = Rx(t2, t1).

3.При значения ФАК для сигналов, конечных по энергии, стремятся к нулю, что прямо следует из физического смысла ФАК. Это позволяет ограничивать длину ФАК определен-

ным максимальным значением max - радиусом корреляции, за пределами которого отсчеты можно считать независимыми. Интегральной характеристикой времени корреляции случайных величин обычно считают эффективный интервал корреляции, определяемый по формуле:

Tk =

|

183

 

 

 

x( )| d (1/Kx(0))

|Kx( )| d .

 

 

 

 

(9.1.10)

Отсчеты (сечения) случайных функций, отстоящие друг от друга на расстояние большее Tk,

при инженерных расчетах считают некоррелированными.

4. Если к случайной функции X(t) прибавить неслучайную функцию f(t), то ковариационная функция не изменяется. Обозначим новую случайную функцию как Y(t)=X(t)+f(t). Функция мате-

матического ожидания новой величины:

y(t) =

x(t) + f(t). Отсюда следует, что Y(t) - y(t) = X(t) -

x(t) , и соответственно Ky(t1,t2) = Kx(t1,t2).

 

 

5. Если случайную функцию X(t) умножить на неслучайную функцию f(t), то ее корреляци-

онная функция Rx(t1,t2) умножится на f(t1) f(t2). Обоснование данного свойства проводится по ме-

тодике, аналогичной предыдущему пункту.

6. При умножении функции случайного процесса на постоянное значение С значения ФАК увеличиваются в С2 раз.

Взаимные моменты случайных процессов второго порядка дают возможность оценить совместные свойства двух случайных процессов X(t) и Y(t) путем анализа произвольной пары вы-

борочных функций xk(t) и yk(t).

Мера связи между двумя случайными процессами X(t) и Y(t) также устанавливается корре-

ляционными функциями, а именно - функциями взаимной корреляции и взаимной ковариации. В

общем случае, для произвольных фиксированных моментов времени t1 = t и t2 = t+

:

RXY(t, t+ ) = M{X(t)Y(t+

)}.

(9.1.11)

KXY(t, t+ ) = M{(X(t)-mx(t))(Y(t+

)-my(t+ ))}.

(9.1.12)

Взаимные функции являются произвольными функциями, не обладают свойствами четно-

сти или нечетности, и удовлетворяют следующим соотношениям:

 

Rxy(- ) = Ryx( ),

 

(9.1.13)

|Rxy( )|2 Rx(0)Ry(0).

 

 

Если один из процессов центрированный, то имеет место Rxy(t) = Kxy(t).

Нормированная взаимная ковариационная функция (коэффициент корреляции двух процес-

сов) характеризует степень линейной зависимости между случайными процессами при данном сдвиге одного процесса по отношению ко второму и определяется выражением:

xy( ) = Kxy( )/( x y).

(9.1.14)

Статистическая независимость случайных процессов

определяет отсутствие связи

между значениями двух случайных величин X и Y. Это означает, что плотность вероятности од-

ной случайной величины не зависит от того, какие значения принимает вторая случайная величи-

на. Двумерная плотность вероятностей при этом должна представлять собой произведения одно-

мерных плотностей вероятностей этих двух величин: p(x,y) = p(x) p(y).

184

Это условие является обязательным условием статистической независимости случайных величин. В противном случае между случайными величинами может существовать определенная статистическая связь, как линейная, так и нелинейная. Мерой линейной статистической связи яв-

ляется коэффициент корреляции:

rxy = [M{X·Y} – M{X}·M{Y}]/ D{X) D{Y} .

Значения rxy могут изменяться в пределах от -1 до +1. В частном случае, если случайные величины связаны линейным соотношением x=ay+b, коэффициент корреляции равен ±1 в зависи-

мости от знака константы а. Случайные величины некоррелированы при rxy=0, при этом из выра-

жения для rxy следует:

M{X·Y} = M{X}·M{Y}.

Из статистической независимости величин следует их некоррелированность. Обратное не очевидно. Так, например, случайные величины x=cos и y=sin , где - случайная величина с равномерным распределением в интервале 0…2 , имеют нулевой коэффициент корреляции, и

вместе с тем их зависимость очевидна.

