Материал: Краткий курс физики. учебное пособие. Гиоргадзе А.Л., Бурова С.В

Из преобразований Лоренца, в которых надо учесть, что это одновременно скорость тела и системы К' относительно К и, что для мгновенного определения длины t₁ = t₂ (то есть ∆t = 0), получим

L₀ = x₂' – x₁' = γ(x₂ – vt₂) - γ(x₁ – vt₁) = γ(x₂ – x₁ - vt₂ + vt₁) = γ(x₂ – x₁) = γL.

То есть, продольные размеры тела, движущегося со скоростью v → c, сокращаются:

L = .

Поперечные размеры движущегося тела не изменяются.

Относительность хода времени. Из преобразований Лоренца видно, что время протекает по-разному в разных ИСО. В частности, события, происходящие в системе К одновременно (∆t = 0), но в разных точках пространства, в К' могут быть не одновременными: ∆t' = - может быть как положительным, так и отрицательным (относительность одновременности). Часы, движущиеся вместе с системой отсчета (то есть неподвижные относительно К', или ∆x' = 0), показывают собственное время этой ИСО. С точки зрения наблюдателя в системе К, эти часы отстают от его собственных (замедление хода времени). Рассматривая два отсчета движущихся часов как два события, получим:

∆t = γ(∆t' + ∆x') = γ∆t'.

Равноправие всех ИСО проявляется в том, что с точки зрения наблюдателя К' часы, неподвижные относительно К, будут отставать от его собственных.

Сложение скоростей в СТО. Если частица движется со скоростью относительно ИСО К', то ее скорость относительно К можно найти, выразив dx, dy, dz, dt из формул:

∆x = γ(∆x' + v∆t'), ∆y = ∆y', ∆z = ∆z', ∆t = γ(∆t' + ∆x'),

подставив в формулы для скоростей v_x = , v_y = , v_z = . Откуда получаются следующие соотношения:

v_x , v_y , v_z .

При v_x << c и V << c происходит переход к нерелятивистскому закону сложения скоростей. Если V и v меньше c, то и скорость тела v относительно К будет меньше c. Скорость света c является максимально возможной скоростью передачи взаимодействий в природе.

Интервал. Преобразования Лоренца не сохраняют ни величину интервала времени, ни длину пространственного отрезка. В обычном пространстве расстояние ∆L между двумя точками определяется выражением (∆L)² = (∆x)² + (∆y)² + (∆z)² и является инвариантом, то есть не зависит от выбора системы координат. В четырехмерном пространстве-времени аналогичное выражение для расстояния между двумя точками (c∆t)²+(∆x)²+(∆y)²+(∆z)² при переходе к другой ИСО изменяет свое числовое значение, однако, при преобразованиях Лоренца сохраняется величина

s₁₂² = (c∆t)² - (∆x)² - (∆y)² - (∆z)² = (c∆t)² - (∆r)²,

где s₁₂ называется интервалом между событиями 1 и 2 (∆t = t₂ – t₁, ∆r = r₂ – r₁). Если s₁₂² > 0, то интервал между событиями называют временеподобным, так как в этом случае существует ИСО, в которой ∆ r = 0, то есть события происходят в одном месте, но в разное время. Если s₁₂² < 0, то интервал между событиями называют пространственноподобным, так как в этом случае существует ИСО, в которой ∆t = 0, то есть события происходят одновременно в разных точках пространства. Убедимся в инвариантности интервала. В системе К имеем s = (c∆t)² - (∆x)² - (∆y)² - (∆z)². В системе К' для тех же событий (s₁₂')² = (c∆t')² - (∆x')² - -(∆y')²- (∆z')². Подстановка ∆x' = γ(∆x –V∆t), ∆y' = ∆y, ∆z' = ∆z, ∆t' = γ(∆t – ∆x) в выражение для (s₁₂')² приводит к равенству (s₁₂')² = s₁₂², что доказывает инвариантность интервала.

Лоренцевы четырехмерные векторы (4-векторы). Величина (A_x, A_y, A_z, A_) = ( , A_), которая при переходе из системы К в систему К' преобразуется так же, как (x, y, z, ct), то есть:

A_x' = γ (A_x – A_), A_y ' = A_y, A_z' = A_z, A_' = γ(A_ – A_x),

называется лоренцевым четырехмерным вектором. Величины A_x, A_y, A_z– пространственные компоненты 4-вектора, а A_ - его временная компонента. Сумма двух 4-векторов и произведение 4-вектора на число – тоже 4-вектор. При изменении ИСО сохраняется величина, аналогичная интервалу:

A² = A_² - ( )²,

а также скалярное произведение (A_B_ - ). Физическое равенство, записанное в виде равенства двух 4-векторов, остается верным во всех ИСО.

Импульс и энергия в СТО. Релятивистский 4-вектор импульса определяют как

= m = γm , p_ = md = γmc,

где d = γdt – бесконечно малое изменение собственного времени частицы (измеренное в ИСО), скорость которой равна скорости частицы в данный момент. Пространственные компоненты 4-вектора образуют релятивистский импульс = γm , а временная компонента p_ = , где Е – релятивистская энергия частицы: Е = γmc², поэтому 4-вектор ( ) называют 4-вектором энергии-импульса. Релятивистские энергия и импульс связаны соотношением: = . При переходе в другую ИСО энергия и импульс преобразуются по закону: p_x' = γ(p_x – ), p_y' = p_y, p_z' = p_z, E' = γ(E –Vp_x). Релятивистская энергия частицы не равна нулю при v = 0, то есть она состоит из энергии покоя mc² и кинетической энергии:

Е = γmc² = mc² + Е_к,

причем релятивистская кинетическая энергия при << 1 переходит в классическую кинетическую энергию. Так как величина - p² сохраняется, ее можно вычислить в системе отсчета, где частица в данный момент покоится:

- p² = m²c² или E² – p²c² = m²c⁴.

Для частиц с массой, равной нулю (фотонов), связь между энергией и импульсом принимает вид:

Е = рc.

Между импульсом и кинетической энергией возможно соотношение:

p²c² = Е_к(Е_к + 2mc²).

Законы сохранения, как и другие законы природы, должны соблюдаться во всех ИСО, то есть быть инвариантными по отношению к преобразованиям Лоренца. Запишем законы сохранения релятивистской энергии и релятивистского импульса для абсолютно неупругого удара двух тел массой m каждое, двигавшихся навстречу друг другу с одинаковой скоростью v.

Закон сохранения энергии будет иметь вид 2γmc² = Мc², а закон сохранения импульса записывается как 2γ²mv = γМv, где масса составной частицы после соударения М равна 2γm. Видно, что масса М больше суммы начальных масс частиц. Увеличение внутренней энергии при неупругом ударе на ∆Е приводит к увеличению массы составной частицы на .

Примеры решения задач

Пример 1. Рассмотреть изменение продольных размеров квадрата, движущегося со скоростью v = 0,8 c вдоль одной из своих сторон.

Решение: При движении со скорость, близкой скорости света c продольные размеры квадрата будут изменяться так, что он превращается в прямоугольник. Форму прямоугольника можно оценить по углу  между его диагоналями arcctg = arcctg0,6;  59 .

Пример 2. Пусть энергия покоящегося тела равна Е. Найдите импульс этого тела в системе отсчета, движущегося со скоростью v.

Решение: В соответствии с формулами релятивистского преобразования импульс равен . Видно, что получилась формула для релятивистского импульса с массой m = .

Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Колебательные процессы широко распространены в природе и технике: качание маятника часов, переменный электрический ток и т.д. Физическая природа колебаний может быть различной. В данном разделе будут рассмотрены механические колебания и процесс распространения механических колебаний в сплошной среде.

Цель главы – изучить характеристики и особенности различных видов механических колебаний: гармонических, свободных незатухающих, затухающих, вынужденных, закономерности распространения колебаний в сплошной среде