Материал: Кратные интегралы. методические указания для организации самостоятельной работы по курсу «Высшая математика». Пантелеев И.Н

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

вычисления внутреннего интеграла. Полагая х и у постоянными, интегрируем по z, тогда получим

1	x	z	2
I = òdxòxy		z
I = òdxòxy		2
0	0	2

y		1	1	x

	dy =		òdxò xy3dy .

0	2		0	0

Таким образом, тройной интеграл свелся к двойному. Вычисляем теперь двойной интеграл

	1	1	y	4	x		1	1	1

I =		ò x				dx =		òx5dx =		.
			4						48
2		0			0	8		0

б) Данный интеграл следует вычислять в цилиндрической системе координат. Однако, целесообразнее сначала найти внутренний интеграл по z, а затем перейти к полярной системе координат

2	2 x-x2		z	2	a		a	2 2		2x-x2

I = òdx ò		x2 + y 2				dy =			òdx	ò	x 2 + y 2 dy .

0	0	2			0	2			0	0

Область интегрирования последнего интеграла показана на рис. 24. Переходя к полярным координатам x = r cosj ,

y = r sinj , будем иметь

			p		2cosj							p							p
	a	2		2	2cosj					8a	2		2					4		2
I =	a			òdj	ò r 2d r =					8a			òcos3 jdj =					4	a2 ò(1- sin2 j )d sinj =
I =				òdj	ò r 2d r =								òcos3 jdj =						a2 ò(1- sin2 j )d sinj =
2			0		0				6			0						3		0
						4			æ			1				ö	p	8
						4		2	æ			1			3	ö	2	8	2
					=		a		çsin j -					sin		j ÷	=		a	.
					=	3	a		çsin j -			3		sin		j ÷	=	9	a	.
									è							ø	0
									è							ø	0

Рис. 24 в) Представим область интегрирования на рис. 25. Не-

трудно заметить, что она займет первый октант единичного шара. Переходя к сферической системе координат, подынтегральная функция будет равна

x2 + y2 + z2 = (r sin q cosj )2 + (r sin q sin j )2 + (r cosq )2 = r

Таким образом, пользуясь формулой (6) и расставляя пределы интегрирования, будем иметь

I = òòòr × r2 sinqd rdjdq = òsinqdq òdjòr3d r =

G				0		0 0
	p	p		p
= 1	2	2	p		2		p
	òsinqdq òdj =				òsin q dq =			.
			8
4	0	0		0		8

Рис. 25


6.2. Вычислить интегралы: a) òòòV					dxdydz		,	где V -
6.2. Вычислить интегралы: a) òòòV				(x + y + z +1)3			,	где V -
область, ограниченная		координатными				плоскостями			и
плоскостью	x + y + z =1 ;	б) òòòdxdydz ,			где V	–		область
			V
ограниченная	поверхностями x2 + y2 + z2				= 2Rz, x2 + y2 = z2 и
содержащая	точку (0, 0, R);		в) òòò zdxdydz где V -					область,
			V
ограниченная конусом x2 + y2			= z2 т плоскостью z = h .
Решение. а) Область интегрирования показана на рис. 26.

Рис. 26 Расставим пределы интегрирования


	dxdydz	1		1-x
I = òòò			= òdx ò dy
	(x + y + z +1)	3
V		0		0

Полагая х и у постоянными внутренний интеграл по z

1-x- y	dz
ò0
		.
	(x + y + z +1)3

величинами, вычисляем

1 1-x

1-x- y

I = -

ò0 dx ò0

(x + y + z +1)2

1-x æ 1

2 ÷

= -

÷dy

2 0

è 4

(x + y +1)

dy =

	1 1		æ y			1	ö	1-x

= -					+			dx =
			ç				÷
	2			4		x + y +1
		ò0 è					ø	0

1 1 æ

(1- x)+

1 ö

1 æ

= -

÷ dx =

çln 2

÷.

ò0 è

x +1 ø

2 è

б)

Преобразуя

уравнение

сферы

x2 + y2 + (z - R)2 = R2 ,

нетрудно

заметить,

что центр

сферы

смещен по оси z на R. Таким образом, область интегрирования ограничена сверху сферической, а снизу конической поверхностью (рис. 27). Искомый интеграл в сферической системе координат примет вид

I = òòòdxdydz = òòòr2 sinqd rdqdj .

V G

Рис. 27 Подставляя в уравнение сферы сферические координаты,

будем	иметь r = 2R cosq .	Расставляя	пределы
интегрирования, получим

				p						p
	2p			4		2 R cosq	8R	3 2p			4
I = ò dj òsinq dq ò r 2 dr =							8R		ò dj òcos3 q sin q dq =
I = ò dj òsinq dq ò r 2 dr =							3		ò dj òcos3 q sin q dq =
0			0			0	3	0		0
	8R	3			p	2p
		3			4	2p
= -			cos4 q			ò dj = p R3 .
= -			cos4 q			ò dj = p R3 .
3×4					0	0
					0	0

в) Проекция конуса на плоскость Оху есть круг х2 + у2 = h2 (рис. 28). Расставляя пределы интегрирования в тройном интеграле, будем иметь

	h	1	2p æ	r	2		r	4	ö	h	4

I = òòdxdyò(h2 - p2 )rd r =			ò ç h2			-			÷		=	h p	.
		2		2
S	0		0 è			4			ø	0	4

Рис. 28

7. Вычисление величин посредством тройного интеграла

1°. Объем тела, занимающего область V, в декартовой си-

стеме координат определяется по формуле
V = òòòdxdydz .	(1)
V
Масса тела, занимающего область V, определяется	по
формуле
m = òòòd (x, y, z )dxdydz ,	(2)
где d (x, y, z ) - плотность тела в точке (x,y,z).

Источник: https://studfile.net/preview/16564671/

Смотрите также:






Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_-___-~1
_1-тема-СтрМетал
_10_Эмиль Золя для эл версии
_1966(~1