Классификация случайных процессов. Случайные процессы различают по степени одно-

родности их протекания во времени (по аргументу). Кроме моментов первого и второго порядка случайные процессы имеют моменты и более высоких порядков. По мере повышения порядка мо-

ментов вероятностная структура случайных процессов и их выборочных реализаций описывается все более детально. Однако практическая оценка этих моментов по выборкам ограничена, в ос-

новном, только стационарными случайными процессами.

Стационарные процессы. Процесс называют стационарным (более точно – слабо стацио-

нарным), если плотность вероятностей процесса не зависит от начала отсчета времени и если на интервале его существования выполняются условия постоянства математического ожидания и дисперсии, а корреляционная функция является функцией только разности аргументов = t2-t1,

т.e.:

mХ(t1) = mХ(t2) = mХ = const,

(9.1.15)

DХ(t1) = DХ(t2) = DХ = const,

 

RX(t1, t1+ ) Rx(t2- , t2) = RХ( ) RХ(- ),

 

rx( ) = Rx( )/Dx, rx(0) = 1, |rx( )| ≤ 1, rx(- ) = rx(

).

Последние выражения свидетельствует о четности корреляционной (а равно и ковариаци-

онной) функции и функции корреляционных коэффициентов. Из него вытекает также еще одно свойство смешанных моментов стационарных процессов:

|Rx( )| Rx(0),

|Kx(

)| Kx(0) Dx.

Чем медленнее по мере увеличения значений

убывают функции Rx( ) и rx( ), тем боль-

ше интервал корреляции случайного процесса, и тем медленнее изменяются во времени его реали-

зации.

185

Если от времени не зависят и моменты более высоких порядков (в частности, асимметрия и эксцесс), то такой процесс считается строго стационарным. В общем случае класс строго ста-

ционарных процессов входит в класс слабо стационарных. И только в случае гауссовых случайных процессов слабая стационарность автоматически влечет строгую, поскольку все характеристики этих процессов определяются средним значением и корреляционной функцией.

Стационарные случайные процессы наиболее часто встречаются при решении физических и технических задач. Теория стационарных случайных функций разработана наиболее полно.

Случайные процессы, удовлетворяющие условиям стационарности на ограниченных, интересую-

щих нас интервалах, также обычно рассматривают в классе стационарных и называют квазистаци-

онарными.

Нестационарные процессы. В общем случае значения функций математического ожида-

ния, дисперсии и корреляции могут быть зависимыми от момента времени t, т.е. изменяться во времени. Такие процессы составляют класс нестационарных процессов.

Эргодические процессы. Строго корректно характеристики случайных процессов оцени-

ваются путем усреднения по ансамблю реализаций в определенные моменты времени (по сечени-

ям процессов). Но большинство стационарных случайных процессов обладает эргодическим свой-

ством. Сущность его заключается в том, что по одной достаточно длинной реализации процесса можно судить обо всех его статистических свойствах так же, как по любому количеству реализа-

ций. Другими словами, закон распределения случайных величин в таком процессе может быть од-

ним и тем же как по сечению для ансамбля реализаций, так и по координате развития. Такие про-

цессы получили название эргодических (ergodic). Для эргодических процессов имеет место:

 

1

 

T

 

 

 

x(t) dt,

mX(t) = M{x(t)} = lim T

 

T

 

0

 

 

 

 

 

 

 

2

 

1

 

T

2

} = lim

 

DХ(t) = M{x(t) - mХ(t)]

T

 

(x(t) - mХ(t)) dt,

 

T

 

 

0

 

 

 

1

 

T

 

RX( ) = M{x(t)x(t+ )} = lim

 

x(t)x(t+ ) dt.

T

 

 

T

 

 

0

 

(9.1.16)

(9.1.17)

(9.1.18)

Эргодичность является очень важным свойством случайных стационарных, и только стаци-

онарных процессов. Математическое ожидание эргодического случайного процесса равно посто-

янной составляющей любой его реализации, а дисперсия является мощностью его флюктуацион-

ной составляющей. Так как определение функций производится по ограниченным статистическим данным одной реализации и является только определенным приближением к соответствующим фактическим функциям процессов, целесообразно называть эти функции статистическими.

Свойства эргодичности могут проявляться только по отношению к двум первым моментам случайного процесса, что вполне достаточно для использования соответствующих методик иссле-

дования процессов. Практическая проверка эргодичности процесса обычно производится провер-

кой выполнения условия Слуцкого:

Источник: https://studfile.net/preview/16436030/

Смотрите также:

_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Исламское государство': причины возникновения, тенденции развития, технологии противостояния