Материал: Кратные интегралы. методические указания для организации самостоятельной работы по курсу «Высшая математика». Пантелеев И.Н
ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет»
Кафедра высшей математики и физико-математического моделирования
208-2016
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ для организации самостоятельной работы
по курсу «Высшая математика» для студентов направления 20.01.03 «Техносферная безопасность»
(направленности «Защита в чрезвычайных ситуациях», «Безопасность жизнедеятельности в техносфере», «Защита окружающей среды»)
очной формы обучения
Воронеж 2016
Составитель канд. физ.-мат. наук И.Н. Пантелеев |
|
|
||||
УДК 51 (075) |
|
|
|
|
|
|
Кратные |
интегралы: |
методические |
|
указания |
для |
|
организации самостоятельной работы по курсу«Высшая |
|
|||||
математика» |
для |
студентов |
направления20.01.03 |
|
||
«Техносферная |
безопасность» |
(направленности |
«Защита |
в |
||
чрезвычайных ситуациях», «Безопасность жизнедеятельности в техносфере», «Защита окружающей среды») очной формы
обучения |
/ |
ФГБОУ |
ВО |
«Воронежский |
государственный |
|||
технический |
университет»; |
сост. |
И.Н. Пантелеев. Воронеж, |
|||||
2016. 48 с. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Методические |
указания |
предназначены |
в |
качестве |
||||
руководства |
для организации |
самостоятельной |
работы по |
|||||
курсу "Высшая математика" по разделу «Кратные интегралы» |
||||||||
для |
студентов |
направления20.01.03 |
«Техносферная |
|||||
безопасность» в 3 семестре. В работе приведен теоретический материал, необходимый для выполнения заданий и решение типовых примеров.
Методические указания подготовлены в электронном виде и содержатся в файле Vmfmm_KratInT_16.pdf.
Ил. 31. Библиогр.: 8 назв.
Рецензент канд. физ.-мат. наук, проф. Г.Е. Шунин Ответственный за выпуск зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. И.Л. Батаронов
Издается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета
ÓФГБОУ ВО «Воронежский государственный
технический университет», 2016
1. Двойной интеграл и его вычисление
1°. Двойной интеграл является обобщением понятия определенного интеграла на случай функции двух переменных f(x, у) и представляет конечный предел двумерной интегральной суммы в области (S).
òò |
f (x, y) |
max Dx ®0 |
åå |
f |
( i |
j ) |
i |
Dy |
j |
. |
(1) |
|
|
lim |
|
|
x , y |
|
Dx |
|
|||||
(S ) |
|
i |
i |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
max Dyi ®0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где Dxi Dy j = (xi+1 - xi )(y j+1 - y j |
) |
- площади элементарных об- |
||||||||||
ластей, на которые разбивается плоская область S.
На двойной интеграл распространяются свойства простого определенного интеграла: постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций, область интегрирования можно разбивать на части.
2°. Вычисление двойного интеграла сводится к последовательному вычислению двух обыкновенных определенных интегралов
b |
y2 (x) |
f (x, y |
dy) |
|
òdx |
ò |
(2) |
||
a y1(x ) |
|
|
|
|
или |
x2 ( y) |
|
|
|
c |
f (x, y |
dx) |
|
|
òdy ò |
(3) |
|||
d x1( y ) |
|
|
|
|
Если внутренний интеграл берется по переменной у, то пе- |
||||
ременная х рассматривается как постоянная, а если |
по х, то |
|||
постоянной будет у. Пределы интегрирования во внутреннем |
||||
интеграле как правило являются переменными и зависят от переменной, которая рассматривается как постоянная, пределы же внешнего интеграла всегда постоянны. Пределы интегрирования внутреннего и внешнего интеграла постоянны
только |
тогда, когда |
область |
интегрирования |
является |
|
|
3 |
|
|
прямоугольником |
со |
сторонами, параллельными |
осям |
||
координат. |
|
|
|
|
|
Область интегрирования интеграла(2) |
(рис. 1) a £ x £ b , |
||||
y1 (x) £ y £ y2 (x ) |
такова, |
что любая прямая, параллельная оси |
|||
у, пересекает |
ее |
границу только |
два . разаВычисление |
||
двойного интеграла |
по |
областиd £ y £ c , x1 ( y ) £ x £ x2 (y ) |
|||
(рис. 2) целесообразно выполнять по формуле(3), поскольку любая прямая, параллельная оси ,х пересекает границу области только два раза.
Рис. 1
Рис. 2
3°. Если верхняя или нижняя граница области описывается
4
несколькими функциями (рис. 3), то область интегрирования следует разбить прямой х = с на две области S1 и S2. Двойной интеграл по области S в этом случае разбивается на сумму интегралов
òò f (x, y)dxdy = òò f (x, y )dxdy + òò f (x, y )dxdy =
(S ) |
|
(S1 ) |
(S2 ) |
(4) |
c |
y(x ) |
b |
y(x ) |
= òdx ò f (x, y dy) + òdx ò f (x, y dy) .
a y1 (x )
c y2 (x )
Рис. 3 Если левая или правая граница области описывается -не
сколькими функциями (рис. 4), то область интегрирования S разбивается на две областиS1 и S2, а двойной интеграл вычисляется по формуле
òò f (x, y)dxdy = òò f (x, y )dxdy + òò f (x, y )dxdy =
(S ) |
|
(S1 ) |
(S2 ) |
(5) |
b |
x(y ) |
c |
x(y ) |
= òdy ò f (x, y dx) + òdy ò f (x, y dx) .
d x1 ( y )
b x2 (y )
5