Материал: Кратные интегралы. методические указания для организации самостоятельной работы по курсу «Высшая математика». Пантелеев И.Н

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Рис. 4

В случае более сложного контура область S разбивается на конечное число частей рассмотренных типов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

dxdy

 

1.1.

Вычислить

двойные

интегралы:

а) ò0

ò1

;

(x + y )2

 

 

e y

 

p

2cosj

 

 

 

2

x

 

 

 

 

 

 

 

 

ydxdy

2

 

 

 

 

 

б) òdxò(x2 - 2 y +1)dy ; в) òò

; г) ò dj

ò

r3d r .

 

x

 

1

0

1 1

-

p

0

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. а) Поскольку пределы интегрирования постоянные величины, то первое интегрирование может быть по любой переменной. Запишем интеграл в виде

1

2

dy

 

 

òdxò

 

.

(x + y )

2

0

1

 

 

Вычислим внутренний интеграл по у, считая, что х постоянная величина

 

1

 

 

2

 

1

æ

1

 

1

 

ö

 

1

 

 

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

dx = -

 

ç

 

-

 

 

÷dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ò0

x + y

 

1

 

ò0 è x + 2 x +1

ø

 

 

 

Далее вычисляем внешний интеграл по х

6

1

æ

1

 

 

1

ö

 

 

 

ò0

 

 

 

 

 

ç

 

 

-

 

÷dx = ln

x +1

-ln

x +2

 

 

 

è x +1

 

x +2

ø

 

 

 

1

x +1

 

 

1 = ln

2

 

1

 

4

.

 

 

 

 

= ln

 

 

-ln

= ln

x +2

 

 

 

 

 

0

3

2

3

 

0

 

б) Поскольку пределы внутреннего интеграла зависят от х, то вычисляем сначала внутренний интеграл поу, считая х постоянной величиной

2

2

ò((x2 y - y2 + y )

 

0x )dx = ò(x3 - x2 + x )dx .

 

1

1

Далее находим внешний интеграл

2

æ

x

4

 

x

3

 

x

2

ö

 

2

 

35

 

 

 

 

 

 

ò(x3 - x2

+ x)dx = ç

 

-

 

+

 

÷

 

 

=

.

 

 

 

 

 

 

 

1

è

4

3

2

ø

 

1

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в) Поскольку пределы внутреннего интеграла зависят от у,

то интегрируем сначала по х, считая у постоянной величиной, а затем интегрируем по у

e y

òò

1 1

e

= ò

1

 

e

 

 

y

y

 

 

 

e

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y dxdy = òdyò

dx = ò y ln x

dy =

 

x

1

 

 

1

x

1

 

1

 

 

 

 

 

 

y

2

 

 

 

 

e

 

1

e

 

e

2

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y ln ydy =

 

 

ln y

 

-

ò ydy =

 

.

 

 

 

 

 

 

4

 

2

 

 

 

 

1

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г) Вычислим сначала внутренний интеграл

 

p

 

2cosj

 

 

 

p

 

 

 

2cosj

p

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

3

 

1

 

2

 

 

4

 

 

 

2

 

4

 

2

 

 

2

 

 

ò dj ò

r

dr =

 

ò

r

 

 

 

dj = 4 ò cos

jdj = ò (1+cos 2j)

 

dj =

 

4

 

 

 

 

-

p

0

 

 

-

p

 

 

 

 

-

p

 

-

p

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

0

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

2 æ

= ò ç1+

-p è

2

p

2

 

1

ö

æ 3

 

1

ö

2cos 2j +

 

(1+cos 4j)÷dj = ç

 

j +sin 2j +

 

sin 4j÷

2

2

8

 

ø

è

 

ø

-p

2

=3p.

2

7

1.2. Вычислить двойные интегралы:

 

p ü

 

 

ì

 

 

 

а) òò x cos (x + y)dxdy, где D = í0

£ x £ p, 0

£ y £

 

ý

;

2

D

î

 

 

þ

 

б) òò(x + y )dxdy, где D = {y = 0, y = x2 , x = 2};

D

в) òò xydxdy, где D = {y = -x, y = x2 , y =1};

D

г) òò xdxdy, где область D ограничена осью Ox и одной

D

аркой циклоиды x = a (t - sin t ), y = a (1- cos t ).

Решение. а) Расставим пределы интегрирования и проинтегрируем сначала по у, а затем по х

 

 

 

 

 

p

 

p

p

 

p

 

 

 

 

 

2

 

2

 

òò x cos (x + y )dxdy = ò xdxòcos (x + y )dy = òx sin (x + y )

=

D

 

 

 

 

0

0

0

 

0

 

 

 

 

 

 

p

æ

æ p

ö

 

ö

 

p

 

 

 

= ò x çsin ç

 

+ x ÷

-sin x ÷dx

= òx (cos x - sin x )dx =

 

 

 

 

 

 

 

0

è

è 2

ø

 

ø

 

0

 

 

 

p

 

 

 

p

 

 

 

p

p

 

 

= ò x cos xdx - ò x sin xdx = x sin x - òsin xdx + x cos x - òcos xdx =

0 0 0 0

= (x sin x + cos x + x cos x -sin x )p0 = -1- p -1 = -(2 + p ).

б) Представим область интегрирования на рис5. Расставим пределы интегрирования и проинтегрируем

8

 

2

x2

2

æ

y

2

ö

 

x2

 

 

òò(x + y )dxdy = òdx ò(x + y )dy = òç xy +

 

÷

 

dx =

2

 

D

0

0

0

è

ø

 

0

 

 

 

 

2

æ

3

 

x4 ö

æ x4

 

x5

ö

 

2

16

 

36

 

 

 

 

 

 

 

=

 

ç x

 

+

 

÷dx = ç

 

+

 

÷

 

= 4 +

 

 

=

 

.

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

ò0 è

 

 

ø

è

4 10

ø

 

0

5 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 5

в) Сделаем чертеж (рис. 6).

Рис. 6

Из совместного решения уравнений y = -x и y = x2 нахо- 9

дим точки пересечения прямой и параболыА (-1, 1), О (0, 0). Координаты точки В(1,1). Расставим пределы интегрирования и проинтегрируем

 

 

 

1

 

y

 

 

 

 

1

1

 

 

 

y

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

òò xydxdxy = ò ydy ò xdx =

ò yx2

 

 

dy =

ò(y2 - y3 )dy =

2

 

2

D

 

 

0

 

-y

 

 

 

0

 

 

- y

 

 

0

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 æ y3

y4 ö

 

1 æ 1

 

1

ö

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

ç

 

 

-

 

÷

 

=

 

 

 

ç

 

-

 

 

÷

=

 

 

.

 

2

 

 

2

 

 

 

 

24

 

 

 

è

3 4

ø

 

0

 

è 3 4

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г) Для одной арки циклоиды параметр t изменяется от 0 до 2p , а переменная х от 0 до 2p a . Представляя функцию у в виде функции от х у =f(x), запишем искомый интеграл, разделяя переменные

 

2p a

y= f (x)

I = òòxdxdy = ò xdx

ò dy .

D

0

0

Находя дифференциалы dx = a (1- cos t )dt, dy = a sin tdt и переходя во внешнем интеграле к переменной t, получим

10

Источник: https://studfile.net/preview/16564671/

Смотрите также:

Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_-___-~1
_1-тема-СтрМетал
_10_Эмиль Золя для эл версии
_1966(~1