Материал: Кратные и криволинейные интегралы

18

Криволинейный интеграл 2 рода.

1. Организуем разбиение областидуги AB на элементы – элементарные дуги li так, чтобы

n

эти элементы не имели общих внутренних точек иL li (условие А)

i 1

2.Отметим на элементах разбиения «отмеченные точки» Mi и вычислим в них значения функции F Mi

3. Построим интегральную сумму n F Mi , ri , где ri вектор, направленный по хорде,

i 1

стягивающей дугу li .

4.Переходя к пределу при условии maxi diam( li ) 0 (условие В), получим криволинейный интеграл второго рода как предел интегральных сумм (и работу силы):

кусочно-гладкой дуге L12. Тогда криволинейный интеграл второго рода существует как предел интегральных сумм.

a,dr limmaxi diam li 0 n a Mi , ri .

12 Это требование может быть ослаблено, более общий вариант см. в седьмом томе учебника

19

Замечание. Предел этот не зависит от

-способа выбора разбиения, лишь бы выполнялось условие А

-выбора «отмеченных точек» на элементах разбиения,

-способа измельчения разбиения, лишь бы выполнялось условие В

Свойства криволинейного интеграла 2 рода.

1. Линейность

а) свойство суперпозиции ((a1 a2 ),dr) (a1,dr) (a2 ,dr)

L L L

б) свойство однородности a,dr a,dr .

L L

Доказательство. Запишем интегральные суммы для интегралов в левых частях равенств. Так как в интегральной сумме число слагаемых конечно, используя свойство скалярного произведения, перейдем к интегральным суммам для правых частей равенств. Затем перейдем к пределу, по теореме о предельном переходе в равенстве получим желаемый результат.

Доказательство. Выберем разбиение области L так, чтобы ни один из элементов разбиения ( первоначально и при измельчении разбиения) не содержал одновременно как элементы L1, так и элементы L2. Это можно сделать по теореме существования (замечание к теореме). Далее проводится доказательство через интегральные суммы, как в п.1.

3.Ориентируемость.

a,dr = - a,dr

L L

Доказательство. Интеграл по дуге –L, т.е. в отрицательном направлении обхода дуги

есть предел интегральных сумм, в слагаемых которых вместо ri стоит ( ri ). Вынося

«минус» из скалярного произведения и из суммы конечного числа слагаемых, переходя к пределу, получим требуемый результат.

Заметим, что свойство ориентируемости в криволинейном интеграле первого рода отсутствует. Зато в криволинейном интеграле второго рода отсутствуют свойства интегрирования неравенств, теорема об оценке и теорема о среднем, которые есть в криволинейном интеграле первого рода.

Вычисление криволинейного интеграла второго рода.

.

Пусть a M P(x, y,z)i Q(x, y,z) j R(x, y,z)k . Запишем dr dxi dyj dzk .

Тогда криволинейный интеграл второго рода можно записать в виде

(a,dr) P(x, y,z)dx Q(x, y,z)dy R(x, y,z)dz .

L L

x(t), y(t),z(t) непрерывны, так как дуга гладкая. Подставим эти выражения в

криволинейный интеграл, он превратится в определенный интеграл по параметру.

(a,dr) P(x, y,z)dx Q(x, y,z)dy R(x, y,z)dz = .

Лекция 6. Формула Грина.

Теорема (формула) Грина. Пусть G – плоская односвязная область с кусочно-гладкой границей L. Пусть функции P(x, y), Q(x, y) непрерывны и имеют непрерывные частные производные по своим переменным в области G и на L.

Тогда справедлива формула Грина

Доказательство. 1) Назовем плоскую область D (в плоскости OXY) правильной, если любая прямая, параллельная координатной оси (OX или OY) пересекает область не более, чем