Материал: Кратные и криволинейные интегралы

27

6)Теорема о среднем. Пусть функция f (M) f (x, y,z) непрерывна на кусочногладкой ограниченной поверхности . Тогда на поверхности найдется точка С,

Доказательство. Первые четыре свойства доказываются аналогично подобным свойствам в двойном, тройном интегралах, криволинейном интеграле первого рода (записью соотношений в интегральных суммах и предельным переходом). Во втором свойстве используется возможность такого разбиения поверхности на две части, чтобы ни один элемент разбиения не содержал граничные точки этих частей в качестве своих внутренних точек.

Теорема об оценке следует из свойств 3, 4.

Теорема о среднем, как и ранее, использует теоремы Вейерштрасса и Больцано-Коши для функций, непрерывных на замкнутых ограниченных множествах.

Вычисление поверхностного интеграла первого рода.

Раньше во второй лекции мы вычисляли площадь поверхности с помощью двойного интеграла, то есть сводили интеграл d к двойному интегралу. Теперь нам надо свести

интеграл f (x, y,z)d к двойному интегралу. Повторяя вновь те же выкладки с той лишь

разницей, что под интегралом стоит функция f (x, y,z), получим аналогичную формулу для поверхности, заданной соотношением z (x, y)

f (x, y,z)d = f (x, y, x, y )1 x' 2 'y2 dxdy .

D

Если поверхность задана уравнением F(x, y,z) 0, точно так же получим формулу

Поверхностный интеграл второго рода.

Поверхность называется ориентируемой, если в каждой ее точке существует вектор нормали к , - непрерывная вектор – функция на .

29

Запись поверхностного интеграла второго рода.

Запишем вектор перемещений частиц и нормаль в точке M(x, y, z), выделяя скалярные компоненты векторов

d cos dydz, d cos dxdz , d cos dxdy. Знак «+» выбирается, если угол между нормалью к поверхности и осью (OX в первом интеграле, OY во втором, OZ в третьем) острый, знак «-» выбирается, если угол тупой. В самом деле, в поверхностных интегралах площади элементов поверхности положительны, а знаки «+» или «–» компенсируют знак косинуса угла между нормалью и координатной осью. При переходе от поверхностных интегралов к двойным одна из координат подставляется из уравнения поверхности, чтобы точка (x, y, z) находилась на поверхности .

Пример. Найти поток радиуса-вектора через полную поверхность тетраэдра, ограниченного координатными плоскостями и плоскостью x + y + z = 1

Поток радиус-вектора через координатные плоскости

zнулевой, так как на них радиус-вектор точки лежит в координатной плоскости и ортогонален нормали к координатной

Получили тот же результат.

30

Лекция 8

Скалярное и векторное поля.

Говорят, что в области (плоской или пространственной) задано скалярное поле (M), если в этой области задана скалярная функция (M).

Говорят, что в области (плоской или пространственной) задано векторное поле a (M), если в этой области задана векторная функция a (M).

Например, масса или температура частиц в комнате – скалярные поля, скорость или силы взаимодействия частиц – векторные поля.

Винтегралах первого рода :двойных, криволинейных, поверхностных мы имели дело со скалярным полем – распределением масс точек кривой или поверхности в пространстве.

Винтегралах второго рода вычислялись характеристики векторных полей: работа векторного поля (силового поля) в криволинейном интеграле, поток векторного поля в поверхностном интеграле.

Рассмотрим подробнее основные характеристики скалярных и векторных полей.

Скалярные поля.

Линии уровня плоского поля (x, y) – кривые, на которых значения функции постоянны (x, y) = С.

Например, линии равной высоты, нанесенные на географической карты (h (x, y) = 0 – уровень моря, h = 7000м – немногие горные вершины, h = - 10000м – самые глубокие океанские впадины).

Поверхности уровня пространственного поля (x, y, z) – поверхности, на которых значения функции постоянны (x, y, z) = С.

Например, поверхности равной температуры или давления в атмосфере. Любая линия на поверхности уровня – это линия уровня.

Пример. Задано поле x2 y2 z2 C . При С > 0 поверхности уровня – однополостные гиперболоиды, при С = 0 поверхность уровня – конус, при С < 0 поверхности уровня – двуполостные гиперболоиды.

Линии или поверхности различных уровней не пересекаются.

Чем чаще (гуще) поверхности или линии уровня, тем интенсивнее изменение поля.

Утверждение. Градиент скалярного поля ортогонален его поверхности уровня.

Доказательство. Пусть точка (x, y, z) остается на поверхности уровня g(x, y, z) = 0 при вариациях переменных. Тогда равенство превращается в тождество, а тождество можно дифференцировать.

dg(x, y,z) g dx g dy g dz grad g dr 0.

x y z

Вектор dr (x, y, z) - это вектор, касательный в точке (x, y, z) к любой кривой, лежащей на поверхности уровня, проходящей через эту точку. Поэтому в точке (x, y, z) вектор градиента ортогонален всем касательным к линии уровня, проходящим через эту точку. Следовательно, он ортогонален касательной плоскости к поверхности уровня и направлен по нормали к поверхности уровня.