Материал: Кратные интегралы. методические указания для организации самостоятельной работы по курсу «Высшая математика». Пантелеев И.Н

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

2°. Статические моменты тела относительно координатных плоскостей вычисляются по формулам

mxy

= òòòd (x, y, z ) zdxdydz;

mxz

= òòòd (x, y, z ) ydxdydz;

(3)

myz

= òòòd (x, y, z ) xdxdydz.

Координаты центра тяжести тела

x =

myz

; y

;

z =

mxy

(4)

где m - масса тела.

3°. Моменты инерции тела относительно координатных осей

Ix		= òòòd (x, y, z )(y2					+ z 2 )dxdydz;
			V		(
I	y	=	òòò	d (x, y, z )		x2	+ z2 dxdydz;	(5)
	y		òòò				)
			V
Iz		= òòòd (x, y, z )(x2 + y2 )dxdydz.
			V

4°. Моменты инерции относительно координатных плоскостей

Ixy = òd (x, y, z )z2dV ;

Ixz = òd (x, y, z ) y2dV ;

(6)

I yz = òd (x, y, z )x2dV ,

где dV= dxdydz.

Полярный момент инерции равен

I0 = Ixy + Ixz + I yz = òd (x, y, z )(x2 + y2 + z 2 )dV .	(7)
V

5°. Если в теле объема V непрерывным образом распределены массы с заданной в каждой точкеМ (x,y,z) плотностью d (M ) = d (x, y, z ) , ТО проекции на оси координат полной силы

притяжения F на точку A(xc,yc,zc), в которой, мы считаем, сосредоточена единица массы, согласно закону притяжения Ньютона, определяются по формулам

= ò

x - x

d dV ; Fy

= ò

y - y

d dV ; Fz = ò

z - z

ddV , (8)

где r =

(x - x

+ (y - y

)2 + (z - z

)2 - расстояние МA.

6°. Ньютоновское поле потенциально. Выражение для потенциала поля тела объемаV с плотностью d на точку А имеет вид

W = ò	d dV	(9)
	r
V

Если тело однородно, то в приведенных формулах следует положить d (x, y, z ) =1 .

7.1. Найти объем тела, ограниченного поверхностями:

а) z = x2 + y2 , z = x2 + 2 y, y = x, y = 2x, x =1;

б) x2 + y2 = z 2 , x2 + y2 + z2 = a2 , внутри конуса;

Решение. а) Объем тела в декартовой системе координат определяется по формуле

V = òòòdxdydz .

				V
Тело	сверху		и	снизу	ограничено		параболлойдам
z = x2 + 2 y2 и		z = x2 + y2 .		Проекция	тела	на плоскостьОху
показана	на	рис. 29.	Расставляя		пределы	интегрирования,

получим

1	2 x	x2 +2 y2			1	2 x		1	1		7
V = òdx ò dy ò dz = òdx ò							y 2dy =		ò7x3dx =			.
										12
0	x	2	+ y	2	0	x	3		0
		x

Рис. 29

б) Представим искомый объем на рис. 30. Поскольку тело,

заключенное

внутри

конуса, симметрично

относительно

начала

координат,

то

его

объем

в сферической системе

координат равен

V = 2òòòr2 sinqd rdqdj = 2 ò djòsinqdq òr2d r =

4p a

= -

cosq

dj =

ç1

÷.

Рис. 30

7.2. Определить массу: а) пирамиды, ограниченной плос-

костями x + y + z = a, х = 0, y = 0, z = 0, если плотность в

каждой ее точке равна аппликатеz этой точки; б) сферичес-

кого слоя между поверхностями x2+y2+z2=R2 и х2 + у2 + z2 =

4R2,

если

плотность

каждой

его

точке

обра

пропорциональна расстоянию точки от начала координат.

Решение, а) Пирамида показана на рис. 31. Поскольку по

условию

задачи плотность d (x, y, z ) = z ,

то,

пользуясь

фор-

мулой (2), будем иметь

a-x- y

a-x

a a-x

m = òòò zdxdydz = òdx ò dy

ò zdz =

òdx ò (a - x - y )2 dy =

a æ

a-x

(a - x)2 y - (a - y ) y 2 +

dx =

(a - x )3 dx =

ò0 è

ò0

24.

Рис. 31

	б) Поскольку расстояние точки от начала координат
определяется				выражением x2 + y2 + z2														то							плотность			будет
равна		d (x, y, z ) =					1						.	Пользуясь										формулой (2) в
равна		d (x, y, z ) =											.	Пользуясь										формулой (2) в
							x2 + y2 + z2
сферической системе координат, получим
			1												2p		p								2 R
	m = òòò		1		r 2 sinqd rdq dj = ò djòsin qdq ò rd r =
	m = òòò				r 2 sinqd rdq dj = ò djòsin qdq ò rd r =
		G	r												0	0									R
		G													0	0									R
						3	2p			p
										p

		= -					R2 ò cosq				dj = 6p R2.
		= -					R2 ò cosq				dj = 6p R2.
				2			0			0
							0			0
	7.3. Найти координаты центра тяжести однородного тела,
ограниченного поверхностями: х + у + z=1, х = 0 у = 0, z = 0.
	Решение. Масса тела определяется по формуле (2)
	1	1-x	1-x- y				1		1-x										1		1					1
m = òdx ò dy ò dz = òdx ò (1- x - y )dy =																			1		ò			(1- x )2 dx =		1	.
m = òdx ò dy ò dz = òdx ò (1- x - y )dy =																					ò			(1- x )2 dx =			.
	0	0		0			0		0									2			0				6
	По формулам (3) находим статические моменты
	1	1-x	1-x- y					1	1 1-x													1			1				1
mxy	= òdx ò dy			ò zdz =				1	òdx ò (1- x - y )dy =													1			ò(1- x )3 dx =				1			;
mxy	= òdx ò dy			ò zdz =					òdx ò (1- x - y )dy =												6				ò(1- x )3 dx =			24				;
	0	0		0			2		0		0										6				0			24
	1	1-x		1-x- y			1		1-x												1			1				1
mxz	= òdx ò ydy			ò			dz = òdx ò y (1- x - y )dy =														1			ò(1- x )3 dx =				1			;
mxz	= òdx ò ydy			ò			dz = òdx ò y (1- x - y )dy =														6			ò(1- x )3 dx =				24			;
	0	0		0			0		0												6			0				24
	1	1-x		1-x- y			1		1-x											1				1				1
myz	= ò xdx ò dy			ò			dz = ò xdx ò (1- x - y )dy =													1			ò(1- x )2 dx =					1		.
myz	= ò xdx ò dy			ò			dz = ò xdx ò (1- x - y )dy =																ò(1- x )2 dx =							.
	0	0		0			0		0									2						0	24
	Таким образом, по формулам (4)															1
								x	= y			= z		c	=	1	.
								x	= y			= z			=		.
								c		c						4
	7.4.	Найти														4
	7.4.	Найти					координаты									центра									тяжести							сферы
x2 + y2 + z2 = 2az ,							если		плотность							в		точках сферы обратно

пропорциональна расстоянию этих точек от начала координат.

Источник: https://studfile.net/preview/16564671/

Смотрите также:






Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_-___-~1
_1-тема-СтрМетал
_10_Эмиль Золя для эл версии
_1966(~1