Материал: Краткий курс физики. учебное пособие. Гиоргадзе А.Л., Бурова С.В

Виды движения. Характеристика движения по известному закону (уравнению) движения называется прямой задачей кинематики, при решении которой находятся основные кинематические величины точки. Задачу определения уравнения движения точки по известным основным кинематическим величинам, однозначно заданным начальными условиями, называют обратной задачей кинематики. Решение обеих задач в общем виде возможно с помощью дифференциального и интегрального исчисления. Для некоторых простых частных случаев движения задача может быть решена с применением методов элементарной математики. Во многих случаях задача кинематики не сводится ни к прямой, ни к обратной. В этом случае для определения закона движения приходится решать дифференциальное уравнение.

В зависимости от формы траектории выделяются следующие виды движения точки: прямолинейное и криволинейное, а в зависимости от ускорения виды движения точки характеризуются как равномерное (движение с постоянной скоростью), равнопеременное (равноускоренное или равнозамедленное) и переменное (ускорение меняется со временем):

1. , — прямолинейное равномерное движение.

2. — прямолинейное равноуско­ренное движение. Если t₀ = 0, то

Рис. 2.8

;

3. - равномерное движение по окружности.

4. — криволинейное равноперемен­ное движение.

Движение материальной точки по окружности. Движение по окружности (вращение) является частным случаем криволинейного движения, при котором радиус кривизны R траектории (окружности) остается постоянным. Движение точки М по окружности можно описать с помощью угловых переменных (рис. 2.8):

угла поворота dφ, который определяется как угол, на который поворачивается радиус-вектор точки, длина которого равна радиусу| | = R, проведенному из центра окружности | | = R. Малый угол поворота, или угловое перемещение, можно рассматривать как псевдовектор , направленный по оси вращения по правилу правого винта;

угловой скорости = псевдовекторной величины, характеризующей быстроту вращения и направленной вдоль оси вращения по правилу правого винта;

углового ускорения = псевдовекторной величины, определяющей быстроту изменения угловой скорости и направленной так же вдоль оси вращения. При ускоренном вращении вектор совпадает по направлению с вектором , при замедленном вращении вектор противоположно направлен вектору .

Если угол поворота dφ за время dt измерять в радианах, то длина дуги равна ds = Rdφ. Отсюда следует, что линейная скорость движения точки по окружности (R = const) равна по величине v = = Rω, а величины тангенциального и нормального ускорений равны, соответственно:

  = = εR и   = = ω²R.

В случае равномерного движения по окружности нормальное ускорение иногда называют центростремительным.

Формулы для нормального и тангенциального ускорений можно вывести, если записать скорость в виде = v , где – единичный вектор, направленный вдоль скорости. Получим = + v и учтем, что = = , где – единичный вектор, перпендикулярный к скорости и направленный вдоль радиуса. Этот вывод справедлив и для произвольной траектории, если принять соотношение d = за определение как направления нормали , так и радиуса кривизны R.

Кинематические величины, имеющие одинаковые значения в разных системах отсчета, называют инвариантными.

Величины, зависящие от выбора системы отсчета, в которой производится их измерение, называют относительными.

Относительными кинематическими величинами точки являются координаты, перемещение, скорость, ускорение.

Если движение точки рассматривается из двух систем отсчета К и К′, оси которых остаются все время параллельными друг другу, то между скоростями точки и относительно этих систем отсчета в каждый момент времени выполняется закон сложения скоростей

= + ,

где – скорость системы К′ относительно системы К и значения скоростей много меньше скорости света в вакууме. Такое же соотношение выполняется и для ускорений:

= + .

Примеры решения задач

Пример 1. Закон движения точки имеет вид: x = Rcost, y = Rsint. Найти уравнение траектории движения точки, ее скорость и ускорение.

Решение: Исключая время, находим уравнение траектории движения точки:

cos²t = и sin²t = x²+ y²= R².

Дифференцируя исходные выражения по времени, получим выражения для компонент скорости и ускорения точки, соответствено: v_х , v_у , a_х , a_у . Модуль скорости точки v = = и модуль ее ускорения а = ²R не зависят от времени и связаны соотношением а = . Ускорение направлено перпендикулярно скорости к центру окружности: = - .

Пример 2. Известны ускорение точки = const, начальная скорость , начальное положение . Найти траекторию и закон движения точки.

Решение: Последовательно интегрируя, находим сначала скорость точки = dt = = + t, а затем ее положение = dt = + t + t . Точка движется в плоскости векторов и по параболе, что видно в системе координат, где ось y направлена по вектору , а ось x – перпендикулярно вектору , т.е. координаты точки определяются, как

x = x + v t, y = y + v t + at .

2.2. Кинематика абсолютно твердого тела

В

Рис. 2.9

механике твердым телом называют тело, расстояние между любыми двумя точками которого не меняется (то есть отсутствуют деформации). Выделяют два простых движения твердого тела – поступательное и вращательное.

При поступательном движении прямая линия, соединяющая любые две точки тела, перемещается, оставаясь параллельной себе.

При вращательном движении все точки твердого тела движутся по окружностям, центры которых лежат на прямой, называемой осью вращения. Линейные скорости всех точек перпендикулярны оси вращения. Угловые скорости всех точек в каждый момент времени одинаковы. Распределение линейных скоростей точек тела можно представить с помощью векторного произведения = [ , ], где радиусы-векторы проводятся из любой точки О на оси вращения (рис. 2.9).

П

Рис. 2.10

лоское движение твердого тела, например, качение обруча без проскальзывания со скоростью (скорость точки О), является более сложным движением. При плоском движении векторы линейных скоростей всех точек тела параллельны некоторой плоскости ВАСО′ (рис. 2.10). В процессе плоского движения любая точка тела движется поступательно со скоростью _пост = и одновременно вращается с определенной скоростью _вр вокруг так называемой мгновенной оси вращения, проходящей через точку О′ перпендикулярно плоскости рисунка. Скорость любой точки относительно земли можно найти по закону сложения скоростей.

В табл. 3 дано сопоставление уравнений поступательного и вращательного движений твердого тела.

Таблица 3

Характеристики поступательного и вращательного движений

Вид движения	Поступательное	Вращательное
Равномерное	s = vt v = const a = 0	φ = ωt ω = const ε = 0
Равнопеременное	s = v0t ± v = v0 ± at a = const	φ = ω0t ± ω = ω0 ± εt ε = const
Переменное	s = (t) v = a =	φ = f(t) ω = ε =