Материал: КонспектНМ14_2018

Контрольні питання

1. Поняття нечіткої множини.

2. Функція приналежності нечіткої множини.

3. Способи завдання нечіткої множини.

4. Основні характеристики нечітких множин.

5. Основні типи функцій належності.

6. Методи побудови функції належності нечітких множин.

Тема 2. Операції над нечіткими множинами

Перш ніж приступити до розгляду операцій над нечіткими множинами слід привести деякі важливі міркування, які необхідно брати до уваги при визначенні нечітких аналогів звичайних теоретико-множинних понять.

По-перше, слід мати на увазі, що та або інша нечітка множина є узагальненням класичної множини. Оскільки в загальному випадку можна запропонувати самі різні варіанти подібного узагальнення, це призводить до принципової неоднозначності тих або інших визначень, що мають аналогію в класичній теорії множин і представляють практичний інтерес. Стосовно операцій над нечіткими множинами це означає, що будь-яке визначення тієї або іншої операції повинне бути справедливим в тому окремому випадку, коли замість нечітких множин використовуються звичайні множини. Іншими словами, подібні визначення повинні перетворюватися на відомі визначення теоретико-множинних операцій, якщо функції приналежності, що беруть участь в них, замінити характеристичними функціями множин.

По-друге, якщо при розгляді класичних множин поняття універсуму можна визначити у формі "все що завгодно", то порівняння нечітких множин і виконання над ними різних операцій стає можливим, тільки коли відповідні нечіткі множини визначені на одному і тому ж універсумі.

Нарешті, по-третє, оскільки кожна нечітка множина цілком визначається своєю функцією приналежності, останнє поняття часто використовується як синонім нечіткої множини. При цьому слід пам'ятати, що в загальному випадку одна і та ж функція приналежності може описувати якісно різні нечіткі множини. З іншого боку, хоча одна і та ж нечітка множина або точніше – та або інша властивість у формі нечіткої множини, може бути представлена різними функціями приналежності, що відображають неоднозначність суб'єктивних або інших уявлень, з формальної точки зору всі з них слід розрізняти і говорити про різні нечіткі множини.

Тому, кажучи про відповідність нечітких множин і функцій приналежності, ми розумітимемо цю відповідність у формі математичного ізоморфізму.

Саме наявність подібного ізоморфізму нечітких множин, заданих однією і тією ж функцією приналежності, дозволяє розглядати формальні визначення на необхідному рівні строгості.

Рівність і домінування нечітких множин

По аналогії із звичайними множинами, перш за все, визначимо два прості звичайні відношення, які можуть мати місце між двома довільними нечіткими множинами і , заданими на одному і тому ж універсумі X. Перше з них – рівність двох нечітких множин.

Рівність нечітких множин. Дві нечіткі множини і вважаються рівними, якщо їх функції приналежності приймають рівні значення на всьому універсумі X:

для будь-якого . (4.1)

Рівність множин в даному випадку записується як = .

Наступним простим відношенням є поняття нечіткої підмножини (або нечіткого домінування) довільних нечітких множин. Формальне це визначення також записується за допомогою відповідних функцій приналежності.

Нечітка підмножина. Нечітка множина є нечіткою підмножиною нечіткої множини (записується як ⊆ ) тоді і тільки тоді, коли значення функції приналежності першого не перевищують відповідних значень функції приналежності другого, тобто виконується наступна умова:

для будь-якого . (4.2)

Так само як і для звичайних множин, для позначення нечіткої підмножини використовується символ "⊆". При цьому у разі ⊆ говорять, що нечітка множина домінує нечітку множину , а нечітка множина міститься в нечіткій множині .

По аналогії з класичними множинами серед нечітких множин розрізняють два різні варіанти домінування. Розглянуте вище визначення характерне для так званої невласної підмножини, коли не виключається випадок можливої рівності двох нечітких множин і . Якщо ж у визначенні нечіткої підмножини виключається рівність відповідних нечітких множин у формі (4.1), то в цьому випадку називається власною нечіткою підмножиною і позначається: ⊂ . При цьому часто говорять, що нечітка множина строго домінує нечітка множина , а нечітка множина строго міститься в нечіткій множині .

