Материал: Кратные интегралы. методические указания для организации самостоятельной работы по курсу «Высшая математика». Пантелеев И.Н
Решение. Центр сферы сдвинут по осиOz на величину радиуса. По соображениям симметрии, очевидно, что хс и ус
равны 0.
По условию задачи плотность равнаd = |
1 |
, |
|
x2 + y2 + z2 |
|||
|
|
тогда
m = òòò |
|
dxdydz |
|
. |
|||
x |
2 |
+ y |
2 |
+ z |
2 |
||
V |
|
|
|
|
|||
Переходя к сферическим координатам и расставляя пределы интегрирования по V, будем иметь
|
p |
|
|
|
p |
|
|
|
||
2p |
2 |
|
2 acosq |
2p |
|
2 |
|
4p a |
2 |
|
m = ò dj òsinqdq |
ò |
rd r = 2a2 ò dj òsinq cos2 qdq = |
|
. |
||||||
3 |
|
|||||||||
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
||
Статический момент относительно плоскости Оху по формуле (3) равен
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
||
|
zdxdydz |
|
|
|
2p |
|
2 |
|
|
|
2 acosq |
2 |
|
||||||
mxy = òòò |
|
|
= |
ò djòsinq cosqdq ò r |
d r = |
||||||||||||||
x |
2 |
+ y |
2 |
+ z |
2 |
|
|
||||||||||||
V |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
0 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
16pa |
|
|
|
|||
= - |
16a p |
|
òcos4 q d cosq = |
|
. |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
0 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
Таким образом, zc |
|
= |
a . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
46
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК |
|
|
1. Андрианова Т.Н. Задачник практикум |
по |
высшей |
математике / Т.Н. Андрианова.– СПб.: Изд-во |
Сант-Петерб. |
|
ун-та, 1994. |
|
|
2. Марон И.А. Дифференциальное и |
интегральное |
|
исчисление в примерах и задачах/ И.А. Марон. |
– М.: |
|
Физматлит, 1973. |
|
|
3. Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике / К.Н.
Лунгу, Д.Т. Письменный. – М.: Рольф, 2007.
4. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: Полный курс / Д.Т. Письменный. – М.: Айрис-
пресс, 2008.
5. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и
задачах / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.:
Высш. шк., 1998.
6.Минорский В. П. Сборник задач по высшей математике
/В.П. Минорский. — М.: Наука, 1987.
7.Щипачев B.C. Высшая математика / В.С. Щипачев. —
М.: Высш.школа, 2003.
8. Бугров Я.С. Дифференциальное и интегральное
исчисление / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. М.: Наука, 1984.
47
ОГЛАВЛЕНИЕ
1.Двойной интеграл и его вычисление …………………. 3
2.Двойной интеграл в полярных координатах.
Замена переменных в двойном интеграле …………….. 12
3.Вычисление площадей плоских фигур и площади поверхности ……………………………………16
4.Вычисление объемов тел …………………………… ….23
5.Приложения двойного интеграла к механике ………. 27
6.Тройной интеграл ………………………………………. 32
7.Вычисление величин посредством тройного интеграла …………………………………………………40
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК……………………. 47
48
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ для организации самостоятельной работы
по курсу "Высшая математика" для студентов направления 20.01.03 "Техносферная безопасность"
(направленности «Защита в чрезвычайных ситуациях», «Безопасность жизнедеятельности в техносфере», «Защита окружающей среды»)
очной формы обучения
Составитель: Пантелеев Игорь Николаевич
В авторской редакции
Компьютерный набор И.Н. Пантелеева
Подписано к изданию 21.11.2016.
Уч.- изд. л. 3,1
ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет»
394026 Воронеж, Московский просп., 14
49