Материал: Краткий курс физики. учебное пособие. Гиоргадзе А.Л., Бурова С.В

Определить p можно с помощью выражения:

Представим объем в виде выражения: и воспользовавшись формулой: получим решение в общем виде:

2.8. Неинерциальные системы отсчета

Законы Ньютона выполняются только в инерциальных системах отсчета (ИСО). Относительно всех ИСО выделенное тело движется с одинаковым ускорением . Любая неинерциальная система отсчета (НСО) движется относительно инерциальной с некоторым ускорением, поэтому ускорение тела относительно НСО будет _отн ≠ . Обозначим разность ускорений тела в инерциальной и неинерциальной системах символом *:

* = – _отн .

При поступательном движении НСО * = const для всех точек пространства и представляет собой ускорение НСО. Для вращающейся НСО * = * ( ) в разных точках пространства будет различным, так как является функцией радиуса-вектора , определяющего положение точки относительно неинерциальной системы отсчета.

Силы инерции. Пусть результирующая всех сил, обусловленных действием на данное тело со стороны других тел, равна . Тогда, исходя из второго закона Ньютона для тела в ИСО, можно прийти к следующему соотношению:

= m  = m( _отн + *)  + (- m *) = m _отн  + _ин = m _отн,

где _ин – сила инерции, которая показывает, что даже при = 0 тело будет двигаться по отношению к НСО с ускорением (– *), так, как если бы на него действовала сила, называемая силой инерции, равная (– m *). Соответственно уравнение второго закона Ньютона для тела в НСО будет иметь вид:

m _отн = + _ин.

Центробежная сила инерции. Силу инерции, возникающую во вращающейся (по отношению к инерциальной системе) системе отсчета (НСО), называют центробежной силой инерции. Эта сила действует на тело во вращающейся системе, независимо от того, покоится тело в этой системе или движется относительно нее с определенной скоростью _отн. В общем случае, с учетом закона сложения скоростей, для равномерно вращающейся с угловой скоростью системы отсчета, скорость тела v определяется по формуле:

= _отн + [ , ].

Применяя формулу = ( )_отн + [ , ] (где член ( )_отн определяет скорость изменения вектора относительно вращающейся системы координат), выражающую производную по времени от любого вектора , который вращается с угловой скоростью , можно получить аналогичное кинематическое соотношение и для ускорения . Далее применяя формулу к каждому из членов уравнения = _отн + [ , ], получим соотношение для ускорения виде:

= = + [ , ] =

( )_отн+ [ , _отн] + [ , ( _отн + [ , ])] =

_отн + 2[ , _отн] + [ , [ , ]] = _отн + _кор + _цб.

Слагаемое ускорения _n = [ ,[ , ]] представляет собой нормальное (центростремительное) ускорение данной точки системы отсчета, связанное с поворотом вектора скорости [ , ] вместе с системой отсчета, направленное в сторону оси вращения и равное _n = ω²R (R – расстояние до оси). Дополнительное слагаемое _кор = 2[ , _отн], которое называют кориолисовым ускорением, связано, во-первых, с поворотом вектора скорости _отн вместе с системой отсчета, и, во-вторых, с изменением скорости [ , ] за счет перемещения тела из одной точки вращающейся НСО в другую.

Из формулы = _отн + _кор + _цб получается, что _отн = + (- _кор) + (- _цб), или

m _отн = m + m (- _кор) + m(- _цб) = + _ин.

Рис. 2.38

Учитывая, что сила инерции представляет собой сумму двух членов, один из которых называют силой Кориолиса, а другой - центробежной силой, можно записать соотношения:

_ин = _кор + _цб = m(- _кор) + m(- _цб) =

= m(-2[ , _отн]) + m(-[ , [ , ]]) =

2m[ _отн, ] + m[ , [ , ]] = 2m[ _отн, ] + mω²R.

Сила Кориолиса направлена перпендикулярно скорости _отн тела. Центробежная сила инерции направлена от оси вращения (вектор направлен от оси вращения перпендикулярно к ней) (рис. 2.38).

Пример решения задачи

Найдите отклоняющее действие силы Кориолиса на тело, свободно падающее с высоты h на экваторе Земли.

Решение: Так как отклонение падающего тела от вертикали будет незначительное, то в первом приближении можно подставлять в силу Кориолиса _кор = 2m скорость невозмущенного падения = t. Так как вектор перпендикулярен , то сила Кориолиса направлена в сторону востока, равна 2mv и сообщает телу горизонтальное ускорение а_вост= 2gt. Интегрируя, находим горизонтальную скорость v_вост = gt² и горизонтальное перемещение s_вост . Подставив сюда время падения t = , найдем конечное отклонение. Например, для h = 300 м отклонение составляет s 10 см.

2.9. Специальная теория относительности

Теория абсолютного пространства и времени просуществовала всего два столетия. На рубеже 19 – 20 веков квантовая механика Шредингера и теория относительности Эйнштейна позволили осознать, что окружающий мир не трехмерен, а четырехмерен, и в нем время, взаимосвязанное с пространством, играет особую роль. Все вокруг стало относительным и вероятностным, многие точные понятия начали терять смысл, и время стало зависеть от скорости и степени искривленности пространства.

Мир Галилея и Ньютона был Евклидов – бесконечен и однороден, - хотя уже время рассматривалось как важная и особая координата. Происходящие процессы описывались в непрерывном и бесконечном пространстве-времени. Ньютоновская механика опиралась на абсолютное и единое время.

В 1905 году А. Эйнштейн предложил теорию относительности, суть которой заключалась в том, что на быстро движущемся объекте время течет медленнее, изменяются параметры тел и их свойства. То есть время стало величиной относительной.

В 1908 году немецкий ученый Г. Минковский доказал неразрывное единство пространства и времени и ввел новое понятие пространство-время. Мир стал четырехмерным.

В 1916 году Эйнштейн завершил создание специальной теории относительности (СТО), согласно которой пространство-время может искривляться под действием сил тяготения (математически искривленные пространства описал Н. Лобачевский в неевклидовой геометрии). Было открыто, что в сильном поле тяготения время течет медленнее. Эти эффекты были названы релятивистскими (relative – относительный).

Постулаты СТО. Специальная теория относительности Эйнштейна расширяет границы классической ньютоновской физики, действующей в области нерелятивистских скоростей, малых по сравнению со скоростью света с, на любые, в том числе релятивистские, то есть сравнимые с с, скорости. Все результаты релятивистской теории при → 0 переходят в результаты классической нерелятивистской физики (принцип соответствия).

Специальная теория относительности опирается на два постулата:

Первый постулат: все физические законы – как механические, так и электромагнитные – имеют одинаковый вид во всех инерциальных системах отсчета (ИСО).

Второй постулат Эйнштейна: скорость света в вакууме одинакова для всех инерциальных систем отсчета и равна c ≈ 3·10⁸ м ⁄ с. Этот постулат содержит сразу два утверждения:

а) скорость света с не зависит от скорости v источника,

б) скорость света c не зависит от того, в какой инерциальной системе отсчета находится приемник, то есть не зависит от скорости приемника v.

П

Тогда координаты и время события в системе К' будут выражаться через координаты и время в К с помощью преобразований Галилея (для случая систем координат с параллельными осями, с осями x' и x, направленными вдоль и отсчетом времени от момента полного совмещения осей):

x' = x – vt, y' = y, z' = z, t' = t.

Преобразования Галилея основаны на утверждениях о независимости хода времени и длины отрезков от системы отсчета, которые считались неотъемлемыми свойствами пространства и времени. Уравнение движения инвариантно (имеет одинаковый вид в разных системах отсчета) относительно преобразований Галилея. Теория относительности показывает, что преобразования Галилея верны только при v << c и их заменяют преобразования Лоренца, верные при любых скоростях v < c.

При таком же выборе осей координат и отсчета времени, как в преобразованиях Галилея, преобразования Лоренца имеют вид:

x' = γ (x – vt), y' = y, z' = z, t' = γ(t – x),

где величина γ определяется из равенства γ² = , γ ≥ 1.

Преобразования Лоренца для разности координат и времен двух событий имеют вид:

∆x' = γ(∆x – v∆t), ∆y' = ∆y, ∆z' = ∆z, ∆t' = γ(∆t – ∆x).

Обратные преобразования из К' в К получаются при замене v на ( – v):

∆ x = γ(∆x' + v ∆t'), ∆y = ∆y', ∆z = ∆z', ∆t = γ(∆t' + ∆x').

Длина тела в разных системах. Длина движущегося тела определяется как расстояние между точками, где концы отрезка, длина которого равна продольному размеру тела, находились одновременно (то есть ∆t = 0). Предположим, что с телом, движущимся поступательно в системе К в направлении оси х со скоростью , связана система координат К' (рис. 2.40).

Собственный продольный размер тела L₀, измеренный в системе К', в которой тело неподвижно, равен

L₀ = x₂' – x₁'.

В системе К продольные размеры тела определяются аналогичным образом и равны

L = x₂ – x₁.