Материал: конспект-лекций

Если ковариационная функция процесса стремится к нулю при возрастании значения аргу-

мента ( ), то процесс относится к числу эргодических, по крайней мере, относительно моментов первого и второго порядков.

Пример. Случайная функция задана выражением Z(t)=X(t)+Y, где X(t) - стационарная эргодичная функция, Y- случайная величина, некоррелированная с X(t). Эргодична ли функция

Z(t)?

По формулам (9.1.16-9.1.18) можно вычислить моменты и для детерминированных процес-

сов. Например, для периодической функции f(t)=a sin t автоковариационная функция описывает-

ся выражением:

K( ) = (a2/2) cos t.

Соответственно, для произвольной периодической функции, представленной рядом Фурье

(разложенной по рядам Фурье):

Таким образом, автоковариационная функция периодической функции также является пе-

риодической функцией от аргумента - величины временного сдвига.

9.2. ФУНКЦИИ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ [2,25,26].

Каноническое разложение случайных функций. Введем понятие простейшей случайной

где Х - обычная случайная величина, (t) - произвольная неслучайная функция. Математическое ожидание простейшей случайной функции:

mx(t) = M{X (t)}= (t) M{X}= (t) mx, (9.2.2)

где mx - математическое ожидание случайной величины Х. При mx = 0 математическое ожидание mx(t) также равно нулю для всех t и функция (9.2.1) в этом случае называется элементарной слу-

чайной функцией. Ковариационная функция элементарной случайной функции определится вы-

ражением:

Kx(t1,t2) = M{X(t1)X(t2)}= (t1) (t2) M{X2}= (t1) (t2) Dx. (9.2.3)

где Dx - дисперсия случайной величины Х.

Центрированную случайную функцию 0X(t) можно представить суммой взаимно некорре-

лированных элементарных случайных функций:

Из взаимной некоррелированности элементарных случайных функций следует взаимная некоррелированность величин Xi. Математическое ожидание и ковариационная функция случай-

Всилу взаимной некоррелированности парных значений XiXj имеет место M{XiXj}= 0 при i

j, и все члены суммы в последнем выражении равны нулю, за исключением значений при i = j,

Произвольная нецентрированная случайная функция соответственно может быть представ-

лена в виде

с математическим ожиданием mx(t) и с той же самой ковариационной функцией (9.2.5) в силу свойств ковариационных функций, где 0X(t) - флюктуационная составляющая случайной функции

X(t). Выражение (9.2.6) и является каноническим разложением функции X(t). Случайные величи-

ны Xi называются коэффициентами разложения, функции i - координатными функциями разло-

жения. При t1 = t2 из (9.2.5) получаем функцию дисперсии случайной функции X(t):

Таким образом, зная каноническое разложение (9.2.6) функции X(t), можно сразу опреде-

лить каноническое разложение (9.2.5) ее ковариационной функции, и наоборот. Канонические раз-

ложения удобны для выполнения различных операций над случайными функциями. Это объясня-

ется тем, что в разложении зависимость функции от аргумента t выражается через неслучайные функции i(t), а соответственно операции над функцией X(t) сводятся к соответствующим опера-

циям математического анализа над координатными функциями i(t).

В качестве координатных функций разложения, как и при анализе детерминированных сиг-

налов, обычно используются гармонические синус-косинусные функции, а в общем случае ком-

плексные экспоненциальные функции exp(j t). С учетом последнего предварительно рассмотрим особенности представления случайных функций в комплексной форме.

Комплексные случайные функции. В общем случае случайный процесс может описывать-

ся комплексной случайной функцией:

где X(t) и Y(t) - действительные случайные функции. Соответственно, математическое ожидание комплексной функции:

Заметим, что комплексное представление случайных функций не более чем удобная для

анализа математическая форма их отображения, которая, с использованием выражений Эйлера,

всегда может быть переведена в форму вещественных функций. Функции дисперсии, корреляции и ковариации должны представлять собой однозначные и неслучайные вещественные характери-

стики случайных процессов и функций, независимо от формы их математического представления.

Это условие будет выполняться при использовании в выражениях моментов второго порядка опе-

раций умножения комплексных функций с комплексно сопряженными функциями. Так, выраже-

ние для вычисления корреляционной функции имеет следующий вид:

Все приведенные выражения в общем случае могут использоваться для любых комплекс-

ных случайных функций с любым физическим смыслом переменной t.