Якщо для двох нечітких множин і , заданих на одному універсумі, не виконується ні відношення ⊆ , ні відношення ⊆ , то в цьому випадку говорять, що нечіткі множини і незрівняні.

Операції перетину, об'єднання і різниці нечітких множин

Хай і – довільні (кінцеві або нескінченні) нечіткі множини, задані на одному і тому ж універсумі X.

Перетин. Перетином двох нечітких множин і називатимемо деяку третю нечітку множину , задану на цьому ж універсумі X, функція приналежності якого визначається за наступною формулою:

для будь-якого . (4.3)

Операція перетину нечітких множин по аналогії із звичайними множинами позначається знаком "∩". В цьому випадку результат операції перетину двох нечітких множин записується у вигляді: = ∩ .

В цьому випадку – нечітка множина з функцією приналежності , яка визначається по формулі (4.3). Як неважко відмітити, перетин ∩ є найбільша нечітка підмножина , яка міститься одночасно в нечітких множинах і .

Операцію перетину нечітких множин в сенсі (4.3) іноді називають min-перетином або - перетином. Останнє позначення пов'язане з визначенням логічної операції "І", яка в математичній логіці позначається знаком " ". Відповідно функція приналежності перетину в цьому випадку записується у вигляді: для будь-якого .

При цьому знак " " використовується як синонім операції знаходження мінімального значення. Оскільки в практиці нечіткого моделювання ця операція використовується найчастіше, надалі, кажучи про перетин нечітких множин, якщо явно не вказане інше, ми матимемо на увазі min-перетин ( - перетин).

В якості прикладу розглянемо скінченну нечітку множину , яка представляє в деякому контексті властивість "невелике натуральне число", і дорівнює: ={<1, 1.0>, <2, 1.0>, <3, 0.9>, <4, 0.8>, <5, 0.6>, <6, 0.5>, <7, 0.4>, <8, 0.2>, <9, 0.1>}, і скінченна нечітка множина , яка представляє властивість "натуральне число, яке приблизно дорівнює двом", і дорівнює: ={<1, 0.5>, <2, 1.0>, <3, 0.6>, <4, 0.4>, <5, 0.2>,<6, 0>,<7, 0>,<8, 0>, <9, 0>}.

Тоді нечітка множина як результат операції перетину  =  ∩  буде дорівнювати: ={<1, 0.5>, <2, 1.0>, <3, 0.6>, <4, 0.4>, <5, 0.2>, <6, 0>, <7, 0>, <8, 0>, <9, 0>}. Змістовно нечітка множина може представляти в цьому ж контексті "невелике натуральне число, яке приблизно дорівнює двом".

Результат операції перетину двох і більшої кількості нечітких множин, заданих на одному і тому ж універсумі X, також можна зобразити графічно в декартовій системі координат на площині. Цей спосіб особливо зручний для візуалізації операцій з нескінченними нечіткими множинами. В даному випадку кожна з нечітких множин зображається відповідною функцією приналежності, а функція приналежності результату операції перетину зображається потовщеною лінією. Для додаткової наочності область, що розташовується нижче за значення результуючої функції приналежності, зображається затемненою.

Для випадку перетину двох нечіткої безлічі ∩ , заданої різними функціями приналежності, результат операції зображений на рис. 4.1, а, б. При цьому лінійні Z-образна і S-образна функції приналежності мають параметри a=3, b=6, а П-образні функції приналежності – а=1, b=3, c=4, d=7 і a=3, b=6, с=7, d=9 відповідно.

Рис 4.1. Графічне представлення операції перетину двох нечітких множин і , заданих лінійними Z-образної і S-образної функціями приналежності (а) і П-образними (б) функціями приналежності

Об'єднання. Об'єднанням двох нечітких множин і називається деяка третя нечітка множина , задана на цьому ж універсумі X, функція приналежності якого визначається за наступною формулою:

для будь-якого . (4.4)

Операція об'єднання нечітких множин по аналогії із звичайними множинами позначається знаком "∪". В цьому випадку результат операції об'єднання двох нечітких множин записується у вигляді: = ∪ .

Операцію об'єднання нечітких множин в сенсі (4.4) іноді називають max-об’єднанням або -об’єднанням. Останнє позначення пов'язане з визначенням логічної операції "АБО" (невиключного АБО), яка в математичній логіці позначається знаком " ". Відповідно функція приналежності об'єднання в цьому випадку часто записується у вигляді: для будь-якого . При цьому знак " " використовується як синонім операції максимуму. Оскільки в практиці нечіткого моделювання ця операція використовується найчастіше, надалі, кажучи про об'єднання нечітких множин, якщо явно не вказане інше, ми матимемо на увазі їх mах-об'єднання ( -об'єднання).

Як приклад розглянемо нечітку множину , яка, як і вище, представляє в деякому контексті "невелике натуральне число", і дорівнює: ={<1, 1.0>, <2, 1.0>, <3, 0.9>, <4, 0.8>, <5, 0.6>, <6, 0.5>, <7, 0.4>, <8, 0.2>, <9, 0.1>}, і нечітка множина , яка представляє "натуральне число, яке приблизно дорівнює двом", і дорівнює: ={<1, 0.5>, <2, 1.0>, <3, 0.6>, <4, 0.4>, <5, 0.2>, <6, 0>, <7, 0>, <8, 0>, <9, 0>}. Тоді нечітка множина як результат операції об'єднання ∪ буде дорівнювати: ={<1, 1.0>, <2, 1.0>, <3, 0.9>, <4, 0.8>, <5, 0.6> <6, 0.5>, <7, 0.4>, <8, 0.2>, <9, 0.1>}. Змістовно нечітка множина може представляти в цьому ж контексті "невелике натуральне число або натуральне число, яке приблизно дорівнює двом".

Результат операції об'єднання двох і більшої кількості нечітких множин, заданих на одному і тому ж універсумі X, можна зобразити графічно в декартовій системі координат на площині. Для випадку об'єднання двох нечітких множин і , заданих різними функціями приналежності, результат операції зображений на рис. 4.2, а, б.

Рис. 4.2. Графічне представлення операції об'єднання двох нечітких множин і , заданих лінійними Z-образною і S-образною функціями приналежності (а) і П-образними∪ (б) функціями приналежності

Різниця. Різницею двох нечітких множин і називається деяка третя нечітка множина , задана на цьому ж універсумі X, функція приналежності якого визначається за наступною формулою:

для будь-якого (4.5)

де знак мінус означає звичайну операцію арифметичної різниці двох чисел. Операція різниці двох нечітких множин по аналогії із звичайними множинами позначається знаком "\". В цьому випадку результат операції різниці двох нечітких множин можна записати у вигляді: = .

Так, якщо, як і вище, розглянути нечітку множину , яка дорівнює: ={<1, 1.0>, <2, 1.0>, <3, 0.9>, <4, 0.8>, <5, 0.6>, <6, 0.5>, <7, 0.4>, <8, 0.2>, <9, 0.1>}, і нечітка множина, яка дорівнює: ={<1, 0.5>, <2, 1.0>, <3, 0.6>, <4, 0.4>, <5, 0.2>, <6, 0>, <7, 0>, <8, 0>, <9, 0>}, то різниця буде дорівнювати: ={<1, 0.5>, <2, 0>, <3, 0.3>, <4, 0.4>, <5, 0.4>, <6, 0.5>, <7, 0.4>, <8, 0.2>, <9, 0.1>}.

Змістовно нечітка множина може бути в тому ж контексті "невеликим натуральним числом, що не є приблизно рівним двом". Для цих же двох нечітких множин різниця буде дорівнювати порожній множині, оскільки всі значення функції приналежності результату будуть дорівнювати нулю. Змістовно нечітка множина може представляти в тому ж контексті "натуральне число, яке приблизно дорівнює двом і, що не є невеликим".

Результат операції різниці двох нечітких множин і , заданих на одному і тому ж універсумі X різними функціями приналежності, зображений на мал. 4.3, а, б.

Рис. 4.3. Графічне представлення операції різниці двох нечітких множин і , заданих лінійними Z-образною і S-образною функціями приналежності (а) і П-образними (б) функціями приналежності

Симетрична різниця. Слід відмітити, що операція різниці двох нечітких множин на відміну від операцій -об’єднання і -перетину не є комутативною. За аналогією із звичайними множинами іноді виявляється корисною операція симетричної різниці двох нечітких множин і (позначатимемо її через ). За визначенням: