Материал: kozinova_at_osharina_nn_matematika_lineinaia_algebra_analiti

Пример 9.

Найдем проекцию вектора a

c на

вектор b

c , если

a

2 i 4 j 7 k , b

i 3 j 5 k и c

5 i j

4 k .

Введем обозначения:

d

a

c

7 i

5 j

3 k ,

g

b

c

6 i

2 j

9 k

Искомая проекция вектора:

d g

7 6 5 2 3 9

5

пр d

d

cos

g

36 4 81

11

g

Векторным произведением вектора

а на вектор

b называется вектор

с

a b , модуль которого равен произведению их модулей на синус угла

sin , где 0 − угол между векторами.

c

a

b

Примечание. Векторы a ,

b

и

c образуют правую тройку векторов,

если кратчайший поворот вектора

а

в сторону вектора b виден из точек

с

x1, y1, z1 и

x2 , y2 , z2

Выражение

векторного

произведения

а

b

через координаты сомножителей:

i

j

k

y

z

x

z

x

y

a b

x

y

z

i

1

1

j

1

1

k

1

1

1

1

1

y2

z2

x2

z2

x2

y2

x2

y2

z2

Свойства векторного произведения:

1.

а b

0 , если a и b − либо нулевые, либо коллинеарные векторы

2.

а b

b а

11

x1, y1, z1 ,

x2 , y2 , z2 и

x3 , y3 , z3 заданы своими

Если векторы а

b

с

координатами, то их смешанное произведение определяется формулой:

x1

y1

z1

y2

z2

x2

z2

x2

y2

a b с

x

y

z

x

y

z

2

2

2

1

y

3

z

3

1

x

z

3

1

x

y

3

x3

y3

z3

3

3

Свойства смешанного произведения:

1.

a b

c

a b c

,

поэтому

смешанное

произведение обозначается

знак a b c

b a c c b a

a c b

Примечание. Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда

0 .

выполняется равенство a b c

Объём параллелепипеда, построенного на векторах a , b

и c

V a b c

Объём пирамиды построенной на векторах a , b

и c

Определим

векторы

AB , AC

и АD ,

исходящие из вершины A и

совпадающие с рёбрами параллелепипеда:

2, 4,2

AB 1,0,4 , AC 0, 2,2 , AD

Найдём смешанное произведение этих векторов:

0

4

2 2

0 2

0

2

1

AB AC AD

0

2

2

0

4

( 4 8) 4 4 20

2

4

2

4

2

2 2

2

4

Пример 13.

Установим, компланарны ли векторы a ,

b

и c , если

2,3, 1 ,

1, 1,3 ,

1,9, 11 .

a

b

c

3

1

1

3

1

3

1

1

2

1

2

3

1

a b c

1

3

1

9

11

9

11

1

11

1

9

2(11

27) 3( 11 3) 1(9 1) 0

Следовательно, векторы a , b , c

компланарны.

n - мерным вектором называется упорядоченный набор из n

чисел,

представленный в виде X

x1, x2 ,..., xn , где

xi − i - тая координата вектора.

Два n - мерных вектора

X x1, x2 ,...,xn и

Y y1, y2 ,..., yn равны

X Y ,

когда равны их соответствующие координаты − xi yi , i 1,n .

Длиной (нормой) n - мерного вектора X называется число

x 2 x

2

2 .

X

XX

... x

1

2

n

на соответствующие координаты вектора -

ui xi ,

i 1,n , т.е.

вектор Z X Y ,

координаты

которого

zi равны суммам

соответствующих координат этих

векторов -

zi xi yi , i 1,n , т.е.

Z X Y x1 y1, x2

y2 ,...,xn yn .

5.

X X X

6.

Существует нулевой вектор O 0,0,...,0 такой, что

X O X для

Скалярным

произведением

двух

векторов

X x1, x2 ,..., xn и

Y y1, y2 ,..., yn

называется

число,

равное

сумме произведений

cos

XY

, где 0 .

X

Y

Два ненулевых n - мерных вектора называются коллинеарными, если

угол между ними равен 0

или , и ортогональными, если угол между ними

равен / 2 .

X x1, x2 ,..., xn и

Для

ненулевых

коллинеарных векторов

Y

y , y

2

,..., y

n

справедливо соотношение Y X

или

x1

x2

...

xn

.

1

y1

y2

yn

Для

двух

ненулевых

ортогональных векторов

X

и

Y

справедливо

соотношение XY 0 или

x1 y1 x2 y2 ... xn yn 0 .

7,3,8 и 5 денежных единиц. Определим стоимость набора

товаров и ее

изменение при изменении цены соответственно на 2,-1,4 и

(-2) денежные