Финитное преобразование Фурье случайных функций. По аналогии с функциями детер-

минированных сигналов, отдельно взятая на интервале 0-Т реализация xk(t) стационарного слу-

чайного процесса 0X(t) может быть представлена в виде ряда Фурье:

189

ют спектральными характеристиками реализаций. Из сравнения выражений (9.2.4) и (9.2.12) не-

трудно сделать заключение, что выражения (9.2.12) относится к числу канонических разложений случайных функций, при этом спектральная характеристика Vx,k), а равно и ее составляющие

Ax,k( ) и Bx,k( ), также являются случайными функциями частоты - единичными реализациями случайных функций Vx( ), Ax( ) и Bx( ). Соответственно, и частотное распределение амплитуд и фаз составляющих гармонических колебаний случайного процесса 0X(t) представляет собой слу-

чайные функции с соответствующими неслучайными функциями дисперсий.

Если функция 0X(t) является дискретной последовательностью случайных величин 0X(n t)

в интервале по n от 0 до N, то, как это и положено для дискретных преобразований Фурье, расчет спектральных характеристик выполняется в Главном частотном диапазоне (до частоты Найквиста

N = / t), с заменой в выражениях (9.2.13) интегрирования на суммирование по n и с соответ-

ствующим изменением пределов суммирования в выражениях (9.2.12). Данное пояснение сохра-

няется и на все дальнейшие выкладки.

Спектральные характеристики единичных реализаций случайных процессов интереса, как правило, не представляют, и на практике используются довольно редко. Спектральная характери-

стика случайной функции 0X(t), как ансамбля реализаций, может быть определена осреднением функций (9.2.12-13) по реализациям, в результате которого мы получим те же самые функции

(9.2.12-13), только без индексов k. При этом, в силу центрированности стационарной случайной функции 0X(t), мы должны иметь:

Последнее будет выполняться при условии M{Vx( i)} = 0, т.е. математическое ожидание значений спектральной характеристики центрированного стационарного случайного процесса должно быть равно нулю на всех частотах. Другими словами, спектральной характеристики цен-

трированного стационарного случайного процесса не существует. Существуют только спектраль-

ные характеристики его отдельных реализаций, которые и используются, например, для модели-

рования этих реализаций.

Для произвольных нецентрированных случайных процессов X(t), при записи последних в форме X(t) = mx(t) + 0X(t), будем соответственно иметь преобразование Фурье:

mx(t) + 0X(t)  mx( ) + Vx( ) = mx( ),

т.е., по существу, функцию спектра (или спектральной плотности) неслучайной функции матема-

тического ожидания случайного процесса, естественно, в пределах той точности, которую может обеспечить выборочный ансамбль реализаций. Это лишний раз подтверждает отсутствие в спек-

трах случайных процессов какой-либо информации о флюктуационной составляющей процессов,

и говорит о том, что фазы спектральных составляющих в реализациях процесса являются случай-

ными и независимыми.

С учетом вышеизложенного, под спектрами случайных процессов (или спектральной плот-

190

ностью при интегральном преобразовании Фурье) повсеместно понимается не преобразования Фурье собственно случайных функций, а преобразования Фурье функций мощности случайных процессов, поскольку функции мощности не зависят от соотношения фаз спектральных составля-

ющих процессов.

Спектры мощности случайных функций определяются аналогично спектрам мощности детерминированных сигналов. Средняя мощность случайного процесса X(t), зарегистрированного в процессе одной реализации на интервале 0-Т, с использованием равенства Парсеваля может быть вычислена по формуле:

где X(f) – спектральная плотность единичной реализации x(t). При увеличении интервала Т энер-

гия процесса на интервале неограниченно нарастает, а средняя мощность стремится к определен-

ному пределу:

где подынтегральная функция представляет собой спектральную плотность мощности данной реа-

лизации случайного процесса:

Очень часто это выражение называют просто спектром мощности. Плотность мощности является вещественной, неотрицательной и четной функцией частоты. В общем случае, плотность мощности необходимо усреднять по множеству реализаций, но для эргодических процессов допу-

стимо усреднение по одной достаточно длительной реализации.

Теорема Винера-Хинчина. Рассмотрим сигнал q(t), представляющий собой одну реализа-

цию случайного стационарного эргодического процесса длительностью Т. Для сигнала q(t) может быть определен спектр Q( ). Если сдвинуть на реализацию процесса, то получим спектр

Q( )exp(j). Для вещественных сигналов Q( ) = Q*( ) равенство Парсеваля по энергии взаи-

модействия двух сигналов

может быть записано в следующей форме:

Поделим обе части данного равенства на Т и перейдем к пределу при Т , при этом в его левой части мы увидим выражение для функции корреляции, а в правой части - преобразова-

ние Фурье спектра мощности сигнала: