Материал: Краткий курс физики. учебное пособие. Гиоргадзе А.Л., Бурова С.В

∆E = E₂ – E₁ = (E_к2 + E_п2) - (E_к1 + E_п1) =

= ( + mgh₂) - ( + mgh₁) =

= ( + ρ∆Vgh₂) - ( + ρ∆Vgh₁).

В идеальной жидкости в силу отсутствия сил трения приращение энергии должно равняться работе, совершаемой над выделенным объемом только силами давления.

Причем, силы давления, перпендикулярные к направлению перемещения частиц, работы не совершают, а силы давления, приложенные к сечениям S₁ и S₂, совершают отличную от нуля работу А, равную:

A = p₁S₁∆l₁ – p₂S₂∆l₂ = (p₁ – p₂)∆V.

Приравняв выражения для приращения энергии и работы, и проведя математические преобразования, получим

+ ρgh₁ + p₁ = + ρgh₂ + p₂,

или + ρgh + p = const, Данное выражение называется уравнением Бернулли. Здесь - динамическое давление, ρgh – гидростатическое давление, p – статическое давление (давление в невозмущенном потоке), p₀ = p + – полное давление (рис. 2.28).

Рис. 2.28

Рассмотрим случай горизонтального потока жидкости (отсутствует гидростатическая составляющая давления). Полное давление p₀ измеряется трубкой Пито (рис. 2.29). В точке 2 скорость жидкости равна нулю, следовательно, равно нулю и динамическое давление:

p₂ = p₁ + = p_0…

Рис. 2.29

Рис. 2.30

Рис. 2.31

Статическое давление p измеряется с помощью зонда – изогнутой трубки с закрытым концом и боковыми отверстиями (рис. 2.30). В точках 1 и 2 динамические давления равны, следовательно,

p₂ = p₁ = p.

С помощью трубки Пито – Прандтля можно измерить динамическое давление и скорости течения жидкости (газа) (рис. 2.31).

Формула Торричелли. Для идеальной жидкости скорость v истечения жидкости из отверстия сечением S₂, расположенного на глубине h под открытой поверхностью сечением S₁>>S₂, совпадает со скоростью, которую приобретает любое тело, падая с высоты h (рис. 2.32).

Д

Рис. 2.32

ля трубки тока переменного сечения уравнение Бернулли можно написать в виде:

+ ρgh₁ + p₁ = + ρgh₂ + p₂,

Статические давления в обоих сечениях равны атмосферному и одинаковы p₁ = p₂. Уравнение примет вид:

+ gh₁ = + gh₂ .

Из уравнения неразрывности струи следует, что = и с учетом условия S₁ >> S₂ получается, что = 2g(h₂ – h₁) = 2gh, откуда выводится формула Торричелли

v₂ = v = .

Вязкость. Всем реальным текучим телам (жидкостям и газам) в различной мере присуще свойство оказывать сопротивление перемещению одной их части относительно другой, которое объясняется появлением сил внутреннего трения F_тр, или вязкостью. Основной закон вязкого течения гласит, что

F_тр = η | | S,

где F_тр – тангенциальная (касательная) сила, вызывающая сдвиг слоев жидкости (газа) друг относительно друга, S – площадь слоя, по которому происходит сдвиг, = gradv – градиент скорости течения (быстрота изменения скорости от слоя к слою в направлении, перпендикулярном движению слоев), иначе – скорость сдвига. Коэффициент пропорциональности η называется коэффициентом динамической вязкости или просто вязкостью. Он характеризует сопротивление жидкости (газа) смещению ее слоев. Величина φ = называется текучестью.

Вязкость – величина, численно равная тангенциальной силе, приходящейся на единицу площади, необходимой для поддержания разности скоростей, равной единице, между двумя параллельными слоями жидкости (газа), расстояние между которыми равно единице. В системе СИ [η] = паскаль-секунда (Па·с), в СГС [η] = пуаз (П), причем 1 Па·с = 10 П.

Величина  = называется кинематической вязкостью и численно равна отношению динамической вязкости η к плотности ρ вещества. Измеряется в в СИ, и в СГС - в стоксах.

Вязкость зависит от температуры. У жидкостей вязкость уменьшается с увеличением температуры, а у газов, наоборот, увеличивается. Это указывает на различие механизмов внутреннего трения в жидкостях и газах.

М етоды определения вязкости.

1. Метод Стокса (рис. 2.23) основан на измерении скорости медленно движущихся в жидкости небольших тел сферической формы.

На шарик, плотностью  и радиусом r, падающий в жидкости вязкостью  и плотностью _ж вертикально вниз со скоростью , действуют три силы: сила тяжести , сила Архимеда и сила сопротивления , при равномерном движении, откуда

Рис. 2.23

2. Метод Пуазейля (рис. 2.34). Этот метод основан на ламинарном течении жидкости в тонком капилляре. Рассмотрим капилляр радиусом R и длиной l. В жидкости мысленно выделим цилиндрический слой радиусом r и толщиной dr (рис. 41).

С

Рис. 2.34

ила внутреннего трения, действующая на боковую поверхность этого слоя . При установившемся течении эта сила уравновешивается силой давления, действующей на основание того же цилиндра , откуда . Интегрируя, получаем . За время t из капилляра вытечет жидкость, объем которой

Откуда вязкость .

Ламинарное и турбулентное течение. Наблюдается два вида течения жидкости (газа). Ламинарным (слоистым) называется стационарное течение, при котором слои жидкости (газа) скользят относительно друг друга не перемешиваясь. При увеличении скорости или поперечных размеров потока характер течения изменяется. Возникает энергичное перемешивание жидкости – турбулентное течение. Турбулентным (вихревым) называется нестационарное течение жидкости (газа), при котором скорость частиц в каждом данном месте все время изменяется беспорядочным образом.

Характер течения определяется значением безразмерной величины

Re = ,

называемой числом Рейнольдса, где ρ – плотность жидкости (газа), v – средняя скорость потока, η – коэффициент вязкости, l – характерный для поперечного сечения размер, например диаметр круглого сечения. Используя кинематическую вязкость, числу Рейнольдса можно придать вид:

Re = .

Движение тел в жидкостях и газах. В случае обтекания вязкой жидкостью (газом) тела, расположенного несимметрично потоку жидкости или обладающего несимметрией собственной формы, результирующая сила , действующая на тело со стороны потока, не совпадает с направлением потока. Результирующую силу можно разложить на две составляющие: _сопр – лобовое сопротивление, направленное вдоль потока, и _под – подъемную силу, направленную перпендикулярно потоку, и записать выражение для сил = _сопр + _под (рис. 2.35).

С

Рис. 2.35

лой вязкой жидкости, непосредственно прилегающий к твердому телу, прилипает к его поверхности и увлекается им полностью. Следующий слой увлекается за телом с меньшей скоростью. Таким образом, между слоями возникают силы внутреннего трения, которые обусловливают сопротивление трения. Тело оказывается окруженным слоем жидкости, называемым пограничным слоем, в котором имеется градиент скорости. Наличие пограничного слоя и увеличение скорости движения приводит к тому, что поток отрывается от поверхности тела, в результате чего позади тела возникают вихри, вихри уносятся потоком и постепенно затухают, энергия вихрей расходуется на нагревание жидкости, давление в вихревой области оказывается пониженным, результирующая сил давления становится отличной от нуля и создает сопротивление давления.

Таким образом, лобовое сопротивление складывается из сопротивления трения и сопротивления давления. При больших значениях Re в лобовом сопротивлении преобладают силы давления. При малых Re основную роль играет сопротивление трения. В этом случае сила сопротивления F по закону, установленному Стоксом, прямо пропорциональна первой степени скорости v, коэффициенту вязкости η и линейным размерам тела l

F ~ ηlv.

Сила сопротивления движению маленького шарика в жидкости с небольшой скоростью по формуле Стокса равна F = 6πηrv, где r – радиус шарика.

В идеальной жидкости равномерное движение тел происходит без лобового сопротивления.

Для возникновения подъемной силы вязкость жидкости не имеет существенного значения. Например, при обтекании идеальной жидкостью несимметричного по форме тела (рис. 2.36) над телом линии тока сгущаются, так как скорость потока увеличивается, а это приводит к уменьшению давления и к возникновению подъемной силы.

Пример решения задачи

Вдоль оси горизонтальной трубки диаметром d, по которой течет углекислый газ (), установлена трубка Пито-Прандтля. Пренебрегая вязкостью, определите объем газа, проходящего за t сек через сечение трубки, если разность уровней в жидкостном манометре составляет h. Плотность жидкости _ж.

Решение. Динамическое давление равно разности полного и статистического, что и определяется с помощью трубки Пито-Прандтля.

Рис. 2.37