Материал: Кратные и криволинейные интегралы

22

V(x, y)- потенциала, необходимо и достаточно, чтобы в условиях формулы Грина было выполнено одно из следующих четырех условий (эквивалентных условий полного дифференциала)

4)P(x, y)dx Q(x, y)dy dV(x, y) V dx V dy.

3)2). Это следует из формулы Грина.

2)1). Пусть точки A, B соединены двумя дугами L1 и L2. Тогда из них можно

составить контур : L1 L2 , интеграл вдоль которого по п.2 равен нулю.

Заметим, что такая запись интеграла показывает, что интеграл не зависит от формы дуги. Поэтому мы можем в первом интеграле провести дугу через точку (x, y), чтобы в первом и втором интеграле сократились интегралы по дуге, соединяющей начальную точку с точкой (x, y). В первом интеграле выберем в качестве дуги, соединяющей точку (x, y) с

23

точкой (x+ x,y) отрезок прямой, параллельный оси OX. На этом отрезке y не изменяется, поэтому dy=0

Тогда, продолжая равенство, получим

(здесь мы перешли от криволинейного интеграла к определенному, так как дуга интегрирования – отрезок, параллельный оси OX и применили теорему о среднем для определенного интеграла). Теперь используем непрерывность функции P(x, y) по переменной x.

= lim x 0 P(x x, y) P(x, y). Первое соотношение доказано.

Для доказательства второго соотношения варьируется переменная y, дуга, соединяющая точки (x0, y0), и (x, y+ y) проводится через точку (x, y) и далее по отрезку, параллельному оси OY, соединяющему точки (x, y) и (x, y+ y).

Формула Ньютона – Лейбница.

Пусть выполнены условия теоремы о полном дифференциале и пусть выражение

P(x, y)dx Q(x, y)dy dV(x, y) - полный дифференциал, а функция V(x, y)- потенциал.

Тогда справедлива формула Ньютона – Лейбница

(x2 , y2 )

P(x, y)dx Q(x, y)dy V(x2 , y2 ) V(x1, y1), где V(x, y) - потенциал.

(x1, y1)

Доказательство. В теореме о полном дифференциале доказано, что потенциал можно

интегрирования, то дугу, соединяющую точки (x1, y1), (x2, y2) можно провести через точку

Теорема (о полном дифференциале) для пространственной кривой.

Пусть дуга AB лежит на кусочно-гладкой поверхности S, пусть функции P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) непрерывны и имеют непрерывные частные производные на S. Тогда следующие четыре утверждения эквивалентны.

1) Pdx Qdy Rdzне зависит от формы дуги (от пути интегрирования), а зависит

AB

только от начальной и конечной точек дуги.

дифференциал.

Доказательство. Доказательство аналогично двумерному случаю, схема доказательства та же: 4) 3) 2) 1) 4). Докажите ее самостоятельно.

4) 3) проводится по теореме о смешанных производных так же как в двумерном случае.

3)2) проводится по теореме Стокса (будет сформулирована и доказана ниже).

2)1) доказательство полностью аналогично двумерному случаю.

1)4) доказательство аналогично двумерному случаю.

Замечание. Формула Ньютона-Лейбница справедлива в трехмерном случае и доказывается так же.

Вычисление криволинейного интеграла от полного дифференциала.

Криволинейный интеграл от полного дифференциала можно вычислять двумя способами.

1)Можно выбирать удобный путь интегрирования, например, состоящий из отрезков, параллельных OX и OY. На отрезке, параллельном OX, dy=0, так как y не изменяется

на этом отрезке. На отрезке, параллельном OY, dx=0, так как x не изменяется на

2)Можно восстановить потенциал, как это делалось на первом курсе при решении дифференциальных уравнений в полных дифференциалах и применить формулу Ньютона-Лейбница.

(3,6)

Пример. Вычислить интеграл ydx xdy.

2)V y V xy g(y) C1

x

V x V xy h(x) C2 .

y

Сравнивая две записи потенциала, получим V xy C .

(3,6)

ydx xdy=V(3,6) V(1,2) 18 C (2 C) 16.

(1,2)

Заметим, что аналогично вычисляется криволинейный интеграл от полного дифференциала по пространственной кривой.

Формула Грина для многосвязной области.

интегралов по составляющим контуры дугам и сложим эти интегралы, сокращая интегралы по одним и тем же дугам в разных направлениях

случая n = 2. Для n > 2 доказательство аналогично.

Следствие 1. Пусть Pdx+Qdy – полный дифференциал и n=1.

ТогдаPdx Qdy Pdx Qdy . Поэтому, если в какой-либо точке нарушается

1

непрерывность функций, P, Q или их частных производных, то интеграл может быть взят по любому кусочно-гладкому не самопересекающемуся контуру, охватывающему эту точку (мы получим один и тот же результат).

Следствие 2. Пусть Pdx+Qdy – полный дифференциал Если кусочно-гладкий контур

один раз охватывает некоторую точку, Pdx Qdy W , а контур L n раз охватывает эту

точку, то в условиях теоремы Pdx Qdy nW . Докажите это самостоятельно.